Основные результаты выполнения проекта

Развитие математического аппарата, основанного на методе лучевых рядов, для
динамических задач деформирования нелинейных и неоднородных сред
А.А. Буренин, Е.А. Герасименко, Ю.Е. Иванова, Л.В. Ковтанюк, А.А. Лаптева,
А.А. Манцыбора, М.В. Полоник, В.Е. Рагозина, В.И. Штука
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и процессов управления
Дальневосточного отделения Российской академии наук
Проект РФФИ 12-01-90004-Бел_а
Введение
За период выполнения проекта в 2012-2013 г. научным коллективом выполнена работа по усовершенствованию ранее созданных коллективом
теоретико-численных методов решения задач ударного деформирования в различных моделях твердого тела, применение этих методик к новым
краевым задачам динамики. Решены различные краевые задачи динамики интенсивного деформирования, отражающих разнообразие свойств твердых
тел таких, как нелинейная упругость, неоднородность, разномодульность для сдвиговой деформации, упруговязкопластичность с учетом конечных
деформаций.
Основные результаты
Модификация лучевого метода, специально предназначенная для решения задач ударного деформирования
сплошных сред
Построено обобщение рекуррентной системы условий совместности разрывов от производных произвольного порядка для пространственных
криволинейных систем координат в евклидовых пространствах. На примере ряда конкретных краевых задач ударного деформирования нелинейных
упругих сред и их решений проведено обобщение лучевого метода для криволинейных лучевых направлений с учетом их расходимости. Построенные
лучевые ряды были использованы в качестве прифронтовых асимптотик при разработке схем численно-аналитических решений.
Осесимметричные одномерные задачи об ударном нагружении по границе цилиндрической полости
Метод сращиваемых асимптотических разложений был применен к ряду одномерных задач ударного осесимметричного деформирования несжимаемых
нелинейно-упругих сред: задачам об антиплоском и скручивающем движении, задаче о винтовом движении точек среды с учетом наличия как антиплоского,
так и скручивающего воздействия на поверхности цилиндрической полости. Применение метода малого параметра позволило получить для прифронтовой
области ударных волн соответствующие эволюционные уравнения или систему эволюционных уравнений, учитывающие как нелинейный характер
волновых процессов, так и затухание цилиндрических волн. Во всех перечисленных задачах был проведен анализ метода построения частных решений
этих уравнений, который позволил строить такие решения в параметрическом виде для широкой области краевых условий. Дополнительный параметр в
задачах возникал при анализе общего решения нелинейных эволюционных уравнений, в которое помимо основных безразмерных переменных задачи
входила производная от безразмерной функции поля перемещений по полухарактеристической координате.
Вид задачи
u z  r , t  ,

u  ur  0,
u z  w0
ur  r 1  cos   ,

  w0
u  r sin ,

u z  0,     t  ,
ur  r 1  cos   ,

u z  w0 ,
u  r sin  ,


v
0

u
r
,
t
,

r
,
t




z

Краевые условия
uz
uz
r  r0 , t  0
r  t 
 u0  t  ,
0
 r  r , t 0   0  t  ,
0
 r t   0
u z r  r  f1  t  ,
0



f
t


2
 r  r0
Эволюционное уравнение или система эволюционных уравнений
x3  z 
v0
3 2
v0,n 
v0 v0,m 
 0, v0  w0,m
2
2 1  n 
3v0
3
2 2
v0,n 
 0, v0  w0,m
1  n  v0 v0,m 
2
2 1  n 

   1  n 

 3h  h
x2
r0
3g
2 g, n   3 1  n  g  h g, m  2 hh, m 
 0,
1 n
2h, n
2
2
g
2
2
x1
2
2
2 t 
1  t 
h
 0,
, m  2 1  n  ghg , m 
1 n
2
g  v0, m , h  w0, m .
Плоские одномерные продольные и поперечные ударные волны в неоднородной сжимаемой и несжимаемой средах
На основе метода сращиваемых асимптотических разложений получены решения краевых задач ударного
деформирования нелинейно-упругого сжимаемого или несжимаемого слабонеоднородного полупространства.
Свойство неоднородности включено в модель предположением, что упругие модули среды и ее плотность –
достаточно гладкие функции пространственных координат со слабым изменением относительно базовых
значений. При таком подходе в решении динамических задач появляется два характерных малых параметра:
основной малый параметр, связанный с относительной малостью граничного импульса, и дополнительный
параметр, задающий свойство слабой неоднородности. В наиболее интересном случае равного влияния
неоднородности и нелинейности оказалось, что переходу к эволюционному уравнению предшествует цепочка
внутренних краевых задач с постепенно растущим сжатием пространственной координаты и одновременным
изменением полухарактеристической координаты. Таким способом были решены задачи о движении плоских
одномерных продольных и поперечных ударных волн в неоднородной сжимаемой и несжимаемой среде
соответственно. Было показано, что эволюционное уравнение одновременно отражает свойство нелинейного
искривления характеристик и изменение интенсивности волны за счет нелинейности и неоднородности
одновременно.

0
x1
Примеры различных видов неоднородности
r
Отражение возмущений от свободной границы несжимаемого упругого слоя с разномодульным сопротивлением сдвигу
Изучены процессы возникновения поверхностей сильных
и слабых разрывов в несжимаемой упругой среде с
разномодульным откликом на сдвиг при ее динамическом
деформировании. Решены одномерные краевые задачи
об отражении плоской волны от свободной границы
несжимаемого упругого слоя. Показано, что обобщенное
решение
одномерного
квазилинейного
уравнения
движения в зависимости от приложенных граничных
нагрузок
в
случае
одноосного
деформирования
разномодульной среды может содержать нелинейные
эффекты: сильные разрывы первых производных
перемещений (ударные волны, движущиеся слои
постоянных перемещений (жесткие области). На
возникновение того или иного эффекта влияет
выпуклость (вогнутость) функции перемещений u2=f (x1,t)
на границе упругого разномодульного слоя.
u(x,t)
u/x
u(x,t)
(t)
u/x
c u2,11  u2 ,




a  



при
u

0,
1
2,1

2
c 
3 
2
1 1
b   3 1  2 2 при u2,1  0,


2 2  b  a.
2
1 1
3
3
2

2
a
III
b
a
0
0
0
t

 1  2 H
H
(б)
(а)
(t)
(в)
u(x,t)
u(x,t)
u/x
u/x
0
x
x
G(t)
b
t
0

(г)
0
x
Кусочно-линейное уравнение движения несжимаемой
разномодульной
упругой
среды
с
различным
сопротивлением сдвигу вдоль выбранной оси x2:
2
II
I
x

H
(д)
H
(е)
Возникновение
ударной
волны
сдвиговой
нагрузки

и
движущегося
недеформированного слоя [g1;g2] при отражении плоской одномерной волны нагрузки
от свободной границы несжимаемого упругого слоя с разномодульным сопротивлением
сдвигу вдоль оси x2: (а), (г) – заданная функция перемещений u2=f (x1,t) на границе
слоя; (б), (д) – перемещения u2(x1,t) и деформации u2,1 при действии нагрузки на границу
слоя; (в), (е) – перемещения u2(x1,t) и деформации u2,1 после отражения волны от
свободной границы слоя.
Автомодельная задача деформирования упругопластического полупространства
В рамках модели больших упругопластических деформаций, рассматривается одномерная
автомодельная задача ударного деформирования полупространства. В результате удара на
границе по среде начинают распространяться возмущения. Изменение упругих деформаций
будет происходить на ударных волнах двух типов. Причём, скорость одной из них будет
совпадать со скоростью движения безвихревой волны, а другой со скоростью распространения
эквиволюминальной волны. Получено, что в данной постановке задачи, пластические
деформации могут изменяться на двух простых волнах Римана. Из полученных численных
расчетов видно, что скорости распространения пластических волн меньше скорости
распространения соответствующих им упругих ударных волн. При решении конкретной краевой
задачи с заданными граничными условиями количество простых пластических волн будет
зависеть от выполнения условия пластичности и возможны случаи когда будет только одна
пластическая волна или две, что было подтверждено численными экспериментами.
f ( ij )  k
f ( ij )  k
x2
x2
2

2

2

2

2
2
x1
1 (a)


x1

1

1
1 (b)
Задача о распространении волны разгрузки в тяжелом слое при продолжающемся вязкопластическом течении
Получено точное решение краевой задачи теории больших деформаций о волне разгрузки в
необратимо деформируемом упруговязкопластическом тяжелом слое, расположенном на наклонной
плоскости. Деформирование осуществляется за счет движения свободной поверхности слоя с
заданной скоростью. Задача в подобной постановке, когда нагружающее усилие снималось в
заданный момент времени со свободной поверхности тяжелого слоя, закрепленного на наклонной
плоскости, была решена ранее. В рассмотренной в настоящем проекте задаче нагружающее усилие
не снимается, а распространение волны разгрузки обусловлено изменением на нижней границе слоя
краевого условия жесткого сцепления на условие проскальзывания материала. Такая постановка
позволяет рассмотреть, как распространяется упругая волна разгрузки при продолжающемся
пластическом течении. Аналитически получены распределения перемещений при квазистатическом
накоплении деформаций, в момент снятия нагружения, преломления волны на границе
пластического течения и отражения от нагруженной поверхности.
Распределение перемещений U  x  в различные
моменты времени
Основные публикации
1. Буренин А.А., Рагозина В.Е. К закономерностям распространения деформаций изменения формы // Моделирование и механика: сборник научных статей / под ред. С.И. Сенашова. Красноярск:
Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т, 2012. С.31-36.
2. Буренин А.А., Дудко О.В., Лаптева А.А. Взаимодействие плоской одномерной волны со свободной границей разномодульного упругого слоя // Теоретическая и прикладная механика. Выпуск 28
БНТУ: Минск, 2013. С. 16-21.
3. Дудко О.В., Лаптева А.А., Чигарев А.В. К построению математической модели разномодульной изотропно-упругой среды // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного
состояния. 2013. № 2 (16). С. 41–47.
4. Дудко О.В., Лаптева А.А., Чигарев А.В. О моделировании разномодульных свойств упругой среды // Фундаментальные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического
моделирования и информационных технологий : сб. статей по мат-лам междун. науч.-практ. конф. (Чебоксары, 12-15 августа 2013 г.): в 2-х частях. Ч.1. Механика деформируемого
твердого тела / отв. ред. Б.Г. Миронов. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2013. С. 88-93.
5. Дудко О.В., Лаптева А.А. К распространению возмущений по несжимаемой упругой среде с разномодульным сопротивлением сдвигу // Сибирский журнал индустриальной математики. Январьмарт, 2013. Т. XVI, № 1(53). С. 21 – 28.
6. Манцыбора А.А., Русанов М.М. Автомодельная задача деформирования упругопластического полупространства // Теоретическая и прикладная механика. Выпуск 28. Минск: БНТУ, 2013. С. 153160.
7. Полоник М.В., Рогачев Е.Е. Моделирование стационарного течения несжимаемой упругопластической среды в сферическом диффузоре с идеально гладкими стенками // Теоретическая и
прикладная механика. Выпуск 28. БНТУ. Минск, 2013. С. 142-147.
8. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е., Чигарев А.В., Шукевич Т.В., Ручан М.В. Эволюционное уравнение для нестационарных процессов изменения формы одномерных поперечных ударных волн,
созданных краевыми условиями общего вида // Теоретическая и прикладная механика. Выпуск 28. БНТУ. Минск, 2013. С. 310-316.
9. Рагозина В. Е., Иванова Ю. Е. Влияние неоднородности среды на эволюционные уравнения плоских ударных волн // Прикладная механика и техническая физика, 2013. № 5. С. 142-153.
10. Рагозина В.Е., Буренин А.А., Иванова Ю.Е. Об осесимметричной задаче распространения деформаций изменения формы // Теоретическая и прикладная механика. Выпуск 28. БНТУ. Минск, 2013.
С. 130-134.
11. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Лучевые представления решений многомерных задач динамики нелинейно-упругих сред при ударных воздействиях // Труды VII Всероссийской (с международным
участием) конференции по механике деформируемого твердого тела, 15-18 октября 2013 г., г. Ростов-на-Дону: в 2 т. Т. II. Ростов-на-Дону: изд-во Южного федерального университета,
2013. С. 152-156.