Кривые второго порядка

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка





Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
Общее уравнение кривой второго
порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка различают
1) вырожденные и 2) невырожденные
Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются
уравнением второго порядка. Если уравнению
второго порядка не удовлетворяет ни одна
точка плоскости, то тоже говорят, что
уравнение определяет вырожденную кривую
(мнимую кривую второго порядка).
Невырожденными кривыми второго
порядка
являются
эллипс,
окружность, гипербола и парабола.
Общее уравнение кривой
второго порядка
К невырожденным кривым второго порядка относятся:
эллипс (частным случаем которого является окружность),
гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второго порядка относительно x и y:
Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место точек
(вырожденные кривые второго порядка).
Окружность
Окружностью называется
геометрическое место точек М( х, у) на плоскости,
равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0

AM  R
R
x  a   y  b 
2
2
 R
х
x  a   y  b 
2
Каноническое уравнение
окружности
2
 R2
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек М( х, у) на плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами,
есть величина постоянная, равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем
в середине отрезка [F1 , F2].
r1  r2  2a
y
F1(c; 0); F2 (c; 0)
M(x; y)
r2
r1
F1
-c
0
F2
c
r1  F1M 
х
r2  F2M 
x  c2  y 2
x  c   y
2
2
Каноническое уравнение эллипса
2
2
x
y


1
2
2
a
b
Эллипс
параметры эллипса
y
b
Fмалая
2c
1F2  полуось
F
F1
-c
M(x; y)
r2
r1
-а
x2 y 2
 2 1
2
a
b
0
-b
а х
c2
r1  r2  2a
c 2  a2  b2
c
большая полуось
расстояние
точки М
фокальное
фокальные
радиусы
a
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a  c;
a  b;
0   1
Получим каноническое уравнение эллипса
x  c 


x  c 
2
x  c 
2
4a
 a

x  c 
 y2 
2
2
 y 2  2a
2
 y 2    2a 
 
 y 2  4a 2  4a
x  c 
2
x  c 
2
x  c 
2

2
 y 2  

 y 2  x  c   y 2
2
 y 2  4a 2  x 2  2 xc  c 2  x 2  2 xc  c 2
2


2
2

x  c   y   a  xc : 4


 c x  a y  a (a  c )
b2
2
2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2c 2
a
2
2
2

2
2
x2 y 2
 2 1
2
a
b
2
2
2


Каноническое уравнение эллипса
Построение эллипса
Пример
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат
в точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c4
c
   0 .8
a
c 2  a2  b2

 b 2  a 2  c 2  25  16  9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a 
5
 0 .8
5 х
x2 y 2

1
25 9
b3
Планеты движутся по эллиптическим
траекториям
Земля движется по эллиптической траектории
в одном из фокусов которой находится Солнце
Гипербола
Гиперболой называется
геометрическое место точек М( х, у) на плоскости,
разность расстояний от каждой из которых
до двух точек той же плоскости F1 и F2,
называемых фокусами,
есть величина постоянная, равная 2а.
y
r1  r2  2a
M(x; y)
F1(c; 0);
r1
F
F1
-c
0
2
c
r2
х
F2 (c; 0)
r1  F1M 
x  c 
r2  F2M 
x  c 
2
2
 y2
 y2
Гипербола
Получим каноническое уравнение
x  c 
2
 y2 
x  c 
2
 y 2  2a
x  c 
2
 y2 
x  c 
2
 y 2  2a

После тождественных преобразований уравнение примет вид:
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 : ( a 2b 2 )

x2 y 2
 2 1
2
a
b
Каноническое уравнение
гиперболы
Каноническое уравнение
гиперболы
2
2
x
y


1
2
2
a
b
Гипербола
параметры и построение
x2 y 2
 2 1
2
a
b
y
M(x; y)
r1  r2  2a
r1b
F
F1
-c -а
0
-b
а2 c
r2
b
y  x
a
х
c 2  a2  b2
c
мнимая полуось
 полуось

фокальные
действительная
a
радиусы
точки М
Для гиперболы справедливо:   1
эксцентриситет гиперболы
асимптоты
гиперболы
Пример
Составить уравнение гиперболы,
проходящей через точку А(6; -4),
если ее асимптоты заданы уравнениями:
Решение.
b
6

a
3
Точка А лежит на гиперболе:
6
y
x.
3
 3b  6a
x2 y 2
 2 1
2
a
b
 36b 2  16a 2  a 2b 2

3b  6a
Решим систему: 

2
2
2 2
36b  16a  a b
2 2

2
2
b

a


a
 12
3


 2
2
b 8
24a 2  16a 2  a 4
3


62 ( 4)2

1
2
2
a
b
2


b2  a2

3
2
2
2 2

36
b

16
a

a
b


a  2 3

b  2 2
Пример
Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2

1
12 8
y
2 2
2 3
2 3 х
0
2 2
Парабола
Параболой называется
геометрическое место точек М( х, у) на плоскости,
для каждой из которых расстояние
p
до некоторой фиксированной точки F ( ;0 ) той же плоскости,
2
называемой фокусом, равно расстоянию d до прямой:
p
x
2
y
r d
d
M(x; y)
r
p
2
0
p
2
p0
2
F

p
F ( ; 0)
2
х
p

r  FM   x    y 2
2

d x
p
2
Парабола
По определению параболы:
каноническое
уравнение параболы
2
p
p

2
x


y

x



2
2


2
2
p
p
x 2  px 
 y 2  x 2  px 
4
4
y

y 2  2px
директриса параболы
p
r x
d
M(x; y)
r
2
фокальный радиус
F

p
2
0
p
2
х
фокус параболы
Эксцентриситет параболы:   1
Общее уравнение кривой
второго порядка
К кривым второго порядка относятся:
эллипс (частным случаем которого является окружность),
гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второго порядка относительно x и y:
Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Общее уравнение кривой второго порядка
Рассмотрим уравнение
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
С помощью тождественных преобразований это уравнение
может быть приведено к виду:
1) при AC  0 :
( x  x0 ) 2
2) при C  0 :
( x  x0 ) 2   ( y  y 0 )
3) при A  0 :
( y  y 0 ) 2   ( x  x0 ) .


( y  y0 ) 2

 1;
ВЫВОД: Уравнения определяют кривые второго порядка,
для которых каноническую систему координат
получают параллельным переносом точки О (0,0) в точку C (x0,y0).
Каждое уравнение определяет кривую второго порядка
со смещенным центром (вершиной),
а уравнение называют каноническим уравнением кривой
со смещенным центром (вершиной).
Приводить уравнение общее уравнение кривой
к каноническому виду необходимо,
если требуется построить кривую.
Тип кривой можно определить из следующих
соображений:
Пусть
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
тогда
1) если A = 0 или C = 0,
то кривая является параболой;
2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;
3) если AC > 0, A ≠ C – эллипсом;
4) если AC > 0, A = C – окружностью.
Преобразование общего уравнения к
каноническому виду
рассмотрим на примере:
выделим полные квадраты по переменным х и у.
16 x 2  25y 2  32x  50y  359  0 
16x  32x   25y  50y   359  0 
16x  2x   25y  2y   359 
16x  2x  1  25y  2y  1  359  16  25 
2
2
2
2
2
2
16x  1  25y  1  400 
2
2
x  1
2
25

y  1

2
16
1
Преобразование общего уравнения к
каноническому виду на примере:
x  1
2
25

y  1

Перенесем начало координат
в точку (1; -1), получим новую
систему координат:
2
16
1
x '  x  1;
y
y’
x '2 y '2

1
25 16
4
0
-1
5
1
4 5
y'  y  1
x’
х
Общее определение эллипса, гиперболы
и параболы
a
Прямые 1, 2 : x   называются директрисами

x2 y 2
x2 y 2
эллипса 2  2  1 и гиперболы 2  2  1
a
b
a
b
Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы.
ri = | MFi | , di = d (M, ℓi)
ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет
ri
место равенство

di
ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d  параболу можно считать
кривой, у которой эксцентриситет  = 1.
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до
фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной
прямой (директрисы) есть величина постоянная и равна ,
называется
1) эллипсом, если
<1 ;
2) гиперболой, если >1;
3) параболой, если  = 1.
Оптическое свойство эллипса, гиперболы
и параболы
y
y
M


F1
F2
x

M



F1
yM
F2
x
Угол падения луча равен углу его отражения: α = β .
С физической точки зрения это означает:
F
x
1) Если источник света находится в одном из фокусов
эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от
зеркала, собираются в другом фокусе.
2) Если источник света находится в одном из фокусов
гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от
зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из
другого фокуса.
3)
Если
источник
света
находится
в
фокусе
параболического зеркала, то лучи его, отразившись от
зеркала, идут далее параллельно оси.
Спасибо за внимание!