Организация устной работы при решении уравнений с

«Организация устной
работы при решении
уравнений с параметром
в курсе математики
основной школы»
2014г.
Серевко Ирина
Дмитриевна, учитель
высшей категории,
«Старший учитель»
Армянского УВК
школы-лицея № 2
Цель устной работы при решении
уравнений с параметром:
1)
2)
Разнообразие и активизация мыслительной
деятельности учащихся.
Достижение поставленных целей урока.
Задачи:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Развивать интерес учащихся к задачам с параметром;
Включать в работу всех учащихся;
Развивать внимание, вариативность мышления;
Способствовать глубокому пониманию программного
материала;
Стимулировать поиск рациональных способов
решения;
Воспроизводство, корректировка и контроль состояния
знаний умений и навыков учащихся.
Требования к проведению устной
работы при решении уравнений с
параметром:
• Уравнения для устного счёта выбираются не
случайно, а централизованно.
• Задания должны быть разнообразными,
предлагаемые задачи не должны быть
лёгкими, но и не должны быть «громоздкими».
• Тексты упражнений, если требуется, должны
быть приготовленные заранее.
• К устному счёту должны привлекаться все
учащиеся.
Задачи с параметрами вызывают
большие затруднения у учащихся и
учителей. Это связано с тем, что
решение таких задач требует не только
знания свойств функций и уравнений,
умения выполнять алгебраические
преобразования, но также высокой
логической культуры и хорошей
техники исследования.
Решение уравнений с параметрами
является одним из наиболее сложных и
интересных разделов математики, которой
развивает мыслительную деятельность
учащихся, формирует представление о
буквенном
выражении
чисел
и
их
свойствах, систематизирует и значительно
расширяет знание учащихся полученные в
учебной
деятельности
при
изучении
свойств
уравнений,
функций
при
выполнении
алгебраических
преобразований.
Открывает перед учащимися значительное число
эвристических приёмов общего характера, применяемых в
исследованиях на любом другом материале, повышает
логическую культуру и технику исследований.
Позволяет
приблизить
знания
учащихся к требованиям искомых
школьных
и
вступительных
экзаменов.
Решение линейных уравнений с
параметрами
Формировать умение учащихся видеть
в выражении число, обозначенное
буквой, необходимо на начальных
ступенях обучения математике.
В 5 классе при повторении свойств
чисел можно рассмотреть примеры.
5 класс
1) При каком натуральном значении a верно
равенство?
а) a+7=7+5;
б) 3·a=8·3
2) При каких натуральных значениях в деление 28:в
выполнено без остатка?
3) При каких натуральных значениях в при делении
16:в в остатке получится 1?
4) При каких натуральных значениях с верно
неравенство 12с<100?
5) При каких натуральных p верно неравенство
12<5p<50?
Задания подобные примерам 1, 2, 4 можно
предлагать учащимся в устной форме, а примеры 3, 5
для
индивидуальной
работы
в
качестве
развивающего плана.
5 класс
В теме «Решение уравнений» ребята знакомятся с
определением понятия «корень уравнения», вызывает
интерес и способствует запоминанию определения
корня уравнения следующие задания: Укажите
значение а при котором число 5 является корнем
уравнения a·x=20.
Решение. Если число 5 – корень уравнения ax=20,
то равенство будет верным a·5=20
a=20:5
a=4
Ответ: при a=4 число 5 – корень уравнения ax=20
5 класс
Полезно в 5 классе так же устно решать простейшие
линейные
уравнения,
знакомящие
учащихся
с
параметрами. Предложим учащимся найти корни этих
уравнений при различном значении а.
Решите уравнение относительно x:
1) x+a=0
Решение. x=-a , при любом значении а.
Ответ: x=-a, при любом значении а.
2) 3x+a=0
a
Решение. 3x = - a, x  
, при любом значении а.
3
Ответ:
, при любом значении а.
6 класс
При изучении темы «Обыкновенные дроби» в курсе
математики 6 класса в устной и самостоятельной работе
можно использовать примеры, способствующие
запоминанию понятий «правильная» и «неправильная»
дроби, умению сокращать дроби.
b 1
1) При каких натуральных значениях b дробь
является правильной?
6 8
2) При каких натуральных значениях m дробь
m 1
является неправильной?
3) При каких натуральных значениях а правильная
дробь a сократима?
18
4) При каких натуральных значениях с неправильная
дробь 24 сократима?
c
6 класс
В
заключении
изучении
темы
«Действия
с
рациональными числами» на уроках математики в 6
классе
можно
рассматривать
примеры
решения
уравнений вида
1) 0·x=a; 2) b·x=0.
1) При каких значениях a уравнение 0·x=a не имеет
решений?
При каких значениях a уравнение 0·x=a имеет
бесконечное множество решений?
2) При каких значениях b уравнение b·x=0 имеет
бесконечное множество решений?
При каких значениях b уравнение b·x=0 не имеет
решений?
6 класс
На занятиях по математике в 6 классе можно
устно решать уравнения с параметрами:
1)ax=6; 2) ax+3=0; 3) (a –1)x=8,3 4) bx= – 5 5)
aIxI+3=0
Сначала для этого предложим учащимся найти
переменную x. Тогда предложите найти корень
уравнения при а=0, а далее проанализируйте
от чего зависит решение уравнения.
6
1) ax=6. Решение. При a≠0 x=
a
При a=0 0·x=6 корней нет.
Ответ. При a≠0 x= 6 ; при a=0 корней нет.
a
2) ax+3=0. Решение. При a=0 0·x+3=0 корней нет.
При a≠0 x=  3
a
3
Ответ. При a≠0 x=  a ; при a=0 корней нет.
3) (a –1)x=8,3 . Решение. При a=1 (1-1)·x=3,8
0·x=3,8 корней нет.
8,3
x
При a≠1
a 1
Ответ. При a=1 корней нет; при a≠1
x
8,3
a 1
6 класс
Решите уравнения относительно x:
4) bx= – 5. Решение. При b=0 0·x=-5 корней нет.
5
При b≠0 x= 
b
5
Ответ. При b≠0 x=  ; при b=0 корней нет.
b
Решение следующего уравнения требует анализа с
использованием определения модуля. Таким образом
формируется осмысление того, что уравнение IxI=b
имеет корни только при b≥0
5) a·IxI+3=0. Решение. При a<0 a·IxI=-3, IxI=  3
a
3
3

>0, IxI>0. Значит, x= 
a 3
a
При a≥0 IxI=  a ;  a3 <0. Следовательно, корней нет.
Ответ. При a≥0 корней нет.
При a<0 x=± 3
a
7 класс
Продолжить
работу
по
решению
простейших
линейных
уравнений
с
параметрами и приводимых к ним можно в 7
классе при изучении темы «Решение линейных
уравнений».
В устной работе повторяются решения
уравнений 0·x=5; 6·x=0; 0·x=0; a·x=0; 0·x=b;
c·x=7.
Далее
можно
семиклассникам
предложить решить уравнения по алгоритму:
сначала рассмотрим при каком значении
параметра а коэффициент перед переменной х
равен нулю, далее рассмотрим уравнение при
других значениях параметра.
7 класс
Решите устно уравнение относительно x:
1)аx – 3а=0. Решение. ах=3а
3а
При a=0 0·x=3·0 х- любое число. При a≠0 x= ;
а
х=3
Ответ. При a≠0 x= 3; при a=0 х- любое число.
2) ax+а+3=0. Решение. а·х=-(а+3)
а3
При a=0 0·x= - (0+3), корней нет. При a≠0 x= 
а
а

3
Ответ. При a≠0 x= 
; при a=0 корней нет.
а
3) (a+3)x+а=0. Решение. (а+3)·х= - а
При a= - 3 (-3+3)·x+3=0
0·х=3, корней нет.
При a≠ - 3 x=  а
а3
Ответ. При a= - 3 корней нет. При a≠0 x=

а
а3
.
8 класс
Изучение темы «Действия с алгебраическими
дробями» позволяет углубить устную работу
с учащимися по выборке их умений
проводить анализ решения, формировать у
учащихся понимание условия дроби равной
нулю.
x3
0
a
x3
Решение. При а=0
 0 корней нет.
0
При а≠0 x=-3
Ответ. При а≠0 x=-3; при а =0 корней нет.
xa
xa
0
 0 корней нет.
Решение.
При
а=0
a
0
При а≠0 x=-a.
Ответ. При а=0 корней нет; при а≠0 x=-a.
8 класс
Устное решение квадратных уравнений с
параметрами в курсе математики основной
школы.
Устное решение квадратных уравнений с
параметрами в курсе математики основной школы.
Обучение решению квадратных уравнений с
параметрами можно начинать в 8 классе с устного
счёта, применяя знания учащихся, полученные при
изучении темы «Решение квадратных уравнений».
Учащиеся
знакомятся
с
понятием
«дискриминант», учатся находить количество корней
квадратного уравнения в зависимости от его
значения.
8 класс
Решите уравнение относительно х:
Неполное
квадратное
уравнение
начинаем в случае а=0, затем решаем
уравнение при а≠0.
1) ах²=0
Ответ. х=R при а=0; х=0 при а≠0
2) ах²=а
Ответ. х=R при а=0; х=±1 при а≠0
3) ах²= - а
Ответ. х=R при а=0; х=Ø при а≠0
4) ах²+2х=0
х(ах+2)=0
2
Ответ. х=0 при а=0; х=0 и х=
при а≠0
а
5) х²+2ах=0
х(х+2а)=0
Ответ. х=R при а=0; х=0 и х= - 2а при а≠0
8 класс
В следующем уравнении при устном счёте
сначала
рассматриваем
случай,
когда
старший
коэффициент
равен
нулю
–
формируем
такой
навык
работы
с
квадратным уравнением с параметрами.
Формируем
навыки
устного
решения
квадратных уравнений по теореме, обратной
теореме Виета.
ах² – 3ах – 4а=0
Решение.
 х1 х2  4
а(х² – 3х – 4)=0

 х1  х2  3
а(х – 4)(х + 1)=0
При а=0 х= R,
При а≠0 х= - 1, х=4
Ответ. При а=0 х= R,
При а≠0 х= - 1, х=4
8 класс
Можно рассматривать устно и такие
примеры:
1) При каких значениях m уравнение x²- 3x-2m=0
не имеет действительных корней?
Решение.
x²- 3x-2m=0 так как квадратное уравнение не имеет действительных
корней, то его дискриминант принимает отрицательное значение:
1
D=9+8m; 9+8m<0; m  1
8
1
Ответ. При m  1 уравнение не имеет действительных корней.
8
2) При каких значениях а уравнение х²+5х+10а=0 имеет два
действительных корня.
3) При каких значениях b уравнение х²+bх+4=0 имеет один
действительный корень?
9 класс
Девятиклассникам
кроме
ранее
описанных
примеров
можно
ещё
предложить решить устно уравнения
повторяющие
определения
арифметического квадратного корня и
тем самым формируем навыки решения
простейших
иррациональных
уравнений, а главное – формируем
умение анализировать уравнение, то
есть определять условие, при которых
уравнение имеет корни.
9 класс
Примеры:
Решите уравнения относительно х:
1)
х а
Ответ. При а<0 корней нет.
При а≥0 x=а²
2)
х 1  а2
Решение.
Так как а²≥0 то х  1  а ;4 х  а 4  1 при любом значении а
Ответ. x=а+1, при а=R
3)
х  2  а 2
Ответ. При а=0 х= - 2, при а≠0 корней нет
9 класс
4)
а x  0
Решение.
х умножили на параметр, то сначала
Поскольку
рассмотрим случай а=0. Получим уравнение 0  x  0
Далее обязательно нужно обеспечить учащимся почему
корнями уравнения является 0; , то есть вспоминаем
область определения функции у  х
Ответ. При а=0 х≥0
При а≠0 x=0.
9 класс
Знакомим учащихся с понятием области
допустимых значений параметра. Для устного
решения можно предложить уравнения:
5)
a  x 1
Решение.
x
1
a
1
При а≤0 корней нет. При а>0 x=
a
1
Ответ. При а≤0 корней нет. При а>0 x=
a
6)
x  a 1
Решение.
В этом примере нужно обратить внимание на то, что
ОДЗ учитывается при решении.
Ответ. При a=R x=1+a
9 класс
Решите уравнение относительно x:
7) ( x  a) x  1  0
Решение уравнения начинаем с
нахождения ОДЗ уравнения, а
далее анализируем устно, как
значения параметра а влияют на
количество корней.
Ответ. При a≤-1 x=-1
при a>-1 x=-1, x=0
Заключение
Учащиеся, владеющие методами решения задач с
параметрами показывают глубокие знания свойств
функций, изучаемых в курсе математики основной
школы, умение логически мыслить, осуществляя анализ
и синтез любой задачи школьных образовательных
программ и жизненных ситуаций.
Эти ребята имеют грамотную математическую речь,
показывают прочные знания по математике и других
предметам. Они владеют общеучебными умениями и
навыками,
что
позволяет
им
самостоятельно
приобретать
знания, развивать
свои
творческие
способности.
Используемые источники:
1. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. «Перші
зустрічі з параметром», Київ, «Факт», 2006 г.
2. ВНО 2006-2014 гг.
3. Бурлыга А.Я. «Интересные приёмы устного
счёта»//Начальная школа, 1985 г., № 5.
4. Зайцева О.П. «Роль устного счёта в формировании
вычислительных навыков и в развитии личности
ребёнка» // Начальная школа, 2001 г., № 1
5.
«Организационные
формы
обучения»
под
редакцией Ю.А.Малеванного, Киев, 1991 г.
6. maria73.ucor.ru
7. festival.1september.ru
8. fs.nashaucheba.ru
9. kokoulina.jimdo.com
10. myshared.ru
11. nsportal.ru
12. nauka_shop.com
13. ppt_opline.org