Лекция 24. Тема: модели установления равновесной цены на рынке одного товара.

реклама
Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»
Лекция 24.
Тема: Моделирование взаимодействия потребителей и
производителей.
Цель: Рассмотреть функцию предложения и
модели установления равновесной цены на
рынке одного товара.
Функция предложения
• Функция предложения S(p)
описывает зависимость между
рыночной ценой товара и его
предложением на
изолированном рынке этого
товара.
Для практических расчетов
применяются функции
предложения двух основных
• Линейная
видов:
S ( p)  b  ap, (b  0; a  0)
• Степенная

S ( p)  bp , (b  0,   0)
• Коэффициент эластичности по
цене Ep(S) показывает, на
сколько процентов увеличится
предложение, если его цена
вырастит на 1%.
Для линейной функции предложения
b1 p
E p (S ) 
S
p, S
,где
- средние значения цены и предложения по
таблице наблюдений. Для степенной функции
предложения
d ln S
   E p (S )
d ln p
Модель Эванса установления
равновесной цены на рынке
одного товара
• Пусть D(t), S(t), p(t) – соответственно
спрос, предложение и цена товара в
момент t. Спрос и предложение будем
считать линейными функциями цены, то
есть D=a-bp, a и b >0,
a S=m+np, m и n>0 и при нулевой цене
спрос превышает предложение.
• Основное предположение состоит в
том, что цена изменяется в зависимости
от соотношений между спросом и
предложением, то есть увеличение
цены прямо пропорционально
превышению спроса над предложением
и длительности этого превышения.
Получаем дифференциальное
уравнение:
dp
  (D  S )
dt
• Подставим в это уравнение линейные
зависимости спроса и предложения от
цены, получаем линейное
неоднородное дифференциальное
уравнение с начальным условием:
P(0)=P0
dp
  ((b  n)  p  a  m), (1)
dt
• Это уравнение имеет стационарную

точку
p  (a  m) /(b  n)  0
dp
0
dt
dp
0
dt
при p*>p
при p*<p
Отсюда следует, что
lim p(t )  p
t 

При p0<p* цена стремится p*
возрастая,
а при p0>p* цена стремится p*
убывая.
Сама цена p* есть
равновесная цена, при которой
равны спрос и предложение:
D  S  a  bp  m  np  p   (a  m) /(b  n).
Решение дифференциальное
уравнение (1) имеет вид
p( t )  p0e
 ( b   )t
или
p( t )  p0 e
причем

 ( a   ) /( b   ) 1  e
 ( b   )t

 p* 1  e
p
(
t
)

p
*
lim
t 
 ( b   )t
 ( b   )t


Замечание.
В дискретной модели Эванса рынок
функционирует следующим образом:
утром на рынке обнаруживается
некоторое предложение S и спрос d. В
зависимости от их значений цена
начинает равномерно расти или
убывать.
• В отличии от паутинообразной
модели рынка, точка равновесия
не переходится, то есть если цена
была меньше равновесной, то она
так и останется меньше, и весь
процесс изображается слева от
точки равновесия, а если цена
была больше равновесной, то она
так и останется больше, и весь
процесс изображается справа от
точки равновесия.
Паутинообразная модель
• Пусть в начальный момент
времени установлена начальная
цена p0, при этом спрос оказался
меньше предложения, то есть
D(p0)<S(p0), тогда понижаем цену
до уровня, при котором спрос
равен предложению при
первоначальной цене
D(p1)=S(p0).
• В паутинообразной модели
рассматривается однопродуктовый
рынок.
При новой цене p1 спрос превышает
предложение
D(p1)>S(p1),
поэтому повышаем цену до уровня
p2, при котором
D(p2)=S(p1)
и т. д .
Процесс, описываемый рекуррентным
соотношением
D( pi )  S ( pi 1 ), i  1,2,...
сходится.
Спрос характеризуется убывающей
функцией S(p) , предложение –
возрастающей функцией D(p).
Вопросы:
1)Какой функцией описывается спрос на
товар, а какой – предложение товара?
2)Что такое равновесная цена?
Скачать