В15: новые задачи и новое решение

В15: новые задачи и новое решение
О. Б. Богомолова,
Д. Ю. Усенков
Задача
Сколько существует различных наборов значений логических
переменных x1, х2, х3, х4, х5, y1, у2, у3, у4, у5, которые удовлетворяют
всем перечисленным ниже условиям?
(x1→ x2)  (x2→x3)  (x3→x4)  (x4→ x5) = 1;
(y1→ y2)  (y2→y3)  (y3→y4)  (y4→ y5) = 1;
y5 → x5 = 1.
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений
переменных x1, х2, х3, х4, х5, y1, у2, у3, у4, у5, при которых выполнена
данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение
Уравнения –
«генераторы»
(x1→ x2)  (x2→x3)  (x3→x4)  (x4→ x5) = 1;
(y1→ y2)  (y2→y3)  (y3→y4)  (y4→ y5) = 1;
y5 → x5 = 1.
Уравнение –
«ключ»
Первые несколько уравнений «генерируют» наборы значений
переменных x и y. Последнее уравнение связывает между собой
значения переменных x и y и определяет, какие из сгенерированных
наборов являются решениями.
Операция следования
a
b
ab
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Операция следования дает результат 0 в одном-единственном случае:
когда из 1 следует 0.
Во всех остальных случаях операция следования дает результат 1.
Анализ первого уравнения
(x1 → x2)  (x2→x3)  (x3→x4)  (x4→ x5) = 1;
Операнды в скобках соединены операцией И: результат 1 достигается
только когда все операнды равны 1.
Чтобы получить в результате следования (x1 → x2) единицу, возможны
три случая:
а) если x1 равно 1, то x2 может быть равно только 1;
б) если x1 равно 0, то x2 может быть любым (или 0, или 1).
Построение дерева решений
Операция:
(x1)
(0????)
( x1  x 2)  1
(00???)
(01???)
( x 2  x3)  1
(000??)
(001??)
(011??)
( x 3  x 4)  1
(0000?)
(0001?)
(0011?)
( x 4  x5)  1
(00000)
(00001) (00011)
(1????)
«Размножаются» только нули
(11???)
(111??)
(0111?)
(00111)
(1111?)
(01111)
(11111)
Анализ первого уравнения
(x1 → x2)  (x2→x3)  (x3→x4)  (x4→ x5) = 1;
Получаем следующий набор значений переменных:
( x1x 2 x3 x 4 x5) = (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111)
Анализ второго уравнения – аналогичен
(y1 → y2)  (y2→y3)  (y3→y4)  (y4→ y5) = 1;
Получаем следующий набор значений переменных:
( y1y 2 y3 y 4 y5) = (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111)
Анализ последнего уравнения
y5 → x5 = 1
Это уравнение связывает независимые наборы значений x и y, играя
роль фильтра.
Учитывая таблицу истинности операции следования, получаем:
• для наборов значений переменных y, где y5 = 0, пригодны любые
наборы значений переменных x;
• для наборов значений переменных y, где y5 = 1, пригодны только те
наборы значений переменных x, где x5 = 1.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
+
+
+
+
+
+
6
(00001)
–
+
+
+
+
+
5
(00011)
–
+
+
+
+
+
5
(00111)
–
+
+
+
+
+
5
(01111)
–
+
+
+
+
+
5
(11111)
–
+
+
+
+
+
5
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 31 решение.
31
Другое «ключевое» уравнение
x1 → y1 = 1
Учитывая таблицу истинности операции следования, получаем:
• для наборов значений переменных x, где x1 = 0, пригодны любые
наборы значений переменных y;
• для наборов значений переменных x, где x1 = 1, пригодны только те
наборы значений переменных y, где y1 = 1.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
+
+
+
+
+
+
6
(00001)
+
+
+
+
+
+
6
(00011)
+
+
+
+
+
+
6
(00111)
+
+
+
+
+
+
6
(01111)
+
+
+
+
+
+
6
(11111)
–
–
–
–
–
+
1
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 31 решение.
31
Другое «ключевое» уравнение
x1  y1 = 1
Учитывая таблицу истинности операции ИЛИ, получаем:
• когда в наборе значений переменных x первая цифра равна 1,
пригодны любые наборы значений переменных y;
• когда в наборе значений переменных x первая цифра равна 0,
пригодны только те наборы значений переменных y, где y1 = 1.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
–
–
–
–
–
+
1
(00001)
–
–
–
–
–
+
1
(00011)
–
–
–
–
–
+
1
(00111)
–
–
–
–
–
+
1
(01111)
–
–
–
–
–
+
1
(11111)
+
+
+
+
+
+
6
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 11 решений.
11
Другое «ключевое» уравнение
x1  y1 = 0
Учитывая таблицу истинности операции ИЛИ, получаем:
• когда в наборе значений переменных x первая цифра равна 0,
пригодны только те наборы значений переменных y, где y1 = 0;
• когда в наборе значений переменных x первая цифра равна 1,
непригодны никакие наборы значений переменных y.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
+
+
+
+
+
–
5
(00001)
+
+
+
+
+
–
5
(00011)
+
+
+
+
+
–
5
(00111)
+
+
+
+
+
–
5
(01111)
+
+
+
+
+
–
5
(11111)
–
–
–
–
–
–
0
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 25 решений.
25
Другое «ключевое» уравнение
x3  y3 = 1
Учитывая таблицу истинности операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ,
получаем:
• когда в наборе значений переменных x третья цифра равна 0,
пригодны только те наборы значений переменных y, где y3 = 1;
• когда в наборе значений переменных x третья цифра равна 1,
пригодны только те наборы значений переменных y, где y3 = 0.
Другими словами, нужны такие пары значений x и y, где третьи цифры
различны.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
–
–
–
+
+
+
3
(00001)
–
–
–
+
+
+
3
(00011)
–
–
–
+
+
+
3
(00111)
+
+
+
–
–
–
3
(01111)
+
+
+
–
–
–
3
(11111)
+
+
+
–
–
–
3
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 18 решений.
18
Другое «ключевое» уравнение
(x1→ y1)  (x5  y5) = 0
Операция ИЛИ дает нулевой результат, только если оба операнда
равны 0.
Операция следования дает нулевой результат только в случае 1 → 0.
Другими словами, нужны такие пары значений x и y, где первая единица
в наборе значений x соответствует первому нулю
в наборе y и одновременно их пятые цифры одинаковы.
Строим матрицу решений
( x1x 2 x3 x 4 x5)
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
–
–
–
–
–
–
0
(00001)
–
–
–
–
–
–
0
(00011)
–
–
–
–
–
–
0
(00111)
–
–
–
–
–
–
0
(01111)
–
–
–
–
–
–
0
(11111)
–
+
+
+
+
–
4
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 4 решения.
4
Другое «ключевое» уравнение
(x1 → y1)  (x5  y5) = 1
Операция ИЛИ дает результат «единица», если хотя бы один операнд
равен 1.
Операция следования дает нулевой результат только в случае 1 → 0.
Операция И дает результат «единица», если оба операнда равны 1.
Другими словами, нужны такие пары значений x и y, где последние
цифры не являются одновременно нулевыми и при этом первая
цифра в наборе значений x либо равна нулю, либо равна 1
одновременно с равенством 1 первой цифры в наборе значений y.
Строим матрицу решений
(00000)
(00001)
(00011)
(00111)
(01111)
(11111)
Кол-во
вариантов
(пар)
(00000)
–
+
+
+
+
+
5
(00001)
+
+
+
+
+
+
6
(00011)
+
+
+
+
+
+
6
(00111)
+
+
+
+
+
+
6
(01111)
+
+
+
+
+
+
6
(11111)
–
–
–
–
–
+
1
( x1x 2 x3 x 4 x5)
( y1y 2 y3 y 4 y5)
Всего возможных вариантов (пар)
наборов значений ( x1x 2 x3 x 4 x5) и ( y1y 2 y3 y 4 y5) :
Ответ: 30 решений.
30