Модели в виде систем одновременных уравнений. Оценка

Модели в виде систем
одновременных уравнений
Оценка параметров структурной
формы модели
Предполагаем, что модель идентифицируема.
Для иллюстрации этого метода, в котором каждое
поведенческое уравнение модели оценивается отдельно
от другого, выберем простейшую "паутинную" модель
спроса-предложения товара:




M u t pt 1  M v t pt 1  0

2
2
σ u t pt 1  σu

2
2

σ v t pt 1  σv

d
y t  a0  a1 pt  u t
s
y t  b0  b1 pt 1  v t
(1.1)
Необходимо найти оценки параметров a0, a1, b0, b1, а
также СКО этих оценок
Оценка параметров структурной
формы модели
Убедимся в том, что оба уравнения модели
идентифицированы
Воспользуемся правилом ранга:
rk(ĀRiT)≥G-1, i=1,2
 1 0  a1  a0 0 


A  0 1
0  b0  b1
1 1 0
0
0 


0 1 0 0 0

R1  
 0 0 0 0 1
 1 0 0 0 0

R2  
0 0 1 0 0
Оценка параметров структурной
формы модели
Для первого уравнения системы (1.1) имеем:
0

 1 0  a1  a0 0  1


A  RT1   0 1 0  b0  b1 0
 1  1 0 0 0  0


0

0

0  0 0 


0    1  b1

0    1 0 
1 
0 0 


rk  1  b1  2
1 0 


Проверяем условие: rk(ĀR1T)≥G-1 2=3-1=2,
следовательно, первое уравнение точно
идентифицированно
Соответственно для второго уравнения:
1

 1 0  a1  a0 0  0


T
A  R 2   0 1 0  b0  b1 0
 1  1 0 0 0  0


0

0

0   1  a1


1   0 0 

0   1 0 
0 
 1  a1


rk  0 0   2
1 0 


rk(ĀR1T)≥G-1
2=3-1=2
Оценка параметров структурной
формы модели
Что доступно для наблюдения: (y*I, pi, pi-1)
Имеем уравнения наблюдений схемы Гаусса-Маркова:
y1 = a0 + a1 · p1 + u1
y2 = a0 + a1 · p2 + u2
...................……….
yn = a0 + a1 · pn + un
Однако, применить к ней МНК нельзя, т.к. COV(pi,ui)≠0
Запишем приведенную форму модели для переменной pt
u
b0  a0 b1
 pt 1  v t t
(1.2)
a1
a1
a1
2
 b0  a0 
 b1

 v t  ut 
σu
COV pt ,u t   COV 
,u t   COV  pt 1 ,u t   COV 
,u t   
a1
 a1

 a1

 a1

pt 
Оценка параметров структурной
формы модели
Оценки параметров структурной формы модели
оказываются смещенными и неэффективными даже при
выборках большого объема
Это видно из следующих вычислений:
 
   
 
1 
1
 1
1 T  
1
T
T
T
x Y x x Y x x
x xa  u  
n
n
n
1
1
1 T
1 T
 1 T  1 T
 x x  x x a  x x
x ut 
n
n
n
n

 1 T 1 1 T
a x x
x ut
n
n
~
a  xT x
1
 
 
(1.2)
Из (1.2) видно, что вектор оценок параметров модели
отличается от «истинных» значений на некоторую
величину, которая делает оценки смещенными
Оценка параметров структурной
формы модели
Форма (1.2) оценок параметров линейной модели МНК
полезна тем, что она позволяет сформулировать
достаточные условия состоятельности
Условия состоятельности:
1.
 1 T  
P lim   x u    0
n    n

2.
существует матрица
3.
1 T 

M xx P lim  x x 
n   n

1 T 
2

σu P lim  u u 
n   n

(1.3)
1
(1.4)
(1.5)
Косвенный метод наименьших
квадратов
Косвенный метод наименьших квадратов применяется в
случае точной идентифицируемости уравнений модели
Алгоритм применения КМНК:
1. От структурной формы модели переходят к
приведенной
2. Определяются МНК-оценки параметров
приведенной формы модели
3. По МНК-оценкам приведенной формы
вычисляют-ся оценки параметров структурной формы
модели.
Косвенный метод наименьших
квадратов
Мы знаем связь параметров структурной и приведенной
форм моделей:
М=-АВ или АМ=-В или АМ+В=0
(2.1)
Это выражение с использованием расширенной
матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет
вид:
M 
(2.2)
A 0
i
I 
где: I – единичная матрица размером kxk
Для оценки параметров i-го уравнения необходимо
добавить априорные ограничения и условия
нормализации
Косвенный метод наименьших
квадратов
В результате получается система алгебраических
уравнений относительно элементов матрицы Ā

M 

0
Ai  

 I 


T

0

A i Ri

aii  1



(2.3)
Доказывается, что, если i-ое уравнение точно
идентифицируемо и выполнено условие нормализации,
то система (2.3) имеет единственное решение
Косвенный метод наименьших
квадратов
Задача. Построить модель потребления свинины на душу
населения у1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее
у2 (долл/фунт), располагаемого дохода х1 (в долл) и
расходов по обработке мяса х2 (% от цены)
Известно:
1. Потребление свинины пропорционально ее цене при
этом потребление падает с ростом цены, и
пропорционально располагаемому доходу
2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом
стоимости ее переработки
Косвенный метод наименьших
квадратов
Решение.
1. Спецификация модели. С учетом отмеченных
закономерностей спецификацию модели можно
записать в виде
y 1t  a12 y 2t  b11 x1t  u t 

y 2t  a21 y 1t  b22 x 2t  v t 

a12  0

(2.4)
В приведенной форме модель (2.4) примет вид:
y 1t  m11 x1t  m12 x 2t  ξ t 
y 2t  m21 x1t  m22 x 2t  ζt 
(2.5)
Косвенный метод наименьших
квадратов
2. Сбор исходной информации для оценки модели
Потрб
ление
y1
Цена
y2
Доход
x1
Перера
ботка
x2
1990
-3
0.6
-200
3
1991
-1
-0.4
-200
-1
1992
2
-0.2
0
-1
1993
-1
0.6
100
6
1994
3
-0.6
300
-7
Год
Косвенный метод наименьших
квадратов
3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели
y 1t  0.006 x1t  0.265 x 2t  ξ t

0.03
0.13 1.22 
y 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t  ζt 
0.0006 0.028 0.25

2
R1  0.81
R 2  0.85
2
(2.6)
Косвенный метод наименьших
квадратов
4. Вычисление параметров структурной формы модели
4.1 Для первого уравнения модели
Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид
 1  a12  b11 0 

A  
  a21 1 0  b22 
Система алгебраических уравнений (2.3) примет вид
M 
A 1    1  a12  b11
 I 
 m11 m12 


m21 m22 
0 
 0 0 
 1
0 


0
1


(2.7)
Косвенный метод наименьших
квадратов
После перемножения матриц в системе (2.7) получим
m11 – a12m21 - b11=0
m12 – a12m22 = 0
Решив полученную систему относительно параметров aij
получим искомые параметры для первого уравнения
модели (2.4)
~ 12  0.265
m
m
12
~
 2.363
a12 
a 12  ~ 
0.112
m22
m22
~  0.006  2.363  0.0003  0.0067
b11  m11  a12 m21 b
11
Косвенный метод наименьших
квадратов
4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей (2.4-2.5)
Структурные параметры для него есть решение
системы уравнений:
 m11

M
 
 m21




1

0



a
b
21
22
A2
 1
I 

 0
 a21 m11  m21  0

 a21 m11  m22  b22  0
m12 

m22 
 0 0 
0 

1 
~ 21 0.0003
m
~
 0.048
a 21  ~ 
m11 0.006
~
~ 21 m
~ 22  a
~ 12  0.112  0.048 0.265   0.125
b 22  m
Косвенный метод наименьших
квадратов
В результате структурная форма модели (2.4) получила
вид
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
y 2t  0.048 y 1t  0.125 x 2t  v t 

Остается проверить ее адекватность
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
В основе метода лежит понятие «инструментальных
переменных»
Пусть имеем линейную модель множественной
регрессии
y t  a1 x1  a2 x 2  ...  ak x k  u t 

M u t   0

2
2
σ u t   σ



COV XU  0
(3.1)
 
В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют
со случайными возмущениями
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
Определение. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются
инструментальными для модели (3.1), если они
удовлетворяют двум требованиям:
(3.2)
 1 T 
P lim  z u   0
n   n

2. Существует и не вырождена матрица
1.
1 T 
M zx  P lim  z X 
n   n

(3.3)
Т.е. zit коррелируют в пределе с xit и не коррелируют в
пределе со случайными возмущениями
Теорема. Процедура

~
a
z x  z
T
1
T

y
(3.4)
доставляет состоятельные оценки параметров модели
(3.1)
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
Вопрос. Как построить инструментальные переменные?
Вернемся к уравнению (1.2)
pt 
 ut
b0  a0 b1
 pt 1  v t
a1
a1
a1
(1.2)
Перепишем его в виде:
pt  m0  m1 pt 1  εt
(3.5)
Если удастся избавиться от εt, т.е. найти переменную
zt  pt  εt
то она могла бы выступить в качестве
инструментальной переменной
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы
уравнений ДМНК
1. Оценивание параметров приведенной формы модели
для эндогенных переменных, включенных в правую
часть уравнения модели с помощью МНК
2. Оцениваются параметры структурной формы
уравнения модели, в правую часть которой вместо
значений эндогенных переменных подставляются их
оценки, рассчитанные по приведенным формам
модели, которые получены на предыдущем шаге.
3. Оцениваются точностные характеристики модели
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу:
Оценить параметры структурной формы модели (2.4)
y 1t  a12 y 2t  b11 x1t  u t 

y 2t  a21 y 1t  b22 x 2t  v t 

a12  0

(2.4)
1. Оценка параметров первого уравнения
Приведенная форма уравнения для эндогенной
переменной y2t имеет вид:
y 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t  ζt 
0.0006 0.028 0.25

R 2  0.85
2
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
Оценка эндогенной переменной ŷ2t соответственно есть
y~ 2t  0.0003 x1t  0.112 x 2t
(3.6)
Исходные данные для оценки параметров первого
уравнения модели (2.4)
Год
Пот-ние
y1
Цена
ŷ2
Доход
x1
Перера
ботка
x2
1990
-3
0.277
-200
3
1991
-1
-0.171
-200
-1
1992
2
-0.112
0
-1
1993
-1
0.702
100
6
1994
3
-0.696
300
-7
Здесь ŷ2t
рассчитано по
формуле (3.6)
Двухшаговый метод наименьших
квадратов
По данным столбцов 2, 3, 4 оцениваются структурные
параметры первого уравнения модели (2.4)
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
1.247
0.003 1.218

2. Уточнение СКО структурных параметров


2
~
~
 y 1t  y 1t  1.001
σu
~
~


σ
σi
σu
i
nk
σu
1.247  1.001
0.003  1.001
~
~


1
.
025

 0.002
σa12
σb11
1.218
1.218
Окончательно первое уравнение модели (2.4) имеет вид
y 1t  2.363 y 2t  0.0067 x1t  u t 
1.025 0.002 1.001
