ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ Общие понятия Идентификация – это процесс построения моделей объектов различной природы. Теория идентификации имеет в своем арсенале достаточно эффективные методы и алгоритмы, на базе которых разработаны и широко используются программные комплексы. Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов: идентификации структуры моделей и идентификации параметров в моделях выбранной структуры. При построении структуры модели (или набора конкурирующих либо взаимодополняющих структур) используется априорная информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки структур с сопутствующей информацией. Модели делятся на статические и динамические. Первые из них описывают объекты в стационарных режимах их работы. Динамические модели описывают переходные процессы в объектах, например, возникающие при переходе с одного стационарного режима работы объекта на другой. Постановка задачи подстройки параметров нелинейных моделей u * Объект (u, a) Модель (u , ) Считаем, что выход объекта состоит из полезного сигнала η(u, a) и центрированной помехи ξ. Сигнальная часть выхода представляет собой известную функцию от входа с неизвестными параметрами a. В структуру функции η(u, a) . Все, что не удается описать в объекте, относят к помехе. Модель объекта берем в виде функции η(u, α). Основная задача теперь сводится к расчету параметров α модели. Алгоритмы расчета будем строить, используя критерий наименьших квадратов и близкие к нему критерии, например наименьших модулей невязок. В зависимости от свойств помехи критерий наименьших квадратов приобретает различные формы – от простейшей до самой общей. Критерий наименьших квадратов Считаем, что в каждый момент времени ti (момент измерения входа и выхода объекта) помехи ξi, являются центрированными случайными величинами с дисперсиями σi2. Если дисперсии различны, то измерения называются неравноточными. Тогда критерий наименьших квадратов имеет вид: 1 * I 2 (i i ) 2 min , i 1 i n i (ui , ) При равноточных измерениях весовые коэффициенты 1/σi2, характеризующие информативность измерений, одинаковы. Тогда критерий имеет вид: 1 n * I 2 (i i ) 2 min i 1 Критерий наименьших квадратов Если все помехи ξi коррелированны, т. е: 12 k12 k1n 1 K M {T }, , K 1 (cij ) 2 k k n n1 n 2 n то критерий наименьших квадратов базируется на элементах cij матрицы, обратной корреляционной: n n I ( ) ( *i i )cij ( *j j ) min i 1 j 1 Это общая форма критерия. Она включает в себя (при соответствующих упрощениях) все предыдущие формы. Запишем критерий в матричной форме. 1* (u1 , ) 1 1 H * , H ( ) , * (u , ) n n n n I ( ) ( H * H ( ))T K 1 ( H * H ( )) min Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели Модель объекта задана в виде линейной комбинации известных (базисных) функций φ1(u),…, φm(u): 1 1 (u ) m T T , ( u ) (u, ) j (u ) j (u ) (u ), j 1 (u ) m m T (u1 ) T (u1 ) 1 (u1 ) 2 (u1 ) m (u1 ) H ( ) T T (u ) (u ) (u ) ( u ) ( u ) m n 1 n 2 n n n Параметры α находим по критерию наименьших квадратов: I ( ) ( H * ) T K 1 ( H * ) min Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели Пример расчета параметров: * ( u , ) c D ( u , ) (u , ) c D(u , ) * 1 (u , ) 1 2 (u u ) u1 u u Метод последовательной линеаризации при подстройке параметров на основе критерия наименьших квадратов Построим итерационную процедуру расчета параметров α модели в соответствии с критерием наименьших квадратов. Так как функционал квадратичный, то первая стадия метода не реализуется и на каждой итерации используется только линейная аппроксимация выхода модели по параметрам: dH (l ) l 1 H () H ( ) d l l 1 l dH (l ) l 1 T 1 * dH (l ) l 1 l I ( ) ( H H ( ) ) K ( H H ( ) ) min d d l 1 * l l 1 Необходимое условие минимума приводит к системе линейных алгебраических уравнений: dH T 1 dH l 1 dH T 1 * l K K ( H H ( )) d d d l 1 l l l 1 , l 0, 1, 2, Робастные оценки параметров Параметры модели (которые являются оценками параметров объекта), полученные на основе критерия наименьших квадратов, сильно реагируют на выбросы помех. Аномальные отклонения в измерениях очень редки, но амплитуда их велика. n I1 () | *i | min i 1 Так же существуют другие критерии вида: n I ( ) pi1( ei ) min , i 1 Примеры функции ψ(e): a ei *i (ui , ) б (e) 0 e (e) 0.8 0 e в (e) 0 e Простейший адаптивный алгоритм подстройки параметров Линейная параметризация модели: (u, ) T (u ) На каждой итерации, например n и n-1, параметры модели находим из условия равенства выходов модели и объекта: *n T (un ) n , *n 1 T (un 1 )n 1 Каждому уравнению в пространстве параметров соответствует своя линия 2 n || n ||2 min n n 1 n 1 a 1 ( *n T (un ) n 1 ) n n 1 (un ) n 1 ( *n T (un ) n 1 )( T (un )) T ( u n ) ( u n ) n n a T (un ) n (un )(un ) n n 1 n 1 ( n n 1 ), n 1, 2, ... . Простейший адаптивный алгоритм подстройки параметров Нелинейная модель: На каждом шаге линеаризуем модель и приращения параметров отыскиваем из равенства выхода модели и линеаризованной модели: (u n , n 1 ) (u n , n 1 ) n * n T В итоге получаем алгоритм перестройки параметров нелинейной модели: ( *n (un , n 1 )) n n 1 T (un , n 1 ) (un , n 1 )(un , n 1 ) ВОПРОСЫ ?