Дифференциальные уравнения (продолжение) План лекции

Дифференциальные
уравнения (продолжение)
План лекции
I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными (примеры)
II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка.
III. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.
IV. Линейные однородные дифференциальные
уравнения 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.
I. Примеры
х

1
dy


y

2
dx

0
1. 
3
2
Найти общий интеграл.
3
2
(
x

1
)

(
y

2
)

0
Поделим обе части на
чтобы разделить переменные.
dy dx
 3
0Проинтегрируем обе части:
2
(
y

2
) (
x

1
)
dy dx (C

const
)


C


2
3
(
y

2
)
(
x

1
)
(
y

2
)
d
(
y

2
)

(
x

1
)
d
(
x

1
)




2

3
1
1
- общий интеграл
 

C
2
y

2
2
(
x

1
)
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно
y и получить общее решение.
2.
2

y

y
cos
x
ln
y
Перепишем уравнение, заменив
y
на
dy
:
dx
dy 2
y cosxlny | dx
dx
2
2
ydx
cos
xlnydy | : ycos
x0
dx
dy
dx lnydy
lny  2 

2
cosx
y
cosx
y
1 2
tg
xlnyd
(ln
y)tg
x ln yC- общий интеграл
2
3.
(y  xy)dx(x  xy)dy 0
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося
общие множители за скобки:
y(1 x)dx x(1 y)dy 0 | : (yx)
1 x
1 y
1 x
1 y
dx
dy 0  
dx 
dy C 
x
y
x
y
1 
1 
  1dx   1 dy C 
x 
y 
dx
dy
   dx   y  C 
x
y
lnx  x lny  y  C - общий интеграл
4.
Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию
ydx  ctgx  dy  0 ,
 
y   1.
 3
Найдем вначале общий интеграл.
ydx  ctgx  dy  0
| :  yctgx  0
dx dy
dy

 0   tgxdx  
C 
ctgx y
y
y
C 
cos x
y
y
y
 eс 
 C1 
 C1 
cos x
cos x
cos x
 ln cos x  ln y  C  ln
y
 C
cos x
С
1

2
y  C cos x
2
- общее решение
 e с , C   C .
2
1
Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения

, y  1
x 
3

 C  2
 1  C cos
3
Найденное значение константы С подставляем в общее решение
y   2 cos x - искомое частное решение
2
2
2
II. Линейные однородные
дифференциальные уравнения 1-ого
порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и её
производной y
Общий вид линейного уравнения:

y

P

x


y

Q

x

Рассмотрим случай однородного уравнения, когда

y

P

x


y

0
, т.е.:
Q
x0
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
dy dx
dy

P

x


y

0
|


P

x

dx

0
dx dy
y
Интегрируем:
dy
 PxClny PxdxC

y
lnyC Pxdx yeCPxdx 
Pxdx
ye e
C
Pxdx
 yC
1e

Pxdx
yC
e
2
C
(здесь C

e
,C
C
1
2 
1)
Пример.

y

y
ctg
x

0
Найти общее решение.
и тогда

x



ctg
x
Здесь P
ln
sin
x
ctg
xdx

y

Ce

y

C
y

C
sin
x

y


C
sin
x

y

C
sin
x
- искомое общее решение
1
(
C


C
)
1
III. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижение
порядка.
(
n
)
Уравнение вида y 
f(x
)решается последовательным n-кратным
интегрированием.
Умножаем обе части уравнения на dx:
(
n
)

y
dx

f
x
dx
Интегрируем:
(
n
)


y
dx

x
dx

f
Получаем уравнение (n-1)-го порядка:
(
n

1
)


y

F
x

C
1
1,где F1(x)первообразная для f(x)
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
(
n

2
)(
y
(
x
)

C
)
dxили
F
1
1
(
n

2
)
y
F
(
x
)

C
x

C
2
1
2и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант
Пример.
y  60x2  dx
ydx 60x2dx ydx  60x2dx
3
x
y  60 x2dxy  60
C
3
1
y  20x3 C1  dx
ydx (20x3 C1)dx ydx  (20x3 C1)dx
y  5x4 C1x C2  dx
ydx (5x4 C1x C2)dx ydx  (5x4 C1x C2)dx
2
x
y  x5 C1
C2x C3
2
IV. Линейные однородные дифференциальные
уравнения II-ого порядка с постоянными
коэффициентами.
Такими уравнениями называются уравнения вида:



a
y

a
y

a
y

0
(1)
0
1
2
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её
производных, а коэффициенты
a,a,a - постоянные a 0
0 1 2
0

Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:
2
a
r
a
r

a

0(2)
0
1
2
которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой
функции соответствующими степенями r , причём сама функция
заменяется единицей.
Общее решение имеет вид
y

C
y

x


C
y

x

1
1
2
2
где y1 и y2 - линейно независимые частные решения уравнения (1),
а С1 и С2 - произвольные постоянные.
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта D
квадратного уравнения (2):
1) D0
В этом случае имеем 2 различных действительных корня
и общее решение имеет вид:
r
x
r
x
1
2
1
2
r1 и r2
,
y

C
e

C
e
2) D0
В этом случае имеем единственный действительный корень
r
x
0
решение имеет вид:
1 2
3) D0
r



i
y


C

C
x

e
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней
где i 
1- мнимая единица,  и
1
,2
действительные числа.
r0 , и общее
-

y

e


C
cos

x

C
sin

x

Общее решение имеет вид:
x
1
2
Примеры выделения чисел  и  :


2


5


2

5



1



2

5


1

1. r
1
,
2



2

5

i


2
,
5
1

31 3

11 3


 
i
2. r
1
,
2
2 2 2 22
1
3

, 
.
2
2
Примеры интегрирования уравнений




5
y

6
y

0
,
y

y

x

1. y
Характеристическое уравнение:
r

6

1
r

5
r

6

0


D

0

r


1

2
2
Имеем случай 1)
6
x

x
y

C
e

C
e
1
2 - общее решение
2
d
ydy
2.

4

4
y

0
,y

y

x

2
dx
dx
Характеристическое уравнение:
r

4
r

4

0


r

2


0

r


2

D

0
.
2
2
Имеем случай 2).
Общее решение запишется:

2
x
y


C

C
x

e
1 2
2
d
SdS
3.

6

13
S

0
,
S

S

t

.
2
dt
dt
Характеристическое уравнение:


2
Имеем случай 3).
r

6
r

13

0
,
D

36

52


16

0
.
6


16
6
4


1
r



3

2
i


3,

2
1
,
2
2
2
2
Общее решение:
3
t
S

e

C
cos
2
t

C
sin
2
t

1
2




2
y

2
y

0
4. Найти частное решение уравнения y

с начальными условиями y

0


1
,y

0


1
.
Найдём общее решение.
Характеристическое уравнение:
2
2
r

2
r

2

0
,
D

2

4

1

2


4

0

имеем 2 комплексных корня



2


4
2
2

1
r





1

i



1
,

1
1
,
2
2
1
2
Общее решение:

x
y

e

C
cos
x

C
sin
x

*
1
2

x

x

y

e

C
cos
x

C
sin
x


e

C
sin
x

C
cos
x

1
2
1
2
В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия

x

0
,
y

1
x

0
,
y

1
:
0
1

e

C
cos
0

C
sin
0


1
2


0
0
1

e

C
cos
0

C
sin
0


e


C
sin
0

C
cos
0


2
2
1
2
1

С
С

1


1
1



1


С

С
С

2


1
2
2
С
1и С
2подставляем в общее решение * :

x
y

e

cos
x

2
sin
x

- искомое частное решение.
Найденные значения