Основные понятия Основные уравнения гидро

Влияние вращения Земли
на распространение
гравитационных волн
Лекция 6
Система уравнений гидротермодинамики
z
v
1
  v ,   v +2   v   p =g
t

 
  v ,     0;
t
y
x
div v  0
Традиционное приближение
2   v   f  z0  v  ; f  2 sin 
g
r
Уравнения мелкой воды в
традиционном приближении
z   r ,t 
 vx
1p
  v ,   vx - fv y 
0
t
 x
 vy
1p
  v ,   v y  fvx 
0
t
y
z  H  r 
1p
-g
 z
div v  0
Условия непротекания на границе вода-воздух и на дне



 vx
 vy
 vz
t
x
y
Z   r , t 
H
H
vx
 vy
 vz
x
y
Z  H  r ,t 
Уравнения мелкой воды в
традиционном приближении
 vx
 vx
 vx

 vx
 vy
- fv y  g
0
t
x
y
x
 vy
 vy
 vy

 vx
 vy
 fvx  g
0
t
x
y
y
 


 H    vx   H    v y  0
t  x
y
Уравнения мелкой воды в
традиционном приближении для волн
малой амплитуды, Н=Н0=const
 vx

- fv y  g
0
t
x
 vy

 fvx  g
0
t
y
v y
vx

 H0
 H0
0
t
x
y
Для гармонической плоской волны
 v x ; v y ;     vx 0 ; v y 0 ;  0  e

 i t  k x x  k y y
Дисперсионное соотношение

   f  gH 0  k  k
2
2
2
x
2
y
  0

1. =0 - геострофическое равновесие
g 
vx  
f y
g 
vy 
f x
2. Инерционно-гравитационные волны
  f  gH 0  k  k
2

2
2
x
2
y

f
k
Компоненты скорости

f
v 
f
i
v; v 
 
H0 k
 f
; v 
 f
H 0 ki
Топографические волны Россби
H  H 0   y;
y
H0
 vx

- fv y  g
0
t
x
Дополнительное
слагаемое
 vy

 fvx  g
0
t
y
v y
vx

 H0
 H0
  vy  0
t
x
y

Дисперсионное соотношение
i gH 0  k  k
2
x
2
y
 
2
f
2
   g  k
y
 ik x f   0
Приближенные решения
дисперсионного уравнения

i gH 0  k  k
2
x
1.  f
 
2
f
2
   g  k
y
 ik x f   0
  f  gH 0  k  k   o  
2. << f

2
y
2
2

2
x
2
y
 gfk x
f 2  gH 0  k x2  k y2 
Фазовая скорость по х
имеет определенное
направление
k
Волны Россби в однородной жидкости
Приближение -плоскости
g
0
y
r
z
x
g
  0  y / R
f  2 sin   2 sin 0  2 cos 0   0 
f  f 0   y;   2 cos 0 / R
Уравнения мелкой воды.
f,H зависят от координат
   rot v z

 vx
 vx
 vx



 vx
 vy
- fv y  g
0
 y t
x
y
x
 vy
 vy
 vy


 vx
 vy
 fvx  g
0
 x t
x
y
y
   f 
   f 
   f 
1
 vx
 vy
    f  div v  0
x
y
  f   t
 H  
H  
 H  
1
 vx
 vy
  H    div v  0
x
y
H    t
d  f

d t  H

0

Сохранение потенциальной
завихренности на жидкой
частице
Сохранение потенциальной завихренности
на жидкой частице как следствие теоремы о
циркуляции
S
Сохранение циркуляции
скорости по жидкому контуру
 vdl  const
 vdl     f  S
Сохранение объема жидкой частицы
V    H  S  const
d  f

d t  H

0

Очень низкочастотные волны T>>1/f
Геострофическое равновесие
 vx  v y

0
x y
H  H 0   y;
vx 
y
g 
vy 
f x


; vy  
y
x
H0
g 
vx  
f y
  
f
  
g
Закон сохранения потенциальной завихренности


d    f 0   y 

0
d t  H   y  f0  
 0

g


С учетом малости всех поправок
f0
 f0 y 
d 
    y   
0
dt
g
H0 
В линейном приближении
f 0  
 
     
t
g  x

 f0 
 
0
H0 

Для гармонической плоской волны
   0e

 i t  k x x  k y y

Дисперсионное соотношение
kx     f0 / H 0 
 2 2
k x  k y  f 02 / gH 0
Волны Россби.
Механизм возвращающей силы
Планетарные волны

 f0 / H 0
Дисперсионное соотношение
kx 
 2 2
k x  k y  f 02 / gH 0

 cos  0
 2
R
k
Волны Россби
Волны Россби
Волны Россби
Планетарные волны
Дисперсионное соотношение
kx 
 2 2
k x  k y  f 02 / gH 0
 cos  0
 2
R
k
падающая волна
отраженная волна
Отражение волны Россби от восточного
побережья