Аналитическая геометрия на плоскости. §1 Уравнение линии на плоскости. Основная задача - исследовать математическими методами формы, расположения и свойства данной линии. Определение: Линия на плоскости есть множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, исключительно им присущими. Определение: Уравнением линии (кривой) на плоскости ОХУ называется уравнение, которому удовлетворяют координаты Х и У каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точки, не лежащей на этой линии. !т. М (х,у)передвигается по линии, х и у удовлетворяя, изменяясь уравнению линии, поэтому координаты т. М (х ,у) называются текущими координатами точки линии. Основные задачи. 1. Дана линия, рассмотрим как множество точек. Составить уравнение этой линии . 2. Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению ее геометрические свойства(определить форму и расположение). Определение: Линия называется линией или кривой n-го порядка, если она определяется уравнение n-ой степени относительно текущих прямоугольных координат. Х +У = 5 прямая Х² = У парабола У = Х³ кубическая парабола §2 Прямая линия п.1 Общее уравнение прямой. Задача: М 0 ( x0 , y0 ), n ( A, B) M 0 , n ? М0 n M Решение:М ( x, y ) текущая точка прямой M 0 M ( x x0 , y y0 ) ò .ê.n , òî n M 0M , n M 0M 0 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 Ax B y C 0 Геометрический смысл А и В: n ( A, B) Определение: n нормаль прямой п.2 Уравнение прямой «в отрезках». Пусть C 0, A, B 0, тогда Ax B y C | : ( C ) X Y 1 C C A B C C a, b A B x y 1 a b - уравнение прямой «в отрезках» a, b - отрезки, отсекаются прямой на осях координат x0 y b y 0 x a п.3 Каноническое уравнение прямой. Задача: S (m, n) M 0 ( x0 , y0 ), S , M 0 ? S M M0 Решение: M ( x, y ) M 0 M ( x x0 , y y0 ) S коллинеарен M 0 M координаты пропорциональны. x x0 y y0 m n п.4 Параметрические уравнения прямой. x x0 y y0 t; m n t ïàðàìåòð x x0 mt t (;) y y0 nt п.5Уравнение прямой проходящей через две заданные точки. Задача: M 1 , M 2 M2 ? Решение: M ( x, y ) M M1 M 1M ( x x1 , y y1 ) M 1M 2 ( x2 x1 , y2 y1 ) M 1M и M 1M 2 коллинеарные x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 п.6 Уравнение с угловым коэффициентом. Задача 1: Рассмотрим прямую, проходящую через начала координат. (0 x ^ ) ? y y 0 x x Решение: M ( x, y) - текущая точка линии. y x tg; tg k определяет направление прямой Определение: k - называется угловой коэффициент прямой. Задача 2: Рассмотрим прямую, проходящую через точку B (0, b). b - отрезок, отсекаемый на оси OY . (OX ^ ) y y B M ( x, y ) 0 x x y b x tg y kx b если k 0, 00 y b если y , òî OX , x b 2 a -абсцисса следа на оси OX . п.7 Угол между двумя прямыми. 2 1 1 : y k1 x b1 2 : y k 2 x b2 tg 2 tg1 tg tg ( 2 1 ) 1 tg1 tg 2 k 2 k1 tg 1 k1k 2 1 y 2 1 0 2 2 1 x п.8 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. a ) 1 2 1 2 tg1 tg 2 k1 k 2 1 2 1 k1k 2 90 ; ctg 0 k 2 k1 0 k1 k 2 1 á ) 1 : A1 x B1 y D 0 n1 ( A1 , B1 ) n2 ( A2 , B2 ) : A xB yD 0 2 2 2 1 2 ; n1 n2 1 2 ; n1 n2 A1 A2 B1 B2 0 A1 B1 A2 B2 1 2 n1 n2 n2 2 1 n1 п.9 Точка пересечения двух прямых. 1 : A1 x B1 y D1 0 2 : A2 x B2 y D2 0 1 2 M ( x0 , y0 ) M ( x0 , y0 ) ? M 1 A1 x0 B1 y0 D1 0 M 2 A2 x0 B2 x0 D2 0 ( x0 ; y0 ) есть решение системы уравнений: A1 x0 B1 y0 D1 0 A2 x0 B2 y0 D2 0 п.10 Взаимное расположение двух прямых. если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение (п.9); если прямые параллельны, то система не имеет решения; если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. п. 11 Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Дано: (^ ox); M 0 ( x0 , y0 ) ? y M 0 ( x0 , y0 ) x y kx b y0 kx0 b y y0 k ( x x0 ) * п.12 Уравнение пучка прямых. если k дано, то уравнение * определяет одну прямую, если k – меняем, то уравнение * определяет пучок прямых, проходящий через т. M1 ( x1 , y1 ) . п. 12 Расстояние от точки до прямой. : Ax By D 0; M1 ( x1 , y1 ) d Ax1 By1 D A2 B 2 Чтобы определить расстояние от точки до прямой, надо в левую часть общего уравнения прямой подставить координаты данной точки, взять модуль результата, и разделить его на длину нормали прямой ( n A2 B 2 ). § Применение линейной зависимости в экономических задачах. Пример 1: Издержки производства 100 шт. некоторого товара составляют 300 тыс. руб, а 500 шт. – 600 тыс. руб. Определить издержки производства 400 шт. товара при условии, что функция издержек линейная. Решение: если функция линейная, то графиком её является прямая. В нашем случае проходящая через точки (100,300);(500,600). x øò . y - издержки пр-ва (в тыс. руб). y y1 x x1 y 300 x 100 y2 y1 x2 x1 600 300 500 100 y 300 x 100 3 3 y 300 ( x 100) y x 225 300 400 4 4 ïðè x 400 y 525 òûñ .ðóá. Задача 2: Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150 + 50x и y =250+25x, где x - расстояние перевозок в сотнях км. y – транспортные расходы. Определить, начиная с какого расстояния более экономичным становиться второй вид транспорта. y y 150 50 x x 4 y 250 25 x y 350 400 300 200 100 4 x Ответ: при расстоянии превышающим 400 км, более экономичны перевозки вторым видом транспорта.