Теория графов

Теория графов
Основные определения
Дуга

Пусть имеется множество вершин
V={V1,V2,…,Vn} и пусть на нем задано
бинарное отношение Г⊂V×V,
–
Vi Г Vj↔(Vi Vj)∈ Г – эту пару назовем дугой Uk
Пример
Неориентированные графы

Если бинарное отношение симметрично,
то наряду с дугой (Vi,Vj) есть дуга (Vj,Vi). В
этом случае чаще всего переходят к
неориентированным графам.
Задание графов




Матрица инцидентности A. По вертикали указываются
вершины, по горизонтали - ребра. aij=1 если вершина i
инцидентна ребру j, в противном случае aij=0. Для орграфа
aij=-1 если из вершины i исходит ребро j, aij=1 если в
вершину i входит ребро j. Если ребро - петля, то aij=2.
Список ребер. В первом столбце ребра, во втором вершины
им инцидентные.
Матрица смежности - квадратная симметричная матрица.
По горизонтали и вертикали - все вершины. Dij= число
ребер, соединяющее вершины i,j.
Матрица Кирхгофа: bij=-1, если вершины i и j смежны, bij=0
если вершины i и j не смежны. Сумма элементов в каждой
строке и каждом столбце матрицы Кирхгофа равна 0.
Полустепень вершины


Для ориентированных графов: полустепенью
исхода вершины |Г(Vi)| будем называть число дуг,
исходящих из вершины Vi; полустепенью захода
вершин |Г-1(Vi)| будем называть число дуг,
заходящих в вершину. В орграфе две локальных
степени вершины v: deg(v)+ и deg(v) - (число
ребер с началом и концом в v). Для
неориентированных графах говорят только о
степени.
Следствие 2 из леммы о рукопожатиях. Число
ребер в полном графе n(n-1)/2.
Достижимость



Матрица достижимости R={rij}, {rij}=1,
если Vj достижима из Vi, {rij}=0 в противном
случае. R=E+A+А2+…+Ak
В степенях используется «булевское»
умножение матриц (строк на столбец, но
1+1=1, 0+1=1,0+0=0, 1+0=0).
K – такое число, при котором дальнейшее
сужение степеней не меняет матрицу R.
Алгоритм Краскалла


Составляется список ребер в порядке
увеличения весов.
В искомое дерево добавляем, начиная с первого
элемента списка по порядку этого списка ветви
до те пор, пока не встречаем ветвь,
образующую с ранее включенной цикл. Данную
ветвь вычеркиваем из списка. Затем
продолжаем аналогичные действия до (n-1)
ветви.
Алгоритм Дейкстры




Пусть имеется направленный ориентированный граф с
двумя выделенными вершинами Vs и Vt. Найти
минимальный направленный путь из Vs в Vt.
Помечаем вершину Vs, и присваиваем ей вес qs:=0, а всем
остальным присваиваем временный вес qi=∞
Полагаем i=s – номер последней отмеченной вершины
Для каждой неотмеченной вершины Vj выполняется
следующий оператор qj:=min(qj, qi+pij), где pij – вес ветви,
ведущей из i-той вершины в j-тую, если нет pij, считаем pij=∞
Алгоритм Дейкстры



Проверяем, есть ли среди только что отмеченных qj
конечное значение. Если таких вершин нет, то мы
завершаем алгоритм, пути из s в t не существует. Если же
конечное значение qj найдется, то из них выбирается
минимальная. Пусть это вершина j0, тогда мы помечаем эту
вершину, а так же помечаем ту дугу, по которой мы
добирались в вершину Vj0, при получении этого
минимального значения.
I=jo
Проверяем условие i=t. Если это так, алгоритм
завершается, L(s-t)=qj0. Сам же минимальный путь
считается, начиная с вершины Vt по выделенным дугам в
обратном порядке. Если же i≠t, возвращаемся к пункту 3.