Математический анализ Раздел: ФКП Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (основная теорема о вычетах, применение вычетов ) Лектор Пахомова Е.Г. 2010 г. 3. Основная теорема о вычетах ТЕОРЕМА 9 (основная теорема о вычетах). Пусть а) функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 , z2 , … zn ; б) C – замкнутый контур в D , внутри которого содержатся точки z1 , z2 , … zn . n Тогда f ( z)dz 2i k1 zres z C f ( z) k СЛЕДСТВИЕ 10. Пусть функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 , z2 , … zn . Тогда сумма всех вычетов функции f(z) относительно ее особых точек, включая вычет n относительно ∞ , равна нулю, т.е. res f ( z ) res f ( z ) 0 z k 1 z zk 4. Применение вычетов при вычислении интегралов а) Вычисление контурных интегралов sin 4 zdz ПРИМЕР 1. Найти 2 ( z 2 ) ( z 3)( z 6) z 5 ПРИМЕР 2. Найти z15 dz z8 2 z 3 a 2 б) Вычисление интегралов типа R(cos x, sin x)dx a e ix e ix Имеем: cos x , 2 e ix e ix sin x 2i Замена: z = eix a 2 Получим: i z 2 1 z 2 1 R(cos x, sin x)dx z R 2 z , 2 zi dz a z 1 ПРИМЕР 3. Найти dx 5 3 sin x в) Вычисление интегралов типа Pn ( x) Pm ( x) dx (где m n + 2 , Pm(x) 0 , xℝ ). ТЕОРЕМА 11. Pn ( x) Пусть f ( x) , Pm ( x) где Pn(x), Pm(x) – многочлены степени n и m соответственно, причем m n + 2 , Pm(x) 0 , xℝ m Pn ( x) v. p. dx 2 i res f ( z ) , Тогда z zk P ( x) k 1 m где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imzk > 0) ПРИМЕР 4. Найти x2 ( x 2 1)( x 2 9) dx г) Вычисление интегралов типа f ( x) cos xdx , f ( x) sin xdx ЛЕММА 12 (Жордана). Пусть имеется семейство дуг полуокружностей CR : | z | = R , Imz 0 (где R + ) Обозначим M ( R ) max | f ( z ) | . zC R Если f(z) аналитическая в верхней полуплоскости за исключением конечного числа особых точек и lim M ( R ) 0 , R то lim R где ℝ , > 0. iz e f ( z)dz 0 , CR ТЕОРЕМА 13. Пусть 1) f(z) аналитична на вещественной оси 2) f(z) аналитична в верхней полуплоскости за исключением особых точекz1 , z2 ,…, zm ; 3) f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда для любого > 0 интеграл J v. p. e i x f ( x)dx – сходится m и J 2 i res e i z f ( z ) , k 1 z zk где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imzk > 0) . СЛЕДСТВИЕ 14. Пусть f(z) удовлетворяет условиям теоремы 13. Тогда m i z v. p. f ( x) cos xdx Re 2 i res e f ( z ) , k 1 z zk m i z v. p. f ( x) sin xdx Im 2 i res e f ( z ) , k 1 z zk где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imzk > 0) . ПРИМЕР 5. Найти sin xdx x 2 2 x 10