Лекция №5 Квантование сигналов по уровню

Лекция №5
Квантование сигналов по уровню
Постановка задачи.
•
•
Процесс преобразования сигнала с непрерывным множеством
значений в сигнал с дискретными значениями называют
квантованием по уровню. По существу, операция квантования
заключается в округлении значения непрерывной величины до
разрешенных значений шкалы квантования в соответствии с
принятым правилом.
Обычно диапазон измеряемой величины, ограниченный
значениями umin и umax , разбивают на n равных
интервалов (шагов) квантования  :
   umax  umin  / n
Постановка задачи квантования
• Из множества мгновенных значений, принадлежащих
i  му шагу квантования ui 1  u  ui , только одно
значение ui является разрешенным ( i  й уровень
квантования). Совокупность величин ui образует
дискретную шкалу уровней квантования.
• При выборе ui в качестве его значения принимают либо
верхнюю границу интервала квантования, либо нижнюю,
либо середину интервала.
• В результате возникает методическая погрешность
квантования, характеризуемая либо ее максимальным
значением  m  max i  max u  ui , либо среднеквадратичным
отклонением  для всего диапазона изменения
мгновенных значений сигнала.
Погрешность квантования
• С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки
квантования непрерывную шкалу мгновенных значений
сигнала целесообразно разбить на n шагов квантования и
уровни квантования разместить в середине каждого шага.
• Из анализа статической передаточной характеристики
такого преобразования, следует, что максимальная
погрешность квантования  m равна  2 .
• Если уровень квантования выбрать равным верхней или
нижней границе интервала квантования, то максимальная
ошибка квантования возрастет до величины, равной
.

Погрешность квантования
• Оценим величину среднеквадратической погрешности
квантования при следующих условиях: во-первых,
возможные значения измеряемого сигнала распределены
равномерно, во-вторых, измеряемая величина и случайная
погрешность независимы.
Доказано, что при условии  umax  umin   , закон
распределения погрешности квантования не зависит от u
и близок к равномерному, т.е. плотность вероятности
погрешности характеризуется постоянной величиной
p( )  1  .
Погрешность квантования на i  м интервале может
быть оценена дисперсией и соответствующим
среднеквадратическим отклонением:
2
2
2
2
Di   i    p( )d 
12
 2
Погрешность квантования
• Дисперсия полной ошибки квантования для всей
непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала может
быть определена как математическое ожидание дисперсий
Di  i 12 на отдельных шагах квантования:
2 n
n

D   i2 
p(ui),

12 i 1
i 1
где величина p(ui)  характеризует вероятность попадания
мгновенного
значения сигнала в пределы данного шага.
n
• Так как  p (ui)  1, то величина дисперсии погрешности
i 1
будет равна:
D   2  2 12
Погрешность квантования
• Таким образом, при квантовании с
постоянным шагом и размещении уровней
квантования в середине шага (равномерное
квантование) среднеквадратическая
погрешность квантования  связана с
интервалом квантования  соотношением:


2 3
или
  2 3
Шум квантования
• При квантовании сигнала по уровню реализация,
представляющая собой случайный процесс u (t ) , заменяется
ступенчатой зависимостью u  (t ).
Изменяющуюся во времени погрешность квантования, также
представляющую собой случайный процесс, называют
шумом квантования:
 (t )  u (t )  u(t )
• Сохраняя ранее введенные предположения (о малости
шага квантования и равномерности распределения в
нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные
процессы u (t ) и  (t ) эргодическими,
среднеквадратическую ошибку равномерного
квантования можно определить по реализации 1 (t ) .
Шум квантования
• В пределах каждого шага квантования  зависимость
1 (t ) можно заменить прямой t  tg  , где  переменный
угол наклона прямой. При размещении уровней
квантования в середине каждого шага математическое
ожидание погрешности квантования равно нулю, а ее
среднеквадратическое значение определяется из
дисперсии погрешности:
T 2
T 2
2
1
1


D   (t  tg  )2 dt   (t  ) 2 dt 
T T 2
T T 2 T
12
и соответствует ранее полученному значению:
 
2 3
Квантование сигналов при
наличии помех
• В реальных условиях на квантуемый сигнал всегда воздействует
помеха. Выберем интервал квантования с учетом вероятностных
характеристик этой помехи и условия ее аддитивности с
сигналом. Очевидно, что мгновенное значение сигнала u ,
попадавшее ранее в
i  й шаг квантования и
сопоставлявшееся с уровнем квантования ui , в результате
действия помехи примет значение ( u   ) и может быть
поставлено в соответствие другому уровню квантования uk .
Такой исход приводит к искажению информации и вероятность
его не должна превышать допустимого значения.
• Обозначим через pi ( k ) условную вероятность сопоставления
значения сигнала уровню квантования uk вместо уровня uiпри
условии, что сигнал принадлежит i  му шагу квантования.
Очевидно, что при наличии помехи условная вероятность
ошибочного решения pi (k ) >0, а
pi (i ) <0.
Квантование сигналов при
наличии помех
• Полная вероятность того, что величина ( u   ) останется в
пределах i  го шага квантования, равна:
ui
Pi  pi (i )  p (u )du
ui 1
• Эту вероятность можно также найти, используя
совместную плотность вероятности p(u,  ) двух случайных
величин u и  :
Pi   p(u,  )dud ,
S
где S  некоторая область интегрирования, границы
которой найдем, исходя из рисунка на след. слайде
Квантование сигналов при
наличии помех
u
min  ui 1  u
ui
ui 1

u1
u0
max  ui  u
i
u


Квантование сигналов при
наличии помех
• Определим условную вероятность pi (i ) в предположении
воздействия помехи, распределенной по равномерному закону
p( )  1 a : , где a 2 – амплитуда помехи, симметричной
относительно мгновенного значения сигнала. Учитывая, что
результаты расчета инвариантны относительно номера
интервала квантования и зависят от соотношения амплитуды a
помехи и величины , найдем pi (i ) при a   :


1 max 1
a
pi (i )  
d  du  1 

 min a
4
0
Анализ соотношений показывает, что нецелесообразно выбирать
 меньше a , поскольку при (a )  1 резко возрастает
вероятность неправильного квантования сигнала.
Квантование сигналов при
наличии помех
• Аналогично рассчитывают зависимости для
случая помехи, распределенной по нормальному
закону распределения. Сравнение результатов
расчетов показывает, что для вероятности pi (i )
правильного квантования воздействие помехи с
нормальным законом распределения эквивалентно
воздействию равномерно распределенной помехи
при соотношении
, где
–
a  3 п
п
среднеквадратическое
отклонение помехи
.
