Корреляционно- спектральная теория СП

Корреляционноспектральная
теория СП
Большинство реально наблюдаемых
процессов удовлетворительно описываются
гауссовской моделью
Гауссовские процессы полностью
определяются моментными характеристиками
не выше второго порядка
во многих случаях можно ограничиться
анализом на уровне математических ожиданий
(средних) и корреляционных функций
2
Спектральное описание стационарного случайного
процесса
Реализация вещественного ССП с нулевым средним

( f )e j 2 ft df

 (t ) 
,
где
( f )

 спектральная плотность
реализации
(детерминированной функции!)
Случайный процесс «в целом»


x(t ) 
X ( f )e j 2 ft df
,
где
X ( f )  случайная функция (тот

же СП в другом базисе!)
Поскольку исходный СП – с нулевым средним, то

x(t ) 


X ( f )e j 2 ft df  0  X ( f )  0
также СП с
нулевым средним
3
Автокорреляционная функция случайного процесса
x(t )
Rx ( )  x(t ) x(t   )  x (t ) x(t   ) 
*
 

 
X ( f ) X ( )e
*
 
 

 
 j 2 ft j 2 t j 2
e
e
dfd 
Wx ( f ) ( f   )e j 2 dfd
 
X ( f ) X ( )  Wx ( f ) ( f   )
*
4
С учетом фильтрующего свойства

Rx ( ) 


-функции
Wx ( f )e j 2 f  df


Wx ( f ) 

Rx ( )e j 2 f  d
теорема Винера –
Хинчина (Хинчина –
Винера)


Rx (0) 
 Wx ( f )df

Rx (0)  Dx
 мощность СП (с нулевым
средним), поэтому
Wx ( f )
 спектральная плотность мощности ССП
(очевидно, СПМ – неотрицательная функция!)
2
СПМ процесса с ненулевым средним m содержит слагаемое m  ( f
)
(нулевая частота соответствует постоянной составляющей)
5
Для вещественного процесса АКФ – четная вещественная функция,
тогда СПМ – тоже четная вещественная. Поэтому иногда используется
односторонняя СПМ:

Rx ( )   N x ( f )cos(2 f  ) df ,
0
2Wx ( f ), f  0
Nx( f )  
f 0
 0,
числовые характеристики: интервал корреляции

Rx ( )
Rx ( )
к 
к 
к
 Rx ( )d
0
Rx (0)

Эффективная ширина спектра определяется аналогично, но по
графику СПМ
6
Белый шум
 стационарный случайный процесс с нулевым средним и
АКФ вида
N0
  )
2
N0
Rx ( ) 
  )
2

0
Следовательно, СПМ  постоянная на всей частотной оси
Wx ( f ) N x ( f )
N0
Wx ( f )  N 0 / 2
N0 / 2
0
Никакой реальный случайный процесс не может быть белым
шумом, т.к. белый шум имеет бесконечную дисперсию
(мощность).
Кроме того, для белого шума не имеет смысла понятие ПРВ.
Однако эта модель чрезвычайно удобна в анализе вследствие
образности АКФ, поэтому она широко используется
f

7
Квазибелый шум (белый в полосе частот)
 стационарный случайный процесс с нулевым средним,
имеющий СПМ вида
Wx ( f )
N0 / 2
N / 2
при f  Fв ,
Wx ( f )   0
 0 в противном случае.
 Fв
Следовательно, АКФ 
N0
Rx ( ) 
2
Fв

 Fв
0
Fв
f
sin(2 Fв )
cos(2 )df  Fв N 0
2 Fв t
Заметим: график АКФ пересекает ось времени в точках, кратных 1/  2Fв 
Значит, при дискретизации такого процесса по Котельникову
получаются некоррелированные отсчеты! А если процесс гауссов,
то они также и независимы!
8
Воздействие ССП на ЛИС-цепи
В рамках корреляционно-спектральной теории
ССП
y (t )
x(t )
mx , Rx ( )
H( f )
Rxy ( yx ) ( )
my , Ry ( )
Если mx  0 , всегда можно рассмотреть прохождение через ЛИСцепь постоянной и флюктуационной составляющих отдельно!
Очевидно,
m y  H (0)mx
Далее полагаем, что на вход цепи воздействует ССП
с нулевым средним и АКФ

Rx ( ) 


Wx ( f )e j 2 f  df
9
Для отдельной реализации

( f ) 
  (t )e
 j 2 ft
dt

Для реализации выходного процесса
 (t ) 

 H ( f )( f )e
j 2 ft
df

10
Переходя от реализаций к процессам, можно записать

y (t ) 

H ( f )X ( f )e j 2 ft df 

где


Y ( f )e j 2 ft df

Y ( f )  случайная функция частоты (тот же СП в другом базисе)
X(f )0
x(t )  0
Автокорреляционная функция выходного процесса



H * ( f )X * ( f )e j 2 ft df

 

 
 


Y( f )  0
Ry ( )  y* (t ) y(t   ) 
H ( f1)X ( f1)e j 2 f1t e j 2 f1 df1 

H ( f ) X ( f1) X * ( f )e j 2 ( f1  f )t e j 2 f1 dfdf1
2
11
Ry ( )  y* (t ) y(t   ) 
 

H ( f ) X ( f1) X * ( f )e j 2 ( f1  f )t e j 2 f1 dfdf1
 
2
 
X * ( f ) X ( f1)  Wx ( f ) ( f  f1)
Учитывая
Ry ( ) 


H ( f ) Wx ( f )e j 2 f  df 
2



Wy ( f )e j 2 f  df

Следовательно, для СПМ справедливо
2
Wy ( f )  H ( f ) Wx ( f )
Это выражение описывает спектральный метод анализа ЛИС-цепей при
случайных стационарных воздействиях.
12
АКФ выходного процесса
Поскольку частотные функции перемножаются
2
Wy ( f )  H ( f ) Wx ( f )
временные взаимодействуют путем свёртки
R y ( )  Rh ( )  Rx ( )
Rh ( ) 


2 j 2 f 
H( f ) e

df 


H ( f ) H * ( f )e j 2 f  df

Поскольку ИХ  вещественная функция
h(t )
H *( f )
h(t )  H ( f )
потому что по теореме обращения
а для вещественных функций
Rh ( )  h( )  h( ) 

H ( f )  H * ( f )
 h(t )h(t   )d

АКФ импульсной характеристики
13
ВКФ входного и выходного процессов
Rxy ( )  x* (t ) y(t   ) 



X * ( f )e j 2 ft df


 
 


H ( f1)X ( f1)e j 2 f1t e j 2 f1 df1 

H ( f1) X ( f1) X * ( f )e j 2 ( f1  f )t e j 2 f1 dfdf1 
 
 

 
H ( f1)Wx ( f ) ( f  f1)e j 2 ( f1  f )t e j 2 f1 dfdf1 
 




H ( f )Wx ( f )e j 2 f  df 

 h(t ) Rx (  t )dt

Можно убедиться, что
Rxy ( )  R yx (14)
О распределении процесса на выходе цепи
Выходной процесс можно считать гауссовским, если
1). эффективная ширина спектра входного процесса намного
больше полосы пропускания цепи (нормализация процесса)
Количество некоррелированных прошлых отсчетов определяется
отношением длины ИХ к интервалу корреляции (отношением ширины
спектра процесса к полосе пропускания цепи)
2). на входе ЛИС-цепи гауссовский процесс, причем необязательно
широкополосный (при этом значение выходного процесса равно сумме
гауссовских случайных величин, которая имеет гауссово распределение
независимо от числа слагаемых)
15
Безынерционные нелинейные
преобразования СП
Характеристика безынерционной НЦ
y  f ( x)
Например, i  f (u )
y
 вольтамперная характеристика
Равенство вероятностей
dy
wx ( x)dx  wy ( y )dy
y0
dx
x0
ПРВ неотрицательна:
x   ( y)
x
dx
wy ( y )  wx ( x)
dy
d ( y )
wy ( y )  wx  ( y ) 
dy
 обратная функция
16
Безынерционные нелинейные преобразования при
немонотонной характеристике
y
x
d k ( y )
wy ( y )   wx k ( y )
dy
k 1
N
k ( y )
N
 функция, обратная характеристике на k-м участке
монотонности
 количество участков монотонности
17
f
 ( y)   y
d ( y )
1

dy
2 y

y
1
2
2
2

w( y ) 
e

2
2 y
1
2 y

e
y
2 2 ,
y0
18
Принцип моделирования случайных величин с произвольным
распределением
x U (0;1)
d ( y )
wy ( y )  wx  ( y ) 
dy
Fж ( y )
f ( x)  Fж1 ( x)
 ( y )  f ( y )  Fж ( y )
1
d ( y) dFж ( y)

 wж ( y)
dy
dy
wy ( y )  wж ( y )
19
Узкополосные случайные процессы
Образуем случайный процесс, аналогичный аналитическому
сигналу
x(t )
z (t )
x(t )
x(t )
H( f )
Wx ( f )
Wx ( f )
x (t )
Hг ( f )
H( f )
Wx ( f )
Hг ( f )
2
j
0
f
j
0
f
АЧХ фильтра Гильберта тождественно равна 1, поэтому
Wx ( f )  Wx ( f )
Rx ( )  Rx ( )
20
Рассмотрим процесс
z (t )  x(t )  jx (t )
x(t )
z (t )
H( f )
Wx ( f )
H( f )
, его СПМ
4Wx ( f ), f  0,
Wz ( f )  
f  0.
 0,
2
Тогда АКФ
0
f

Rz ( )  4  Wx ( f )e
j 2 f 
df 
0


0
0
 4  Wx ( f )cos(2 f  ) df  j 4  Wx ( f )sin(2 f  ) df
21
АКФ комплексного СП
СПМ вещественного процесса четная, поэтому его АКФ
Rx ( ) 


Wx ( f )e j 2 f  df


Rx ( )  2  Wx ( f )cos(2 f  ) df
0
Мы только что получили


0
0
Rz ( )  4  Wx ( f )cos(2 f  )df  j 4  Wx ( f )sin(2 f  ) df
Тогда можно это переписать в виде
Rz ( )  2 Rx ( )  j 2 R ( )
2 R ( )  мнимая часть Rz ( )
22
АКФ должна иметь вид аналитического сигнала, т.е.
её вещественная и мнимая части связаны парой
преобразований Гильберта
Rz ( )  Rre ( )  jRim ( )
Rz ( )  2 Rx ( )  j 2 Rx ( )
Сравним


0
0
Rz ( )  4  Wx ( f )cos(2 f  )df  j 4  Wx ( f )sin(2 f  ) df
Здесь вещественная часть четная, мнимая нечетная
23
Rz ( )  z (t   ) z (t ) 
*
 [ x(t   )  jx (t   )][ x(t )  jx (t )] 
 x(t   ) x(t ) 
 x (t   ) x (t ) 
 j x (t   ) x(t ) 
 j x(t   ) x (t ) 
 Rx ( )  Rx ( )  j[ Rxx ( )  Rxx ( )]
Отметим сразу, что
Rx ( )  Rx ( )
(См. сл. 18)
24
Rz ( )  Rx ( )  Rx ( )  j[ Rxx ( )  Rxx ( )]
где

Rxx ( )  x(t   ) x (t ) 
1




 x(t   )
x(t   ) x( s )
ds 
ts

1





1




1




x( s )
ds 
ts
Rx (t    s )
ds 
ts
Rx ( )
d   Rx ( )
 
Rxx ( )   Rx ( )
25
Аналогично
Rxx ( ) 
1




Rx ( )
d  Rx ( )
 
Rz ( )  Rx ( )  Rx ( )  j[ Rxx ( )  Rxx ( )]
Rx ( )  Rx ( )
Тогда
Rxx ( )  Rx ( )
Rxx ( )   Rx ( )
Rz ( )  2 Rx ( )  j 2 Rxx ( )
Rz ( )  2 Rx ( )  j 2 Rx ( )


0
0
Rz ( )  4  Wx ( f )cos(2 f  )df  j 4  Wx ( f )sin(2 f  ) df
26
Для узкополосного процесса характерен вид корр. функций
Rx ( )
Rxx ( )


Для реализаций УПСП характерен вид
27
Распределение огибающей и фазы УПСП
Рассмотрим гауссовский узкополосный СП с нулевым средним
(это типично для сигналов на входе демодулятора)
В совпадающие моменты времени значения процессов
и
x (t )
некоррелированны, а в силу гауссовости  и независимы.
x2
 2
1
w( x, y ) 
e 2
2
где
x(t )
x  x(t0 )
и
y  x (t0 )
y2
x2  y 2
 2

1
1
2
2

2

e

e
2
2
2
y
Совместная ПРВ 
тело вращения
x
28
Вероятность попадания точки в площадку
dx  dy  dA  A  d 
P  x    x  dx, y    y  dy 
 w( x, y)dxdy  W ( A, )dAd 
W ( A, )
совместная ПРВ длины радиуса
и угла
w x( A, ), y( A, ) AdAd 
W ( A, ) 

dAd 


1
2
A


x2  y 2
e
2
e
2

2 2
A
A
2

A2
2 
e
2
2

x
A2
2 2
A
y
1
 WA ( A)W ()
2
29
W ( A, ) 
A

2

e
A2
2 2
1
 WA ( A)W ()
2
Огибающая и начальная фаза в фиксированный момент времени
представляют собой независимые случайные величины с
плотностями распределения вероятностей
WA ( A) 
A

2

e
A2
2 2
1
W () 
2
WA ( A) 
A

e
2

A2 U 2
2 2
 AU 
I0  2 
 
распределение Рэлея 
Райса
30