Лекция №9. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Рассмотрим газодинамические функции, которые используются в уравнениях количества движения газа. Сумму секундного количества движения и силы давления газа в рассматриваемом поперечном сечении потока принято называть полным импульсом потока I. ð I GV ðS G V V Если подставить соотношения V a * и k 1 2 k 1 2 k 1 2 RT RT0 1 a * 1 k 1 2k k 1 р Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f то получим * k 1 a* k 1 2 GV рS G a 1 2k k 1 После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение к виду k 1 GV pS Ga * z 2k Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f где z 1 График газодинамической функции z 2 для воздуха приведен ниже. Минимальное значение функции соответствует критической скорости течения ( 1 ). Как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых потоках z 2. Значениям z 2 не соответствуют какие-либо реальные режимы течения. При замене величины обратной ей величиной значение функции z не изменяется.Таким образом, одному значению z Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f могут соответствовать два взаимообратных значения приведенной скорости – одно из них определяет дозвуковое, а другое – сверхзвуковое течение газа. Функция z не зависит от k. Выражение для импульса потока значительно упрощает запись и преобразования уравнения количества движения газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении широкого круга задач газовой динамики. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Например, при расчете течений с ударными волнами, подводом теплоты и охлаждением, течений с трением, с ударом при внезапном расширении канала, при расчете процесса смешения потоков, при определении сил, действующих на стенки канала, при вычислении реактивной тяги и многих других. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Пример. Определить соотношения между параметрами газа до и после прямого скачка уплотнения. Связь между параметрами газа в скачке уплотнения устанавливается из того, что при переходе через скачок сохраняются неизменными полная энергия, расход и импульс потока. Запишем те же уравнения с использованием газодинамических функций. Уравнение количества движения или импульса потока G1V1 p1 S1 G2V2 p2 S 2 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f с учетом выражения примет вид G1a1* z1 G2 a2* z2 Из уравнения сохранения расхода и полной энергии имеет G1 G2 , Т 01 Т 02 , а1* а2* Учитывая это, получим z 1 z 2 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Это уравнение имеет два решения: либо 2 1 , что соответствует безударному течению с неизменными параметрами газа, либо 2 1 1 , что соответствует прямому скачку. По известному значению с помощью уравнения неразрывности определяем изменение полного и статического давления в скачке уплотнения. Так как S 2 S1 и Т 01 Т 02 , то используя формулы газодинамической функции q( ) , можно уравнение неразрывности для потока газа до и после скачка представить в виде Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f p02 q 2 p 01 q1 или p 2 y 2 p1 y 1 Отсюда, учитывая, что 2 1 1 p 02 q1 ; p 01 q1 1 , получаем p2 y 1 p1 y 1 1 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций , r , f z Пример. Газ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее. Приведенная скорость потока на входе в трубу 1 0,4 . Требуется определить, пренебрегая трением, приведенную скорость потока после подогрева, а также изменение полного и статического давления в потоке. Основное соотношение, определяющее закономерности течения газа в цилиндрической трубе с подводом теплоты, получим из уравнения количества движения GV1 p1 S GV 2 p 2 S Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f так как подвод теплоты не связан с силовым воздействием на поток и силы давления в начальном и конечном сечении являются единственными силами, вызывающими изменение количества движения газа. Заменив выражения для импульса потока газа и считая, что теплоемкость газа и k при подогреве не изменяются, получим a z 1 a z 2 * 1 * 2 или z 2 z 1 T01 T02 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Так как при 1 0,4 , z1 2,9 , то z 2 2,9 400 800 2,05 С помощью таблиц функций z или непосредственным вычислением из квадратного уравнения 1 2,05 2 2 определяем два возможных значения приведенной скорости на выходе: 2 ' 0,8 , 2 ' ' 1 2 ' 1,25 . Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом невозможно перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , , r f Зная 2 0,8, найдем p02 и p2 p 02 q1 T02 0,5897 p 01 q 2 T01 0,9518 p2 y1 T02 0,6482 p1 y2 T01 1,4126 800 0,875 400 800 0,648 400 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Таким образом, как полное, так и статическое давление в результате подогрева газа уменьшаются. Полученное значение p2 p1 0,648 и есть то соотношение давлений газа в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка трубы, которое необходимо создать, чтобы поддержать заданные температуры и приведенную скорость на входе 1 0,4 Уравнение сохранения количества движения позволяет установить некоторые общие закономерности течения в цилиндрической трубе с подогревом или охлаждением. Видно, что с увеличением отношения Т 02 Т 01 величина функций z 2 (при z1 const ) всегда уменьшается. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Это означает, что с ростом подогрева в дозвуковом потоке увеличивается, а в сверхзвуковом – уменьшается. В обоих ъ случаях скорость потока будет приближаться к критической (следовательно 1 , а z 2). Это условие 2 ограничивает величину предельно возможного подогрева для заданной начальной скорости потока . Это условие ограничивает величину предельно возможного подогрева для заданной начальной скорости потока Т 02 Т 01 макс . z 2 1 4 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Для принятых в данном примере значений параметров предельная величина подогрева соответствует Т 02 840 К. Из уравнений расхода можно определить отношение давлений р 2 р1 , необходимое для реализации такого режима при сохранении 1 const . При увеличении подогрева сверх найденного значения получим z 2 2 , что указывает на физическую невозможность такого подогрева при заданной скорости течения на входе. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Заменив в соотношении произведение его значением , получим выражение для импульса газового потока в первом случае через полное давление, а втором случае через статическое давление: 1 2 k 1 GV рS p0 Sq z k 1 2 GV рS k 1 1 k 1 pSy z Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Введем обозначения для двух новых функций приведенной скорости , входящих в правые части этих выражений: 2 f k 1 1 k 1 k 1 2 q z 2 1 1 k 1 k 1 r 2 1 k 1 1 y z k 1 2 k 1 1 2 1 1 k 1 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Подставляя эти обозначения, получаем окончательно GV pS p0 Sf GV pS Функция pS r r введена, как величина, обратная произведению y z с тем, чтобы облегчить пользование таблицами (произведение y z быстро возрастает с увеличением , стремясь к бесконечности при макс. Величина же r изменяется в пределах от единицы до нуля). Графики Функций f и r приведены ранее. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Уравнения показывают ряд свойств импульса газового потока. В правой части этих уравнений отсутствуют величины расхода газа и температуры или критической скорости. Из этого следует, что если при заданной площади сечения S и приведенной скорости полное или статическое давление в потоке постоянно, то импульс сохраняет постоянное значение независимо от температуры и расхода газа. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций z , r , f Физический смысл этого состоит в том, что при изменении температуры (или температуры торможения) газа при скорость течения изменяется прямо пропорционально, а расход – обратно пропорционально корню квадратному из температуры, так что произведение GV остается постоянным. Отметим, что функция в области дозвуковых и небольших сверхзвуковых скоростей изменяется очень мало (приблизительно на 10% в интервале ). Отсюда следует, что импульс газового потока при постоянных полном давлении и площади сечения слабо зависит от величины в широком диапазоне ее изменения и определяется в основном величиной произведения . Выражения для импульса газа очень удобны при решении задач, связанных с определением сил, действующих со стороны газа на стенки канала, что необходимо, в частности, при вычислении реактивной тяги различных двигательных установок.