АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/Т.Ю. Ходаковская/
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю. Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
1.
2.
3.
4.
Раздел 1. Введение
Предмет изучения дисциплины.
Цели и задачи дисциплины.
Связь теории вероятностей и математической статистики.
5. Раздел 2. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
6. Определение пространства элементарных исходов, стохастического эксперимента,
события.
7. Классическое определение вероятности.
8. Аксиоматическое определение вероятности.
9. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.
10. Определение зависимых и независимых событий, условной вероятности.
11. Теоремы умножения вероятностей.
12. Формула полной вероятности и условия ее применения.
13. Формулу Байеса и условия ее применения.
14. Формула Бернулли, условия её применения.
15. Формула Пуассона, доказательство, условия ее применения.
16. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия её использования.
17. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
18. Раздел 3. Случайные величины и их законы распределения
19. Определение случайной величины, перечислить типы случайных величин.
20. Ряд распределения дискретной случайной величины.
21. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины,
перечислить ее свойства.
22. Непрерывная случайная величина, функция плотности вероятностей непрерывной
случайной величины; свойства.
23. Основные законы распределения дискретных случайных величин: Бернулли,
Пуассона.
24. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
25. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины, Числовые
характеристики. Характеристики положения.
26. Законы распределения случайных величин, представляющих функции нормально
распределенных случайных величин: t-распределение Стьюдента;
X2 –
распределение Пирсона; F- распределение Фишера-Снедекора.
27. Раздел 4. Многомерные случайные величины
28. Определение многомерной случайной величины.
29. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.
30. Функция плотности вероятности двумерной случайной величины, ее свойства.
31. Условные законы распределения.
32. Раздел 5. Числовые характеристики случайных величин
33. Математическое ожидание, его свойства.
34. Дисперсия, ее свойства.
35. Начальные и центральные моменты к-го порядка.
36. Характеристики формы распределения законов распределения случайных величин.
37. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
38. Характеристики взаимосвязи случайных величин, их свойства.
39. Раздел 6. Предельные теоремы теории вероятностей
40. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева.
41. Частные случаи неравенства Чебышева.
42. Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона.
43. Сформулировать теорему Ляпунова.
44. Объяснить понятия «Закон больших чисел» и «Центральная предельная теорема».
45. Раздел 7. Статистическое оценивание: точечные и интервальные оценки
46. Генеральная и выборочная совокупности: элементы совокупности, ее объем.
47. Первичная обработка данных: построение вариационных рядов.
48. Оценка законов распределения генеральных совокупностей.
49. Определение точечной оценки параметра распределения, формулировка ее
свойства.
50. Методы нахождения точечных оценок, их основной принцип.
51. Интервальное оценивание параметров распределения случайной величины.
52. Построения доверительных интервалов для параметров нормально распределенной
генеральной совокупности.
53. Раздел 8. Проверка статистических гипотез
54. Статистические гипотезы, типы статистических гипотез.
55. Общая схема проверки гипотезы.
56. Определение ошибок первого, второго рода, мощности критерия.
57. Принцип проверки параметрических гипотез: о равенстве параметров нормального
закона распределения заданным значениям.
58. Принцип проверки параметрических гипотез: об однородности двух нормально
распределенных генеральных совокупностей.
59. Принцип проверки непараметрических гипотез.
60. Раздел 9. Дисперсионный анализ
61. Основные понятия дисперсионного анализа: модели со случайными,
детерминированными уровнями, смешанная модель.
62. Охарактеризовать однофакторный дисперсионный анализ.
63. Охарактеризовать двухфакторный дисперсионный анализ.
64. Проверка гипотез о влиянии уровней факторов.
65. Проверка гипотез о существенности различий между уровнями фактора.
66. Раздел 10. Корреляционный анализ
67. Определение функциональной, стохастической, корреляционной зависимости.
68. Основные задачи корреляционного анализа.
69. Двумерный корреляционный анализ : оценка параметров корреляционной связи
(парного коэффициента корреляции , коэффициента
детерминации,
коэффициентов линейной регрессии).
70. Многомерный корреляционный анализ: оценка параметров корреляционной связи
(матрицы
парных
корреляций,
частных
коэффициентов
корреляции,
множественного коэффициента корреляции, коэффициента детерминации,
функции регрессии).
71. Проверка значимости и интервальное оценивание характеристик связи между
случайными величинами.
72. Раздел 11. Регрессионный анализ
73. Основные задачи регрессионного анализа.
74. Условия Гаусса-Маркова, определение классической линейной модели
множественной регрессии.
75. Метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов регрессии.
76. Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициентов и уравнения
регрессии.
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю. Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
1. Стохастический эксперимент заключается в бросании монеты до первого появления герба.
Пространство элементарных исходов и общее число элементарных исходов представлены
в ответе
а)   г, цг, ццг,...,цц...цг , конечное;

2.

б)
  г, цг,...,цц...цг,...,
в)
  г, цг,...,ц...цг,...,
г)
  г, цг,...,ццг,
более, чем счётное;
счётное;
неизвестно.
  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 - множество
B  1,3,5. Событие А+В равно
а) 3,6,9;
б)
3,4,5,6,7,8,9;
в)
1,2,3,4,5;
г)
6,7,8,9,10.
3. Определение условной вероятности
A  2,3,4,
P A / B  приведено в
а)
P A / B  
P AB 
;
PB 
б)
P A / B  
P AB 
, где PB   0;
PB 
в)
P A / B  
N AB
,
NB
где
элементарных исходов опыта.
N AB - число исходов благоприятствующих событию АВ,
N B - число исходов благоприятствующих событию В;
г)
4.
P A / B  
P APB / A
.
P B 

 - пространство элементарных равновозможных исходов. Условная
  i , i  1,10
вероятность
события
B   2 , 4 , 9 ,10  равна
а) 0,8;
б) 0,25;
A   3 , 4 , 6 , 7 
в) 1;
относительно
события
г) 0,5.
5. Утверждение, характеризующее свойства функции распределения скалярной случайной
величины, приведено в ответе
а) F(x) – кусочно-монотонная функция, имеющая разрывы первого рода и принимающая
значения на множестве действительных чисел;
б) F(x) – непрерывная функция, определенная для всех
x  0,   , множество значений
которой принадлежит интервалу (0,1);
в) F(x) – неубывающая функция, определенная на всей числовой оси, принимающая
значения из промежутка [0,1] и в точках разрыва, если они есть, непрерывная слева;
г) F(x) – любая функция, принимающая значения на промежутке [0,1].
6. Дан закон распределения дискретной случайной величины 
xi
0
2
5
8
10
pi
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
Значение функции распределения в точке x=8 равно
а) 0,3;
б) 0,6;
в) 0,2;
г) 0,7.
7. Дан ряд распределения дискретной случайной величины 
xi
1
3
5
7
11
pi
0,1
0,2
0,2
0,3
0,2
Математическое ожидание функции 
а) 4,8;
б) 5;
в) 6;
 2  3 равно
г) 15.
8. Через каждый час измерялось напряжение тока в цепи. Данные наблюдений представлены
статистическим (вариационным) рядом
210-214
214-218
218-222
222-226
226-230
3
5
10
7
5
Оценка выборочного среднего арифметического равна
а) 220;
б) 223,2;
в) 224,8;
г) 218.
9. Интервал (1, 2) называется доверительным для оцениваемого параметра , с заданной
доверительной вероятностью , если
а) 1     2 ;
б)
1   2   , где  - сколь угодно малое число;
в)
P1     2    ;
г)
P   1      ; P    2      , где  - сколь угодно малое число.
10. Пусть при проверке параметрической гипотезы построена критическая область W и zнабл –
значение статистики Z. Вероятность  допустить ошибку первого рода равна:
а)
  Pzнабл W H 0 ;
б)
  Pzнабл W H 0 ;
в)
  Pzнабл W H1 ;
г)
  Pzнабл  zкрит .
11. Известны значения парного и частного коэффициентов корреляции между признаками
13  0,4 и 13 / 2  0,097 , где х1 – урожайность кормовых трав (ц/га), х2 – весеннее
количество осадков, х3 – накопленная за весну сумма температур. Укажите ответ,
характеризующий влияние х2 на парную стохастическую связь.
а) не оказывает влияние;
б) усиливает;
в) ослабляет;
г) характер влияния сезонный.
12. При исследовании зависимости себестоимости тонны асфальта Y (руб.) от
производственной мощности X (тыс. тонн) по 100 предприятиям было получено
ŷ  0 ,5 x  1 2 0 ,50 . На сколько рублей
выборочное уравнение регрессии Y на X
изменится средняя стоимость тонны асфальта, если производственные мощности
увеличить на 10000 тонн и в какую сторону.
а) уменьшится на 10 руб.;
б) увеличится на 8 руб.;
в) уменьшится на 5 руб.;
г) увеличится на 15 руб.
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю. Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ И УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТИ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
1. Что изучает теория вероятностей
2. Испытание. Событие. Классификация событий
3. .Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности
4. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности
5. Понятие комбинаторики. Основные правила комбинаторики
6. Основные комбинаторные соединения
7. Алгебра событий
8. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
9. Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события
10. Формула полной вероятности
11. Вероятность гипотез. Формула Байеса
12. Формула Бернулли
13. Формула Пуассона
14. Наивероятнейшее число появления события
15. Понятие и виды случайных величин
16. Закон распределения вероятностей ДСВ. Способы задания
17. Биноминальное распределение
18. Пуассоновское распределение
19. Геометрическое распределение
20. Гипергеометрическое распределение
21. Математическое ожидание ДСВ и его свойства
22. Дисперсия ДСВ и её свойства. Формула для вычисления дисперсии. Среднее
квадратическое отклонение
23. Функция распределения вероятностей и её свойства
24. Плотность распределения вероятностей и её свойства
25. Числовые характеристики НСВ
26. Равномерное распределение и его свойства
27. Показательное распределение и его свойства
28. Нормальное распределение и его свойства
29. Правило трёх сигм. Центральная предельная теорема Ляпунова
30. Закон больших чисел
31. Задачи математической статистики
32. Выборочный метод
33. Типы выборок и способы отбора
34. Вариационные ряды
35. Эмпирическая функция распределения
36. Полигон и гистограмма
37. Точечные оценки параметров распределения
38. Генеральная и выборочная средние
39. Генеральная и выборочная дисперсии
40. Оценка генеральной средней по выборочной средней
41. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
42. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
43. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров
распределения
44. Интервальные оценки параметров распределения
45. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
46. Виды зависимостей между случайными величинами
47. Выборочные уравнения регрессии
48. Коэффициент корреляции
49. Линейная корреляция
50. Статистическая гипотеза
51. Виды ошибок
52. Статистический критерий. Критическая область
53. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
54. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей