2010 Программа по алгебре_Чубаров И.А

Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет –
Высшая школа экономики»
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Программной Инженерии
Программа дисциплины
Алгебра
Для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
(2010 – 2011 учебный год)
Автор программы:
к.ф.-м.н, доцент И.А. Чубаров
Рекомендована секцией УМС
По бизнес-информатике
Председатель Ю.В. Таратухина
__________________
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики
на факультете Экономики
Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров
________________________________
«_____» __________________ 2010 г.
«____»__________________ 2010 г
Утверждена Ученым Советом
Факультета Бизнес-информатики
Ученый секретарь В.А. Фомичев
_________________________________
« ____» ___________________2010 г.
Москва 2010
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета
и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям
и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 231000.62 «Программная инженерия» подготовки
бакалавра, изучающих дисциплину «Алгебра».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения
высшего
профессионального
образования
«Государственный
университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена
категория «Национальный исследовательский университет» (утвержден ученым
советом Государственного университета – Высшей школы экономики Протокол от
02.07.2010 г. № 15);
 Образовательной программой 231000.62, направление «Программная инженерия»
подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 231000.62 «Программная
инженерия» подготовки бакалавра, утвержденным в 2010г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются:
• Развитие математического кругозора и алгебраического мышления студентов.
• Обучение студентов важнейшим теоретическим положениям линейной алгебры,
началам абстрактной алгебры, матричным методам.
• Выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих исследования
систем линейных уравнений, применения матричных вычислений, многомерной
геометрии, линейных операторов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
• Знать
точные формулировки основных понятий, относящихся к теории матриц и
определителей, абстрактной алгебре, аналитической геометрии, линейной алгебре;
основные теоремы о системах линейных уравнений, матрицах и определителях, прямых
и плоскостях, линейных пространствах, линейных операторах, квадратичных формах,
евклидовых пространствах, простейшие теоремы о группах, кольцах и полях.
• Уметь
решать системы линейных уравнений при помощи алгоритма Гаусса, вычислять ранги
матриц, определители матриц, выполнять операции над матрицами;
выяснять, является ли данное множество группой, кольцом или полем, устанавливать
изоморфизмы между ними, исследовать строение групп;
решать стандартные задачи векторной алгебры, геометрии прямых и плоскостей;
находить базисы конечномерных линейных пространств и подпространств, координаты
векторов, решать задачи о линейных операторах и собственных векторах при помощи
матриц, простейшие задачи геометрии евклидовых пространств, приводить к
каноническому виду квадратичные формы, исследовать их на знакоопределенность.
• Владеть методами теории матриц, линейной алгебры, аналитической геометрии, класси
ческой и абстрактной алгебры, основными алгоритмами: алгоритмом Гаусса и
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
базирующимися на нем алгоритмами решения матричных задач и задач линейной алгебры,
алгоритмом Лагранжа пр.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
а) общекультурные (ОК):
выпускник должен демонстрировать:



владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК–1);
стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-6);
готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
б) профессиональные (ПК):
 готовность к использованию методов и инструментальных средств исследования
объектов профессиональной деятельности (ПК-3);
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и относится к математическому
естественнонаучному циклу.
Курс читается в 1 – 3 модулях первого учебного года.
Количество кредитов – 6.
Продолжительность курса составляет 216 часов, из них
аудиторных часов 104, в том числе
52 часа лекций,
52 часа семинарских занятий
112 часов самостоятельной работы, всего.
Текущий контроль включает 1 домашнее задание и 2 контрольные работы;
Промежуточный контроль - зачет по окончании 2 модуля;
Итоговый контроль - экзамен по окончании 3 модуля.
и
Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за пределы
требований к поступающим на программу бакалавриата.
Изучение данной дисциплины базируется на школьном курсе алгебры и начал анализа
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знание элементарной алгебры,
 знание простейших понятий теории множеств.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
 Математический анализ;
 Дифференциальные уравнения;
 Теория вероятностей и математическая статистика;
 Эконометрика;
 Исследование операций,
 Экономика
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
5
Название темы
Аудиторные часы
Всего
часов
Лекции
64
16
16
32
64
16
16
32
80
20
20
48
216
52
52
112
Семинары
Самостоятел
ьная работа
1 модуль
Системы линейных
уравнений, матрицы
Элементы общей алгебры
2 модуль
Определители
Векторная алгебра.
Координаты.
Линейные пространства:
арифметическое
пространство, ранг
матрицы, системы
линейных уравнений
3 модуль
Линейные пространства
(окончание) : аксиомы,
размерность,
подпространства.
Билинейные и
квадратичные функции.
Линейные отображения и
операторы
Евклидово пространство,
линейные операторы и
квадратичные формы в
евклидовом пространстве.
Итого
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля Форма
контроля
Текущий
(неделя в
модуле)
Контрольная
работа
1
7
модули
2 3
неделя
7
Домашнее
задание
Промежуточн Зачет
ый
Итоговый
Экзамен
Параметры
4
Письменная работа на 80 минут
6
Выполнение домашних заданий.
Письменная работа на 80 минут для
проверки качества выполнения
домашних заданий.
Письменная работа на 120 минут
9
Письменная работа на 120 минут
9
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине
Предусмотрены контрольная работа (в первом модуле) и 2 домашних задания (для
оценки выполнения домашнего задания проводятся письменные работы во втором и третьем
модулях). Во втором модуле проводится зачет, в третьем модуле – экзамен.
Оценки выводятся по следующим формулам.
Накопленная оценка за 1 – 2 модули:
«НО1» = 0,4 «ОКр1мод» + 0,4 «ОДз1-2мод» + 0,2· «Осем». («Осем » - оценка за участие в
семинарах и выполнение текущих домашних работ).
Результирующая оценка за зачет (2 модуль) «ОЗач» = 0,4 «НО1» + 0,6 «ОЗач.раб.».
Накопленная оценка за 3 модуль:
«НО2» = 0,2 «ОЗач » + 0,6 «ОДз3 мод» + 0,2· «Осем».
Здесь «Осемин.» - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая посещение семинаров,
активность на семинарах, в том числе решение задач у доски.
Результирующая оценка за экзамен «ОЭкз» = 0,4 «НО2» + 0,6 «ОЭкз.раб.»
по десятибалльной шкале.
При нормальном посещении занятий дробные баллы округляются до целых по правилам
арифметики – до ближайшего целого (например, 3,6 округляется до 4), при систематических
пропусках занятий или мероприятий текущего контроля
выставляется целая часть
соответствующего балла. В зачетную ведомость выставляются оценка «зачтено» или «не
зачтено» согласно таблице соответствия. В экзаменационную ведомость выставляется также
оценка по данной дисциплине по пятибалльной шкале, получаемая из оценки по
десятибалльной шкале согласно таблице соответствия
Таблица соответствия оценок за зачет
10шкала при
балльная проведении
шкала
зачета
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
не зачтено
зачтено
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
Таблица соответствия оценок за экзамен
по десятибалльной и пятибалльной системам
5-балльная шкала
10при проведении балльная
экзамена
шкала
0
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. Содержание программы
1. Системы линейных уравнений, матрицы
1. Системы линейных уравнений 2-го и 3-го порядков. Определители 2-го и 3-го порядков,
правило Крамера решения системы линейных уравнений 2 и 3 порядков.
2. Системы линейных уравнений (общий случай). Алгоритм Гаусса. Главные и свободные
неизвестные. Общее решение неоднородной системы.
3. Матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число, свойства этих операций.
4. Умножение матриц и его свойства. Обратная матрица. Элементарные матрицы.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные
уравнения AX = B, XA = B.
2. Элементы общей алгебры
5. Множества, операции над ними, отображения множеств. Бинарные отношения,
отношение эквивалентности. Подсчет числа элементов конечных множеств.
6. Бинарные алгебраические операции. Обзор алгебраических систем с одной и двумя
бинарными алгебраическими операциями. Группоиды, полугруппы и моноиды.
Примеры.
7. Группы, подгруппы, гомоморфизм и изоморфизм групп. Циклические группы и порядки
элементов. Группы классов вычетов по модулю n.
Примеры групп: группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.
8. Перестановки и подстановки, их перемножение. Разложение подстановок в
произведение транспозиций и независимых циклов. Четность подстановок.
Симметрические и знакопеременные группы.
9. Кольца. Примеры: числовые кольца, кольцо вычетов целых чисел по модулю n.
Делители нуля и обратимые элементы. Подкольца в кольцах. Кольцо квадратных
матриц.
10. Кольцо многочленов от одной переменной. Деление многочленов с остатком. Алгоритм
Евклида вычисления наибольшего общего делителя. Корни многочленов, разложение
многочленов на неприводимые множители (в том числе над R и C). Теорема Виета.
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
11. Поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая запись
комплексных чисел. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.
Мультипликативная группа C* и ее подгруппы. Поле вычетов целых чисел по простому
модулю. Рациональные дроби.
3. Определители
12. Определитель квадратной матрицы (формула полного разложения определителя).
Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения, разложение
определителя по элементам строки и столбца. Фальшивое разложение. Способы
вычисления определителей.
13. Решение и исследование квадратной системы линейных уравнений по правилу Крамера.
14. Вычисление определителя матрицы с углом нулей. Определитель произведения двух
квадратных матриц. Критерий существования и формула обратной матрицы.
Векторная алгебра. Координаты.
15. Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве, линейные операции над ними.
Базис, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах.
16. Радиус-вектор точки. Декартова система координат. Полярная, сферическая и
цилиндрическая системы координат*. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном
отношении. Применения: середина отрезка, медиана треугольника, биссектриса
треугольника.
17. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и вычисление в
координатах. Выражение ортогональной проекции одного вектора на другой. Критерий
коллинеарности двух векторов. Объем ориентированного параллелепипеда. Критерий
компланарности трех векторов.
18. Уравнения прямых на плоскости. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве.
Вычисление расстояний и углов.
4. Линейные пространства и их преобразования. Билинейные функции.
19. Арифметическое (координатное) пространство (столбцов или строк): его размерность,
примеры базисов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга с
помощью элементарных преобразований. Базисный минор. Вычисление ранга методом
окаймления миноров. Критерий равенства определителя нулю.
20. Фундаментальная система решений и общее решение однородной и неоднородной
систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капели.
21. Линейное (векторное) пространство: аксиомы, их простейшие следствия. Примеры.
Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в
координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат
вектора при изменении базиса.
22. Подпространства в линейном пространстве. Линейная оболочка конечного набора
векторов и ее размерность. Задание подпространства системой линейных уравнений.
Сумма и прямая сумма подпространств.
23. Билинейные функции, их матрицы. Изменение матрицы билинейной функции при
замене базиса. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Приведение
квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения
квадратов (алгоритм Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм (формулировка).
Положительно определенная квадратичная форма, критерий Сильвестра.
24. Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Ядро и
образ (множество значений) линейного отображения. Матрица линейного оператора и ее
изменение при замене базиса. Действия над линейными отображениями.
25. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора и матрицы. Линейная
независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к
базису из собственных векторов, условия диагонализируемости.
26. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис,
алгоритм ортогонализации (Грама-Шмидта). Ортогональное дополнение. Ортогональная
проекция вектора на подпространство, расстояние и угол между вектором и
подпространством.
27. Линейные операторы в евклидовом пространстве: самосопряженные (симметрические) и
ортогональные, их свойства и свойства их матриц. Приведение квадратичных форм к
диагональному виду (к главным осям) при помощи собственных значений и
ортогональной замены координат.
8. Образовательные технологии
Проводятся стандартные лекционно-семинарские занятия и регулярные консультации с
ответами на вопросы студентов. Применяются индивидуальные домашние задания.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Образцы задач контрольных работ, работ для проверки домашних заданий,
зачетных и экзаменационных работ по алгебре
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 1 модуль
 x  3 y    1
1. Исследуйте и решите систему при всех значениях параметра 
.
 (  2) x  9y  6
2.
3.
 0 2 
 5 1
Выполните действия: (3B)2  2( BA1  E )T , A  
, B  
.
 1 3 
 1 0 
 x1  x2  x3  20

Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:  2 x1  x3 14
 x  2 x  15
3
 2
 x1  x2  4 x3  3x4  0

4. Найдите все решения системы линейных уравнений  3x1  2 x2  x3  2 x5  1
.
 2 x  x  3x  3x  2 x  1
2
3
4
5
 1
 2 x1  x2  3x3  4 x4  x5  2

5. Исследовать и решить систему уравнений  3x1  2 x2  5 x3  x4  x5  2 .

x2  x3  2 x4  x5  5

6. (1) Подобрать j и i так, чтобы произведение
7 порядка со знаком минус.
2
7.
2
a32 a16 a2i a53a45a6 j a77 входило в определитель
1
5 5 2
1 2 
5 8 1
1 2 2
Решите матричное уравнение X  2
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
x 2 3 1
4 1 2 2
8. Решить неравенство
 50
1 1 1 2
3
4 1
2
5 2 0 0 . . 0 0
3 5 2 0 . . 0 0
9. Вычислите определитель матрицы порядка n: det
0 3 5 2 . . 0 0
.
. . . . . . . .
0 0 0
.
. . 5 2
0 0 0
.
. . 3 5
Типовые задачи для домашних заданий (2 модуль)
1. Является ли (а) группоидом, (б) полугруппой, (в) моноидом, (г) группой множество
целых чисел Z относительно операции a b  a  b  5 ? Ответ обосновать.
a b c
2. Является ли отображение  : X  Y , где X  {
 , a, b, c  }, Y  ,
 0 0 0
a b c
)  a  b  c , инъективным, сюръективным, биективным?
 0 0 0
0 0
Является ли отображение  (7 a )  
 гомоморфизмом (изоморфизмом) групп, если
0 a
 (
3.
первая группа – это множество G  {7a , a  } с операцией умножения, а вторая группа
b 0 
– множество H  { 1
 , b1 , b2  } с операцией сложения?
0
b

2
1
4. Решить уравнение BXA  C 1 A , где A, B, C – подстановки,
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 
1 2 3 4 5 6 7
A
, B 
,C  
.
5 3 1 2 4 7 6
3 2 1 6 5 4 7
5 6 1 2 7 4 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5. Разложить подстановку   
 в произведение независимых
3 2 5 6 7 4 8 9 1
циклов, тарнспозиций, выяснить ее четность. Определить порядок этой подстановки,
вычислить  744 .
(2  4i ) x  3 yi  10  21i
6. По формулам Крамера решить систему уравнений 
(1  5i ) x  (1  2i ) y  14  19i
7. Решить уравнение z 2  (7  i) z  (18  i)  0 .
8. Пусть z   3  i . Вычислить значение 7 z 3 , для которого число 7 z 3 : (1  i) имеет
9
аргумент
. Найти модуль этого числа.
28
4
3
2
9.Найти корни многочлена 3x  3x  6 x  18 x  12 и разложить его на множители над R
иC.
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
10. В циклической группе G   a порядка 288 [может быть конкретно дана группа G  U 288
комплексных корней степени 288 из 1 либо группа Z 288 ] найти: а) все элементы g такие,
что g48 =1; б) элементы g порядка 48, и в каждом случае подсчитать их количество.
Типовые задачи для подготовки к зачетной работе (2 модуль)
1. В ортонормированном базисе даны векторы a 1, 4,1, b  2,1,3, c  2,0,3 . Найти
вектор y такой, что y  a, ( y, c)  2, ( y, b)  9 .
2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a  p  3q, b  p  2q , если
p  2, q  3, ( p; q)   / 3 .
3. Даны вершины треугольника A(–5,3), B(7,8), C(–2,–1). Составить уравнения медианы,
биссектрисы и высоты треугольника, проведенных из вершины А. (Система координат
ортонормированная)
4. Даны точки E (2,1, 0), F (0, 2,1), G (1, 2, 0), H (1, 0, 2) . Найти: (а) объем пирамиды EFGH; (б)
длину высоты, проведенной из вершины H.
2 2 1
3 2
5 5 2
1
5. Решите уравнение A XB  C , где A 
.
, B  2 1 2 , C 
3 1
5 8 1
1 2 2
Решите уравнение A1 XB  C , где A, B, C – подстановки,
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
A
, B 
,C  
.
5 6 4 7 1 2 3
3 5 6 2 4 7 1
7 6 1 2 3 4 5
1
2x
0
0 0
1 x 4
0
0 0
7. Решите неравенство 2
1 x  4 3 2  0 .
6.
1
1
2
1
1
2
2 x 2
3 2
 2 0 
 1 1 
Вычислите матрицу 6 A1  ( BA2  AB)T , A  
, B  
.
 1 3 
5 0 
 x1  4 x2  2 x3  3x5  2,

9. Найдите общее решение системы уравнений 2 x1  9 x2  x3  4 x4  5,
(запишите
 x  5 x  x  4 x  3x  3.
2
3
4
5
 1
решение в виде вектора-столбца) .
 a 0 

10. Является ли отображение  : X  Y , где X  
 : a, b  Z  , Y  N ,
 0 b 

 a 0
2
2
 (
)  a  b  1 инъективным, сюръективным?
0
b


8.
11. Докажите, что множества G  {5a , a  Z } с операцией умножения и
 a 2a 
H  {
 , a  Z } с операцией сложения являются изоморфными группами.
 a 3a 
12. Найдите комплексные корни уравнения z 6 

2(i  1)
 0 , для которых 0  arg z  .
2
3 i
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
(5  i) x  (3i  1) y  4  4i
13. По формулам Крамера решите систему уравнений 
.
(2  i) x  (3  2i) y  4  4i
Типовые задачи для домашних заданий (3 модуль)
1. Проверить, что прямые a : 2 x  y  1  z  2 и b : x  1  1  y  z x  2   y  z  1 лежат
в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости. Найти расстояние от точки
A(1,4,-2) до этой плоскости.
2 x  2 y  3z  5  0
2. Найти угол между прямой 
и плоскостью 3x  y  4 z  15  0 , а также
x  2 y  z  7  0
координаты точки их пересечения.
3.(а) Найти точку М ' , симметричную точке М (1, 2, 0) относительно прямой
x  0,5 y  0, 7 z  2


.
1
0, 2
2
или
3.(б) Найти точку М ' , симметричную точке М (3,3,3) относительно плоскости
8 x  6 y  8 z  25  0.
4. Даны точки P(1, 2, 0), Q(1, 0, 2), R(2,1, 0), S (0, 2,1) . Найти: (а) объем пирамиды PQRS; (б)
угол между плоскостями (PQR) и (QRS).
x  5 y  5 z 1


и
3
2
2
x  6t  9, y  2t , z  t  2 . Вычислить расстояние между ними.
5. Исследовать взаимное расположение прямых
5 
 3 3 1


1 2 1
3 

6. Найти ранг матрицы при всевозможных значениях параметра :
 4 5 
2 


 7 8 1   7 
7. Найти общее решение системы линейных уравнений (представить его
как сумму частного решения и линейной комбинации линейно независимых решений
соответствующей однородной системы)
4 x5  1
 x1  2 x2  3x3 

3
 4 x1  7 x2  2 x3  x4
.

3
x

5
x

x

x

4
x

2
1
2
3
4
5

 5 x1  8 x2  5 x3  2 x4  12 x5  3
8. Проверить, что данные векторы a1  (1, 0,1,1)T , a2  (1,3,1, 2)T , a3  (2, 0,1, 2)T ,
a4  (1, 1, 1, 0)T образуют базис в пространстве столбцов. Найти координаты вектора
b  (3, 10, 4, 3)T в этом базисе.
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
9. Найти размерность и базис линейной оболочки векторов
a1  (1, 1, 2,1)T , a2  (1, 2,1, 1)T , a3  (0,3, 1, 2)T , a4  (3,3, 4, 1)T , a5  (1, 4,3,3)T в R 4 ,
выразить небазисные векторы через базисные.
10. Найти размерность и базис (т.е. фундаментальную систему решений) подпространства
решений системы линейных уравнений
 2 x1  x2  x3  x4  x5  0

 x1  2 x2  x3  x4  x5  0

3x2  x3  3x4  3x5  0

 5 x1  4 x2  3x3  x4  x5  0
11. Составить систему однородных линейных уравнений, задающую линейную оболочку
векторов a1  (1,1, 2,1, 2)t , a2  (0, 1, 2,1, 1)t , a3  (3,1, 2,5, 4)t в R5.
12. Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств V1 ,V2 в R4, где
V1  a1, a2 , a3 , a1  (1,0, 3, 2)t , a2  (7,1,9,14)t , a3  (4,1, 2, 9)t , а V2  b1, b2 ,
b1  (10,1,0,8)T , b2  (3,0,1, 3)T .
13. Линейное преобразование  в R2 отображает векторы
a1  (1, 4)T , a2  (2, 7)T соответственно в векторы b1  (2, 3)T , b2  (4,5)T . Определить
матрицу этого преобразования.
1 1 
14. Линейный оператор φ в базисе v : v1  (3, 2)t , v2  (1,1)t имеет матрицу Av  
.
 2 1
Какой будет его матрица в базисе u : u1  (1, 1)t , u2  (2,1)t ?
15. Найти базис ядра и базис образа линейного отображения  : R5  R3 , заданного
 1 1 2 4 2 


матрицей A   3 9 14 2 1  . Является ли отображение сюръективным?
 3 6 9 1 1 


Типовые задачи для подготовки к экзаменационной работе за 3 модуль (итоговой)
1. Найти базис и размерность линейного подпространства L в R4, заданного системой
3x5  0
 x1  4 x2  2 x3 

уравнений 2 x1  7 x2  4 x3  x4
0
 x  3x  2 x  x  3x  0
2
3
4
5
 1
18
2. Вычислить все значения 4
.
1 i 3
3. Найти комплексные корни уравнения z 2  (3  7i) z  (20  21i)  0 .
4. Вычислить матрицу перехода Cee ' от базиса e1  (2,1, 1)T , e2  (1, 1,3)T , e3  (1, 2, 1)T к
базису e1  (1, 2,3)T , e2  (2,1, 2)T , e3  (0, 2,1)T в линейном пространстве R3 и определить
координаты вектора x  e1  3e2  e3 в базисе e1 , e2 , e3 .
5. Доказать, что пространство является прямой суммой подпространств
L1  a1 , a2 , L2  b1 , b2 и разложить вектор x  (0, 2, 2,0)t на сумму проекций на эти
подпространства, где a1  (1,1,1,0)t , a2  (1,1,0,1)t , b1  (1,0,1,1) t , b2  (1,1, 1, 1) t .
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
6. Найти матрицу линейного оператора, переводящего векторы
a1  (2,5)T , a2  (1,3)T соответственно в векторы b1  (7, 4)T , b2  (2, 1)T в базисе, в
котором даны координаты векторов.
3
 2 
 1 1 
7. В базисе e1    , e2    линейный оператор  имеет матрицу A  
 . Найти
 3 4 
1
 1 
4
1
матрицу оператора  в базисе e1    , e2    .
3
1
8. (а) Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
1 2
в некотором базисе матрицей A  
 , привести ее к диагональному виду. (б)
5 4
Вычислить матрицу A2012 .
9. а) Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 4 3 
в некотором базисе матрицей A  
 . Можно ли привести ее к диагональному
12 8 
виду, перейдя к подходящему базису? (б) вычислить матрицу An , n  N .
10. В евклидовом пространстве R4 (со стандартным скалярным произведением) дано
подпространство L   a1  (1, 1,1,1)T , a2  (1, 4, 1,0)T  . Разложить вектор x  (2,1, 2,0)T
на сумму ортогональной проекции на L и ортогональной составляющей; найти
расстояние от вектора x до L и угол между x и L.
11. Построить при помощи процесса ортогонализации ортонормированный базис линейной
оболочки векторов a1  (1, 2,1)T , a2  (3, 4,1)T , a3  (1, 3, 1)T .
12. Найти ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы
2 1 1
1
2
1
1
1
2
13. Привести квадратичную форму k  x12  6 x1 x2  2 x1 x3  x22  2 x2 x3  5 x32
а) к каноническому виду; б) к главным осям
посредством ортогональной замены координат. Определить ранг и индексы инерции.
14. Исследовать квадратичную форму
k  (  1) x12  (2  2) x1 x2  2 x1 x3  2 x22  2 x2 x3  (  2) x32 на положительную или
отрицательную определенность в зависимости от параметра α.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Список литературы
10.1 Базовый учебник
1. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: МФТИ, 2006.
10.2. Основная литература
2. Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре.– 3-е изд. СПб.: Лань, 2008 (2-е изд.: М.:
Физматлит, 2003, имеется в библиотеке).
Государственный университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
3.
Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. – М.: Физматлит или
МЦНМО, 2009.
10.3. Дополнительная литература
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра.
Ч. III. Основные структуры алгебры. – М.: МЦНМО, 2009 -2010.
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Физматлит,
2009.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика в
упражнениях и задачах. 7-е изд. Ч.I. – М.: Оникс, 2009 (или более ранние издания).
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, 2007.
8. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и
статистика, 2003.
Автор программы
доцент
И.А. Чубаров