НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ТЯЖЁЛОЙ ЖИДКОСТИ В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ. Петросян А.С., Карельский К.В, Тарасевич С.В. Институт Космических Исследований РАН Таруса, 21 октября 2011 СОДЕРЖАНИЕ Применение приближения мелкой воды для магнитной гидродинамики Уравнения МГД мелкой воды на ровной границе Непрерывные частные решения Разрывные частные решения Постановка задачи распада разрыва Возможные волновые конфигурации Условия реализации конфигураций Уравнения МГД мелкой воды на неровной границе Инварианты Римана Решения типа волн Римана Разрывные частные решения Замена переменных Решение задачи распада разрыва Результаты и выводы ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ Вертикальные ускорения в слое жидкости много меньше силы тяжести Нейтронные звёзды Солнечный тахоклин Производство алюминия ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ Система уравнений МГД в поле силы тяжести Ось z антиколлинеарна вектору силы тяжести Гидростатичность распределения давлений Малость отклонения горизонтальных составляющих скорости и магнитного поля от средних по глубине значений Интегрирование уравнений по глубине ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ u12 B12 gh u1 u1u2 B1 B2 u1u3 B1 B3 0 u u 2 B 2 gh u u B B 0 u u B B 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2 u1u3 B1 B3 u u2u3 B2 B3 u3 B3 gh g t 3 x y z B u B u B u B u B 0 0 1 2 1 1 2 3 1 1 3 u B u B B2 0 u3 B2 u2 B3 0 1 2 2 1 B u B u B 0 0 u B u B 3 2 3 3 2 1 3 3 1 u1 u2 u3 0 x y z B1 B2 B3 0 x y z Граничные условия u3 z 0 u3 z h B3 z 0 B3 z h 0 Dh h h u1 z h u2 Dt t x 0 B1 z h x h B2 z h yh h z h y ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ h h h u dz u dz 0 1 2 x 0 y 0 t h2 / 2 h h 2 h 2 h h u1dz u1 dz B1 dz g u1u2 dz B1B2 dz 0. t 0 x 0 x 0 x y 0 y 0 h2 / 2 h h h h 2 h 2 u2 dz u1u2 dz B1B2 dz g u2 dz B2 dz 0. t 0 x 0 x 0 y y 0 y 0 h h h B1dz y B1u2 dz y B2u1dz 0 t 0 0 0 h h h B2 dz x B2u1dz x B1u2 dz 0 t 0 0 0 h h B1dz B2 dz 0 x 0 y 0 Вводя средние по глубине величины и пренебрегая квадратами отклонений, получаем СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МГД МЕЛКОЙ ВОДЫ Одномерный случай h hu1 t x 0 hu1 c 2 u 2 h 2u hu1 0 g 1 1 t x x hu hu1 hu2 hB2 h 2 B B u u u u B 0 1 2 1 2 2 1 1 x x x x t hB1 t 0 hB2 u B u B h B hu1 B hu2 u hB2 0 2 1 1 2 2 1 1 t x x x x hB1 0 x h – глубина жидкости u1 ,u2– скорость жидкости B1 ,B2– приведённая напряжённость магнитного поля ( B / ) cg B12 gh – скорость распространения малых возмущений x – пространственная координата t – временная координата УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА u1 h 2 u cg t 1 h u2 0 B2 0 h 0 u1 0 0 0 u1 B1 0 h 0 0 u1 0 x u2 0 B1 B2 0 u1 hB1 const Собств. вектора: c g / h 1 0 0 c g / h 1 0 0 0 0 1 1 0 Производится умножение системы на собственные вектора и вводятся новые переменные 0 1 1 УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА r r u1 cg 0 t x s s u1 cg 0 t x r u1 h s u1 h p p u1 B1 0 t x q q u1 B1 0 t x B1h 0 t cg B12 p u2 B2 q u2 B2 gh h cg h dh ВОЛНЫ РИМАНА Альфвеновские волны r const,s const, p const r const,s const,q const u2 x,t B2 x,t u2 x,0 B2 x,0 u2 x,t B2 x,t u2 x,0 B2 x,0 u1 x,t u1 x,0 u1 x,t u1 x,0 B1 x,t B1 x,0 B1 x,t B1 x,0 h x,t h x,0 h x,t h x,0 u2 x,t B2 x,t u2 x0 ,0 B2 x0 ,0 u2 x,t B2 x,t u2 x0 ,0 B2 x0 ,0 вдоль характеристик dx u1 B1 dt вдоль характеристик dx u1 B1 dt ВОЛНЫ РИМАНА Магнитогравитационные волны Волна, бегущая влево r const,q const, p const u1 x,t h x,t u1 x,0 h x,0 u2 x,t u2 x,0 B2 x,t B2 x,0 B1 x,t h x,t B1 x,0 h x,0 u1 x,t h x,t u1 x0 ,0 h x0 ,0 вдоль характеристик dx u1 cg dt Волна, бегущая вправо s const,q const, p const u1 x,t h x,t u1 x,0 h x,0 u2 x,t u2 x,0 B2 x,t B2 x,0 B1 x,t h x,t B1 x,0 h x,0 u1 x,t h x,t u1 x0 ,0 h x0 ,0 вдоль характеристик dx u1 cg dt ВОЛНЫ РИМАНА Магнитогравитационные волны r const,q const, p const u1 1 s x 2 x 1 u1 r0 s 2 r0 u1 u1 h 0 x h x s const,q const, p const 1 u1 r s0 2 u1 1 r x 2 x u1 h 0 x h x s0 u1 s 0 x h волна понижения 0 уровня x r 0 x h 0 x s 0 x h 0 x r 0 x h волна повышения 0 уровня x волна повышения уровня волна понижения уровня ВОЛНЫ РИМАНА Автомодельные решения Магнитогравитационная волна разрежения, бегущая влево r const,q const, p const u1 x,t h x,t u1 x,0 h x,0 u2 x,t u2 x,0 B2 x,t B2 x,0 B1 x,t h x,t B1 x,0 h x,0 u1 x,t h x,t u1 x0 ,0 h x0 ,0 dx вдоль характеристик dt u c выходящих из точки x0 ,0 1 g Магнитогравитационная волна разрежения, бегущая вправо s const,q const, p const u1 x,t h x,t u1 x,0 h x,0 u2 x,t u2 x,0 B2 x,t B2 x,0 B1 x,t h x,t B1 x,0 h x,0 u1 x,t h x,t u1 x0 ,0 h x0 ,0 dx u1 cg dt вдоль характеристик выходящих из точки x0 ,0 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ G h hu1 t x 0 2 2 2 hu1 hu1 hB1 1 / 2 gh 0 t x hu2 hu1u2 hB1 B2 0 x t hB1 t 0 hB2 hu1 B2 hB1u2 0 t x РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ I u1I (t ) lim u1 ( x, t ) u1II (t ) lim u1 ( x, t ) u2 I (t ) lim u2 ( x, t ) u2 II (t ) lim u2 ( x, t ) B1I (t ) lim B1 ( x, t ) B1II (t ) lim B1 ( x, t ) B2 I (t ) lim B2 ( x, t ) B2 II (t ) lim B2 ( x, t ) hI (t ) lim h( x, t ) hII (t ) lim h( x, t ) x x ( t ) 0 II x x ( t ) 0 D D(t ) x(t ) x x ( t ) 0 x x ( t ) 0 x x ( t )0 x x ( t )0 x x ( t )0 x x ( t )0 DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II x x ( t ) 0 x x ( t )0 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Альфвеновские волны DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II hI hII D u1 B1 B2 I B2 II u1I u1II u2 I u2 II B1I B1II РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Магнитогравитационные волны DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II B2 I B2 II ,u2 I u2 II hI B1I hII B1II D hI u1I hII u1II hI hII u1I u1II hI hII g / 2 hI hII B1I hI / hI hII hI hII 2 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Тангенциальные разрывы Для случая B1 0 hI hII u1I u1II B1I B1II 0 D u1 слева B2 I ,u2 I справа B2 II ,u2 II Для случая B1 0 все величины непрерывны ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПАДА РАЗРЫВА h hu1 t x 0 hu1 c u h 2u hu1 0 g 1 1 t x x hu hu1 hu2 hB2 h 2 B B u u u u B 0 1 2 1 2 2 1 1 x x x x t hB1 t 0 hB2 u B u B h B hu1 B hu2 u hB2 0 2 1 1 2 2 1 1 t x x x x hB1 0 x t 0 h h ,u u ,u u ,B B ,B B ; x 0 I 1 1I 2 2I 1 1I 2 2I h hII ,u1 u1II ,u2 u2 II ,B1 B1II ,B2 B2 II ; x 0 B1I hI B1II hII h – глубина жидкости u1 ,u2 – скорость жидкости B1 ,B2 – приведённая напряжённость магнитного поля cg B12 gh – скорость распространения малых возмущений ВОЗМОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ Выбор системы координат Глубина жидкости справа не превышает глубину жидкости слева Жидкость справа покоится ВОЗМОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ Две магнитогравитационные волны понижения уровня, две альфвеновские волны Магнитогравитационная волна понижения уровня, магнитогравитационная ударная волна, две альфвеновские волны Две магнитогравитационные ударные волны, две альфвеновские волны Две гидродинамические волны понижения уровня, зона вакуума УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ u1I cgI u1IV cgIV u1IV B1IV u1IV B1IV D hII hIV hI УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ (1) 1IV u u1I hI hIV Убывает по hIV hII hIV hI (2) 1IV u hII hIV g / 2 hII hIV B1I hI / hII hIV hII hIV 2 Возрастает по hIV Для существования и единственности корня на отрезке hII , hI u1(1)IV hII u1(2) IV hII u1(1)IV hI u1(2) IV hI hII hI u1I hI hII g / 2 hI hII B1I hI / hI hII hI hII 2 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ Две ударные волны, две альфвеновские волны u1I hI hII g / 2 hI hII B1I hI / hI hII hI hII 2 Ударная волна, волна понижения уровня, две альфвеновские волны u1I hII hI 2 g / 2 hI hII B1I hI / hI hII u1I hI hII hI hII Две волны понижения уровня, две альфвеновские волны u1I hII hI Две волны понижения уровня, зона вакуума B1I B1II 0 u1I 2cgI 2cgII МГД МЕЛКАЯ ВОДА НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Вводится новый параметр: b – высота подстилающей поверхности Уравнения МГД мелкой воды Одномерный случай h hu1 t x 0 hu1 c 2 u 2 h 2u hu1 gh b g 1 1 t x x x hu hu1 hu2 hB2 h 2 B B u u u u B 0 1 2 1 2 2 1 1 t x x x x hB1 t 0 hB2 u B u B h B hu1 B hu2 u hB2 0 2 1 1 2 2 1 1 t x x x x hB1 0 x h – глубина жидкости u1 ,u2 – скорость жидкости B1 ,B2 – приведённая напряжённость магнитного поля ( B / ) cg B12 gh – скорость распространения малых возмущений b – высота дна УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА r r b u1 cg g t x x s s b u1 cg g t x x p p u1 B1 0 t x q q u1 B1 0 t x B1h 0 t cg r u1 h s u1 h p u2 B2 q u2 B2 B12 gh h cg h dh РЕШЕНИЯ ТИПА ВОЛН РИМАНА Классические волны Римана не являются решениями Решения типа волны Римана тождественно удовлетворяют три из четырёх уравнений r r b u1 cg g t x x s s b u1 cg g t x x Существуют b x k const p p u1 B1 0 t x q q u1 B1 0 t x только для наклонных плоскостей ВОЛНЫ РИМАНА Альфвеновские волны Уравнения на s, r, p выполнены тождественно u2 x,t B2 x,t u2 x0 ,0 B2 x0 ,0 u1 x,t gkt u1 x0 ,0 B1 x,t B1 x0 ,0 h x,t h x0 ,0 u2 x,t B2 x,t u2 x0 ,0 B2 x0 ,0 вдоль характеристик dx u1 B1 dt Уравнения на r, s, q выполнены тождественно u2 x,t B2 x,t u2 x,0 B2 x,0 u1 x,t gkt u1 x,0 B1 x,t B1 x,0 h x,t h x,0 u2 x,t B2 x,t u2 x0 ,0 B2 x0 ,0 вдоль характеристик dx u1 B1 dt ВОЛНЫ РИМАНА Магнитогравитационные волны Волна, бегущая влево Волна, бегущая вправо Уравнения на s, p, q выполнены тождественно Уравнения на r, p, q выполнены тождественно u x,t h x,t gkt 1 u1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 u2 x,t u2 x t 0 ,0 u1 x,t h x,t gkt u1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 u2 x,t u2 x t 0 ,0 B2 x,t B2 x t 0 ,0 B2 x,t B2 x t 0 ,0 B1 x,t h x,t B1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 u1 x,t h x,t u1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 вдоль характеристик dx u1 cg gkt dt B1 x,t h x,t B1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 u1 x,t h x,t u1 x t 0 ,0 h x t 0 ,0 вдоль характеристик dx u1 cg gkt dt ВОЛНЫ РИМАНА Автомодельные решения Магнитогравитационная Магнитогравитационная волна разрежения, бегущая волна разрежения, бегущая влево вправо u1 x,t h x,t gkt u1 x,t h x,t gkt u1 x0 ,0 h x0 ,0 u1 x0 ,0 h x0 ,0 u2 x,t u2 x0 ,0 u2 x,t u2 x0 ,0 B2 x,t B2 x0 ,0 B2 x,t B2 x0 ,0 B1 x,t h x,t B1 x0 ,0 h x0 ,0 B1 x,t h x,t B1 x0 ,0 h x0 ,0 u1 x,t h x,t gkt u1 x0 ,0 h x0 ,0 u1 x,t h x,t gkt u1 x0 ,0 h x0 ,0 dx u c gkt вдоль характеристик dt u c gkt вдоль характеристик dx dt выходящих из точки x0 ,0 выходящих из точки x0 ,0 1 g 1 g РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ G h hu1 t x 0 2 2 2 hu1 hu1 hB1 1 / 2 gh b g t x x hu2 hu1u2 hB1 B2 0 x t hB1 t 0 hB2 hu1 B2 hB1u2 0 t x РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ I II D D(t ) x(t ) u1I (t ) lim u1 ( x, t ) u1II (t ) lim u1 ( x, t ) u2 I (t ) lim u2 ( x, t ) u2 II (t ) lim u2 ( x, t ) B1I (t ) lim B1 ( x, t ) B1II (t ) lim B1 ( x, t ) B2 I (t ) lim B2 ( x, t ) B2 II (t ) lim B2 ( x, t ) x x ( t ) 0 x x ( t ) 0 x x ( t ) 0 x x ( t ) 0 x x ( t )0 x x ( t )0 x x ( t )0 x x ( t )0 h (t ) lim h( x, t ) h (t ) lim h( x, t ) DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II I x x ( t ) 0 II x x ( t )0 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Альфвеновские волны DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II hI hII D u1 B1 B2 I B2 II u1I u1II u2 I u2 II B1I B1II РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Магнитогравитационные волны DhI hI u1I DhII hII u1II 2 2 2 2 2 2 Dh u h u h B g / 2 h Dh u h u h B g / 2 h I 1I I 1I I II 1II II 1II II 1II II I 1I DhI B1I DhII B1II Dh u h u u h B B Dh u h u u h B B I 1I 2 I I 1I 2 I II 2 II II 1II 2 II II 1II 2 II I 2I DhI B2 I hI u1I B2 I hI u2 I B1I DhII B2 II hII u1II B2 II hII u2 II B1II B2 I B2 II ,u2 I u2 II hI B1I hII B1II D hI u1I hII u1II hI hII u1I u1II hI hII g / 2 hI hII B1I hI / hI hII hI hII 2 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Контактные разрывы Для случая B1 0 hI hII u1I u1II B1I B1II 0 D u1 слева B2 I ,u2 I справа B2 II ,u2 II Для случая B1 0 все величины непрерывны СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ Наклонная плоскость Ровное дно Характеристики X t 1 gkt 2 u1 cg t X 0 2 1 2 x x gkt 2 t t X t u1 cg t X 0 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Невырожденная замена переменных x x gkt 2 / 2 t t u1 u1 gkt сводит систему уравнений МГД мелкой воды на наклонной плоскости к системе уравнений на ровной плоскости (в дальнейшем знак тильды опущен) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПАДА РАЗРЫВА h hu1 t x 0 hu1 c 2 u 2 h 2u hu1 g b g 1 1 t x x x hu hu1 hu2 hB2 h 2 B1 B2 u1u2 u2 u1 B1 0 x x x x t hB1 t 0 hB2 u B u B h B hu1 B hu2 u hB2 0 2 1 1 2 2 1 1 t x x x x hB1 0 x t 0 h h ,u u ,u u ,B B ,B B where x 0 I 1 1I 2 2I 1 1I 2 2I h hII ,u1 u1II ,u2 u2 II ,B1 B1II ,B2 B2 II where x 0 B1I hI B1II hII h – глубина жидкости u1 ,u2 – скорость жидкости B1 ,B2 – приведённая напряжённость магнитного поля ( B / ) cg B12 gh – скорость распространения малых возмущений b – высота дна УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ КОНФИГУРАЦИЙ Две ударные волны, две альфвеновские волны 2 g / 2 hI hII B1I hI / hI hII u1I hI hII hI hII Ударная волна, волна разрежения, две альфвеновские волны u1I hII hI 2 g / 2 hI hII B1I hI / hI hII u1I hI hII hI hII Две волны разрежения, две альфвеновские волны u1I hII hI Две волны разрежения, зона вакуума B1I B1II 0 u1I 2cgI 2cgII ОБРАТНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Используя обратную замену координат 1 2 x x gkt 2 t t u u gkt можно получить решение задачи распада разрыва на наклонной плоскости РАСПАД РАЗРЫВА НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ Две магнитогравитационные волны разрежения, две альфвеновские волны Магнитогравитационная волна разрежения, магнитогравитационная ударная волна, две альфвеновские волны Две магнитогравитационные ударные волны, две альфвеновские волны Две гидродинамические волны разрежения, зона вакуума РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Получены частные решения уравнений магнитной гидродинамики в приближении мелкой воды над ровной поверхностью и наклонной плоскостью: магнитогравитационные и альфвеновские волны. Показано, что над другими подстилающими поверхностями не существует решений типа простой волны Римана. Найдено решение задачи распада разрыва в магнитной гидродинамике в приближении мелкой воды. Оно является суперпозицией двух альфвеновских волн и решения гидродинамической задачи распада разрыва с скоростью звука, соответствующей распространению слабых возмущений в МГД мелкой воде. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ