кЕЙЖХ2 - uic.unn.ru

Поверхностные волны
Лекция 2
Волны
зыби
Волны
зыби
Волны
зыби
Потенциальные волны на
поверхности тяжелой жидкости

Течение считаем потенциальным
v  
  0.
Кинематические Г.У
Z   x ,t 
Z=-Н
    

0
 
 t x x Z Z   x ,t 

 
0
 Z
Динамическое Г.У

Z  H
p  pa 

R
Интеграл Коши-Лагранжа
x
 1
p
2
 
 g   0
Z 
t 2


2
3 
   kg  k  thkH
Дисперсионное уравнение


Z
Поле давления в волне
Из формулы Коши-Лагранжа в линейном приближении
p    gz  t
  0 cosh k  z  H  exp  i t  kx  
  a exp  i t  kx  
Возвышение в волне
 a cosh k  z  H 
  i
exp  i t  kx  
k
sinh kH
Давление
p    gz  
 2 a cosh k  z  H 
k
sinh kH
exp  i t  kx  
С учетом дисперсионного соотношения

2   cosh k  z  H 
p    gz   a  g  k
exp  i t  kx  


cosh kH

Применение донных станций для обнаружения цунами
Переменное давление, создаваемое на
дне стоячими волнами
p  p ( H )  p( ) 
1
1
2
2


     t   H    t     
 
 gH  g 
H

2
2


При kH>>1 с точностью до ka2
1 2

2
p    t  0   tZ  0     x   Z
2




 g H  
0

С учетом кинематического ГУ на поверхности

      
  2  
 2 
tZ 0
t
t t  t 
2
2
2
С учетом этого имеем
  1 2

2
p    t  0   
  x  Z
t t 2


Здесь учтено динамическое ГУ


 g H   
0

t  0  g  0
Суперпозиция падающей и отраженной волн.
  a Re exp  i t  kx    R exp  i t  kx   
Усреднение р по х
 x 2  Z 2
p   gH  2 a2 2 Re  Rexp  2it  
Оценка: при с=10 м/с, к=0.1 м-1, =1 с-1
р=2000 кг/м3
Микросейсмы
Затухание и генерация поверхностных
волн
Декремент затухания поверхностных волн
Основные уравнения
Граничные условия

u 1 p
 w z 0

 u
t
t  x
w
p  2
 pa
w 1 p

 w  g
z z 0
t  z
 u w 
u w
   0

0
 z x  z 0
x z
w z  H  0
u z  H  0
Уравнение баланса энергии волновых
возмущений
u 1 p  xx  xz



t  x
x
z
 xz  zz
w 1 p

 g 

t  z
x
z
u w

0
x z
u
w
Cложим 1-е и 2-е уравнения, проинтегрируем по z от -
до  и усредним по х.
Уравнение баланса энергии волновых
возмущений

  u 2 w2 
1
 t  2  2  dz  


 

up

wp
  x   z   dz 


 


u


w


u


w





xx
xz
xz
zz dz 


   x
z

1

u
u
w
w 


  xz
  xz
  zz
  xx
dz 

  
x
z
x
z 
1


 wgdz

Во 2-м порядке по амплитуде


 x ...dz  x
0
 0
0
 ...dz
0

Пренебрегая атмосферными давлением и вязким
напряжением

w  p   zz    0
u xz


0
Принимая во внимание выражения для ij , имеем
для второго слагаемого в ПЧ
2
2
  u 2

w

u

w

 
 
Vis     2    2 
  
  dz  0
 z   z x  
 
  x 
0
Потенциальная энергия



1 
2
wgdz

wgdz

g
w


g


g


0
t
2 t
Уравнение баланса энергии
2
2
 


u
w

1

 dz  g  2

t    2
2 
2




  Vis


Декремент волн на чистой воде
Для гармонической волны
  a cos t  kx 
w   a exp(kz )sin t  kx 
u  a exp(kz ) cos t  kx 
 a
a
 2 k 2
t 2k
k
2
2
2
2
a 2 2 a 2 g
E

2k
2
2 2
a

2
Vis  2 k
k
a  a0 exp( t )
  2 k
2
Декремент волн на воде, покрытой
нерастяжимой пленкой
Основные уравнения
u 1 p

 u
t  x
w 1 p

 w  g
t  z
u w

0
x z
Граничные условия

 w z 0
t
w
p  2
 pa
z z 0
u z 0  0
w z  H  0
u z  H  0
Основные уравнения в терминах завихренностьфункция тока


u
;w  
z
x
Граничные условия

 ;   
t

 0; z   0
z z 0
Вихревая и потенциальная части
 
  A exp  kz  ;   B exp  mz  ; m2  i / ; m  k
Из ГУ прилипания на
поверхности
Из ГУ непротекания
на поверхности

z
 0  B   Ak / m  A
z 0
 

t x
 0    a / k exp  kz  ;
z 0
  a / m exp  mz 
Завихренность
  am exp  mz 
Работа вязких сил
2


2
2
0


 u 
 w   u w  

Vis    2    2 

dz 
 


z
x 
 x 
 z   

 

1 u
1
1  2 3
2
2 2
  
dz    a  m exp  2 z Re m  dz  
a
2  z
2 
4 
0
2
0
1

   k
4

Сравнение с декрементом
затухания волн на чистой воде
1 c
 film /  0 
 Re1/ 2  1
8 k
Генерация волн ветром
Уравнение баланса энергии
2
2
 


u
w

1

 dz  g  2

t    2
2 
2



0
1
  p   zz  w  u xz
 Vis






ГУ на границе вода-воздух

p w   zz
 xz w
z 
w

z 
  xz

 p a   zz
a
z 
a

z 
Система уравнений для возмущений в воздухе
u  U ( z)  u1
u1
u
dU 1 p  xx  xz
 U 1  w1



t
x
dz  x
x
z
 xz  zz
w1
w1 1 p
U

 g 

t
x  z
x
z
u1 w1

0
x z
Уравнение баланса энергии
2
2


 

u
w

1
dU
2


 dz  g 

  uw
dz 
 0
t  0  2
2 
2
dz




1

 Visa
 p   zz  w  u xz
a
z 0
Поток энергии на поверхности воды (от ветра к волнам)

 p   zz  w  u xz
z 0


dU
 a   uw
dz Visa 
dz
0

  d uw

   a   U
dz Visa 
dz
0

Поток энергии от ветра к волнам определяется
балансом работы радиационных сил и вязких сил
Уравнение баланса энергии волн
2
2
 


u
w

1
  


dz  g  2
t    2
2 
2




d uw
 a  U
dz    aVisa  Vis 
dz
0




Майлсовский механизм генерации
волн ветром
Система уравнений для возмущений в воздухе для
функции тока и граничные условия
 
 d 2U



0

0
  U   
2
x 
x dz
x z 0 t
 t
Для гармонического возмущения   0 ( z)cos t  kx 
Уравнение Релея
d 2 0
U zz
2
 k 0 
0  0
2
dz
U  / k
Волновой поток импульса



1
1
k
*
*
uw  Re  u10 w10   Re  0 z  0 ik   Im  0 z  0
2
2
2

Домножим уравнение Релея на 0 и проинтегрируем от z до 
0 z 
* 
0
z
2
 d 2
U zz  0 
2
2
0
 
 k 0 
 dz
 dz
U   / k 
z

k U zz  0
uw  Im 
dz1
2 z U  / k

2
U zz  0
U zz  0 c2
 / k  c1  ic2 ; Im 
dz1  
dz1 
2
2
U  / k
z
z U  c1   c2



U zz  0
U z 
2
z  zc
U zz  0
U z 
2
2
2
z  zc
2

2

c2 dz1
z  zc

2
2

   z1  zc    c2 / U z 

z  zc
0
 U z 

0
z  zc
z  zc
U zz  0 k
uw   
2 Uz
2
1  z  zc 
z  zc
Уравнение баланса энергии волн
U zz  0 k
E
 
t
2 Uz
2
z  zc
a 
a 2 2
U   z  zc  dz  Vis; E 

 0
2k
Ветровой инкремент волн на воде
  a U zz  0
Im   
2  c U z a2
2
w
z  zc
Волны нарастают при Uzz<0
Резонансный механизм энергообмена волн с
потоками.
Плазменно-гидродинамическая аналогия
Плазма
Гидродинамический поток
завихренность
В ускоряющей фазе волны
количество частиц
возрастает, а в замедляющем
– убывает. Это значит, что
энергия частиц плазмы в
среднем возрастает, а волна
затухает
Смещение частиц вверх приводит к
тому, что в этой фазе волны
частицы приобретают большую
скорость, т.е. К импульсу волны в
среднем прибавляется
положительная добавка, приводя к
усилению