- Нижегородский государственный университет им. Н.И.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
Центр развития одаренности
Олимпиада школьников «Будущие исследователи – будущее науки»
2011
Математика – 9,10 класс
Заочный этап
01
02
03
04
05
 x  y  z  13,

Решите систему уравнений  x 2  y 2  z 2  91,
 y 2  xz.

x2  5x  1
.
x2  x  1
Решите неравенство 1  3 cos 4 x  3  2 sin 2 x  1 .
Найдите множество значений функции y 


2011
Дан
многочлен P( x)  x 2  x  1
.
Найдите
коэффициенты
a0 , a1 , a2 соответственно при нулевой, первой и второй степени x .
Решите уравнение в целых числах: 19m  60n  3 .
этого
многочлена
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
Центр развития одаренности
Олимпиада школьников «Будущие исследователи – будущее науки»
2011
Математика – 11 класс
Заочный этап
01
Несколько одинаковых комбайнов убирают поле за 14 дней. Если бы количество комбайнов
было увеличено на 8 и каждый комбайн работал бы на 1 час 20 минут в день дольше, то это же
поле было бы убрано не более чем за 10 дней. Если количество комбайнов ещё увеличить на 12
и каждый комбайн работал бы ещё на 1 час 20 минут в день дольше, то это же поле было бы
убрано не менее чем за 7 дней. Определите наименьшее при данных условиях количество
комбайнов, а также продолжительность рабочего дня.
02
 x
 x 1
Решите уравнение tg   1  tg  
 0.
3
 14 
 15 
03
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
 x 2  y 2  a,

 x  sin 2 y  3
имеет единственное решение. Найдите соответствующие решения системы.
04
05


2011
Дан многочлен P( x)  x 2  5 x  sin 1
. Найдите коэффициенты этого многочлена
a0 , a1 , a2 соответственно при нулевой, первой и второй степени x .
Рёбра AS и BC пирамиды SABC равны 15см и 8см. Известно, что расстояние между серединами
рёбер SB и AC может принимать значение от 5см до 7см. Найдите, в каких пределах изменяется
при этих условиях угол между прямыми AS и BC.