точки пересечения с осями Трезубец Ньютона

Построение графиков функции
Схема построения графика функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Область определения функции.
Точки разрыва, их характер. Вертикальные
асимптоты.
Чётность, нечётность, периодичность функции.
Точки пересечения графика с осями координат.
Поведение функции на бесконечности.
Горизонтальные и наклонные асимптоты.
Интервалы монотонности функции, точки
максимума и минимума.
Направления выпуклости кривой. Точки перегиба.
График функции
1
y
1 x2
1)
Шаг 1.
верьзиера
локон Марии Аньези
область определения
D( f )  R
Шаг 2.
точки разрыва

вертикальные асимптоты
f ( x)  C ( R)

1
y
1 x2
1)
Шаг 3.
чётность

f ( x)
верьзиера
локон Марии Аньези
периодичность
?
симметричность
относительно
f (x)
Oy

1
y
1 x2
1)
Шаг 4.
верьзиера
локон Марии Аньези
точки пересечения с осями
x 0

y 0
y 0
y  1?
1)
Шаг 5.
1
y
1 x2
верьзиера
локон Марии Аньези
горизонтальные асимптоты

наклонные асимптоты
1
lim f (x)  ?
lim

2
x  
x   1  x
y0
?0

1
y
1 x2
1)
верьзиера
локон Марии Аньези
интервалы монотонности
Шаг 6.
точки минимума
точки максимума
y  
2x
(1  x 2 ) 2
?
x 0
y (x)
0
x0
критическая точка
? 0
x
0
y (x)
?0
?
?
f (x ) 
f (x ) 
точка максимума
f max  y?(0) 
1
1
y
1 x2
1)
Шаг 7.
выпуклость
y  
x
1
3
верьзиера
локон Марии Аньези
точки перегиба
1  3x 2
2
(1  x 2 ) 3
?
0  x?

1
3
x

3
3
3

1
3
y   0
y   0
?

x
1
?
точка перегиба
x
1
3
симметрия!

1
y
1 x2
1)
x
f (x)
f (x)
f (x)
3
3
(, ) 
3
3



верьзиера
локон Марии Аньези
(
3
,0)
3
0
(0,
3
)
3
3
3
(
3
,)
3
 0   
0 2  0 
точка
перегиба
 max 
точка
перегиба

1)
верьзиера
локон Марии Аньези
y

1
y
1 x2
1


0

3
3
3
3
x
1
yx 
x
2
2)
Шаг 1.
Трезубец Ньютона
область определения
R\0
D( f )  ?
Шаг 2.
 вертикальные асимптоты 
x 0
точки разрыва
1
lim ( x  )  ?
x 00
x
1
2
lim ( x  )  ?
x 0 0
x
2
x0
1
yx 
x
2
2)
Шаг 3.
чётность

f ( x)
f ( x)
Трезубец Ньютона
периодичность
? f (x)
?  f (x)

1
yx 
x
2
2)
Шаг 4.
Трезубец Ньютона
точки пересечения с осями
x 0
Oy
Ox
y0
1
x  0
x
2
x  ?1

x2 1
0
x
2)
Шаг 5.
1
yx 
x
2
горизонтальные асимптоты
lim
x  
Трезубец Ньютона

наклонные асимптоты
1
f ( x) lim
(x  2 )  ?
 x?


 
x
x

1
yx 
x
2
2)
Трезубец Ньютона
интервалы монотонности
Шаг 6.
точки минимума
точки максимума
1
2x3  1
y  2x  2 

x
x2
1
2
x 32
y   2  3
x
?
?
y ( 3
1
2
)
? 0
0
?
критическая точка
точка минимума
1
yx 
x
2
2)
Шаг 7.
выпуклость
y  
2
2

3
x
Трезубец Ньютона
точки перегиба
2( x 3  1)
x3
?

 0  x ?1
x  1
точка перегиба
x  1
y   0

?
1
x
y   0
?

0
x

0
y   0
?

1
yx 
x
2
2)
x
f (x)
f (x)
f (x)
(,1)
1
Трезубец Ньютона
(1,0)
0
(0, 3
1
2
1
)
3
2
(3
1
2
,)
    0 
 0    

точка
перегиба



min
f (3
1
2

)  1,89
2)
1
yx 
xy
2
Трезубец Ньютона


1
0
1
3
2
x
ln x
y  x
x
3)
Шаг 1.
область определения
D( f )  (?0,)
Шаг 2.
точки разрыва

вертикальные асимптоты
x 00
ln x 


lim  x 
x 
x  0  0
x0
? 

ln x
y  x
x
3)
Шаг 3.
чётность

f ( x)
f ( x)
периодичность
? f (x)
?  f (x)

ln x
y  x
x
3)
Шаг 4.
точки пересечения с осями
x 0
Oy
Ox
y0 
ln x
0
x
x
x
2
 ln x  0
x  ?x 0
y  x2
1
x0
y   ln x
ln x
y  x
x
3)
горизонтальные асимптоты
Шаг 5.

наклонные асимптоты
lim f ( x )
x  
x
ln x
(1  2 )  1
k  xlim
 
x
ln x
0
b  xlim
  x
?
?
lim [ f ( x)  kx]
x  
yx
?
?

ln x
y  x
x
3)
интервалы монотонности
Шаг 6.
точки минимума

точки максимума
?
1 ln x x 2  1  ln x
y  1  2  2 
x
x
x2
?
y  x2 1
x2 1
y  ln x
?
0 0? x
ln x
f (x)


(0,)
ln x
y  x
x
3)
Шаг 7.
выпуклость
точки перегиба

2
1 2 ln x 2 ln x  3
y    3  3  3 
x
x
x
x3
0
?
?
x  ?e 3 / 2
x  e
y  0
?

точка перегиба
3/ 2
x

e3/ 2
y   0
?

ln x
y  x
x
3)
x
3
(0, x0 )
x0
f (x)
 
f (x)
 
f (x)

0
2
( x0 , e ) e
3/ 2
 


0
3
(e 2 ,)


точка
перегиба
3
f (e 2 )  4,82

3)
ln x
y  x
x
y
yx

0
x
x0
e3/ 2
1
y  x 2
x
4)
Шаг 1.
область определения
R\0
D( f )  ?
Шаг 2.
точки разрыва
2-го рода
 вертикальные асимптоты 
x 0
1
lim ( x  2 )   ?
x 00
x
1
lim ( x  2 )  ?

x 0 0
x
x0
1
y  x 2
x
4)
Шаг 3.
чётность

f ( x)
f ( x)
периодичность
? f (x)
?  f (x)

1
y  x 2
x
4)
Шаг 4.
Oy
Ox
точки пересечения с осями
x 0
y  0  x3  1 0
x  ?1
(1,0)
1
y  x 2
x
4)
горизонтальные асимптоты
Шаг 5.

наклонные асимптоты
lim f ( x )
x  
x
1
(x  3 )  1
k  xlim
 
x
?
b  lim
?
x  
lim [ f ( x)  kx]
x  
?
1
?0
2
x
yx

1
y  x 2
x
4)
интервалы монотонности
Шаг 6.
точки минимума

3
x
2
2
y  1  3  ? 3  0
x
x
6
y   ? 4  0
x
?
y (3 2 )
точки максимума

x3  2  0
x ?3 2
критическая точка
0
точка минимума
1
y  x 2
x
4)
Шаг 7.
выпуклость
точки перегиба
6
y   4
x
0

x, x  0

1
y  x 2
x
4)
x
(,1)
f (x)


f (x)

f (x)
1
(1,0)
0
(0, 3 2 )
3
2
(3 2 ,)
    0 
     
0



min
f (3 2 )  1,89

4)
1
y  x 2
x
y
yx
0
3
2
x
y  x( x  3)
5)
3
Шаг 1.
2
область определения
R
D( f )  ?
Шаг 2.
точки разрыва

вертикальные асимптоты
f ( x)  C ( R)

y  x( x  3)
3
5)
Шаг 3.
чётность
2

f ( x)
f ( x)
периодичность
? f (x)
?  f (x)

y  x( x  3)
3
5)
Шаг 4.
Oy
Ox
2
точки пересечения с осями
 y  ?0
y  0  x( x  3) 2 0
x 0
x  ?3
(0,0)
x  ?0
(3,0)
y  x( x  3)
3
5)
2
горизонтальные асимптоты
Шаг 5.

наклонные асимптоты

lim f ( x )
x  
lim
b ?
x  
x
lim
k ?
x  
[3 x( x  3) 2  x] 
lim
?3
x  
3
x( x  3) 2

x
2
?1
x( x  3)  x 3
x ( x  3)  x x( x  3)  x
2
4
y  x2
lim [ f ( x)  kx]
x  
3
2
2

?2
y  x( x  3)
3
5)
Шаг 6.
?
y 
интервалы монотонности
точки максимума
точки минимума
( x  3)  2 x( x  3)
2
2
2 3

3[ x( x  3) ]
(,0)
y ' ( x)
2

x0

(0,1)

?
x 1
2
1
3
x ( x  3) 3
x1
0
max
(1,3)

0
x 3

min
(3,)

y  x( x  3)
3
5)
Шаг 7.
2
точки перегиба
выпуклость

2
y    5 3
4
x ( x  3) 3
?
(,0)
y (x)


x0
(0,3)

(0,0)
точка перегиба


x 3

(3,)


y  x( x  3)
3
5)
x
f (x)
f (x)
f (x)
(,0)



2
0
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,)

 0  


  


max
min

точка
перегиба

f (1)  1,59

f (3)  0
y  x( x  3)
3
5)
y
2
5
4
3
2
1
x
0
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7