"Сечения конуса"
реклама
МОЯ ЦЕЛЬ РАБОТЫ • Разобраться с понятием конуса и его компонентах. Сечения конуса • В каких учебных дисциплинах необходимы знание данной темы. ПОНЯТИЕ КОНУСА Конус-это тело, ограниченное поверхность вращения равнобедренного треугольника вокруг его симметрии. Поверхность конуса состоит из круга (основания)и боковой поверхности. Вершину конуса можно соединить с любой точкой окружности основания образующей- отрезком, лежащей на боковой поверхности. ВЫСОТА КОНУСА Высота конуса — расстояние от вершины до основания. Сечение боковой поверхности плоскостью, параллельной основанию, — окружность. Прямой круговой конус Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. Начертеже показан конус, образованный вследствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже 3 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса. Усеченный конус Усеченный конус. Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усеченного конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно) Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны СD Осевым сечением конуса • Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса. Коническое сечение Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых, а также окружность, которую можно рассматривать как частный случай эллипса. Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае, • если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс, • если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу и • если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу. Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику которая не может быть получена как сечение конуса, но всё же обычно считается «вырожденным коническим сечением»). Свойства • Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение. • История Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н. э.). Теорема • Теорема .Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса. Доказательство. Пусть — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость Р с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ • Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса КОНУС В НАШЕЙ ЖИЗНИ наука; техника; быт человека; культура; образование; ВЫВОД • при работе над этим проектом я узнала много нового о теле конус и его свойствах; • я стала чаще обращать внимание на окружающие предметы и их вид, сечения конуса(разрезы) • я обнаружила, что различные геометрические тела, в том числе и конус, используются в архитектуре, науке, технике, образование, а также встречаются в природе; • я на практике использовала знания полученные на уроках геометрии, информатике, истории; • я убедилась, что люди, жившие на Земле до нас, действительно занимались вопросом геометрических тел; ЛИТЕРАТУРА Справочник по элементарной математике М.Я.Выгодский Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян Большой справочник школьника 5-11 Большая школьная энциклопедия Геометрия А.В.Погорелова
