Производная • Производной функции y f x в точке x 0 наз. предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует ): y f x0 lim . x 0 x M L C M0 M 0 М секущая ; L касательная. y y f x M M 0 )) ) )) N x M 0 x0 ; y0 M x0 x; y0 y MN y M 0 N x y k сек tg x lim x 0 y k tg lim tg lim f x0 x 0 x 0 x • Т.(о связи дифференцируемости и непрерывности) Если функция y f x дифференцируема в точке x 0 , то она в этой точке непрерывна. Основные правила дифференцирования • Т.1 Производная постоянной равна нулю. C 0 • Т.2 Если функции u u x и v v x дифференцируемы в некоторой точке x 0 , то в этой точке дифференцируема их сумма u x v x и u v u v • Т.2 Если функции u u x и v v x дифференцируемы в некоторой точке x 0 , то в этой точке дифференцируема их произведение u x v x и uuvv u v u vv • Следствия: 1) 2) C u u v C u u v • Т.3 Если функции u u x и v v x дифференцируемы в некоторой точке x 0 и v x0 0 то в этой точке u x дифференцируемо их частное и v x u v u v u 2 v v Производная сложной функции. Рассмотрим функции y f u и u x . Тогда есть сложная функция от : y а u y f x , - промежуточный аргумент. x • Если функция u x имеет производную u x в точке x 0 , а функция в y f u имеет производную yu соответствующей точке u 0 x0 , то сложная функция y f x имеет производную y x в точке x 0 и yx yu u x Производная обратной функции • Теорема о существовании обратной функции: Если функция y g x непрерывна и монотонна на отрезке a; b и её значения при этом заполняют отрезок c; d , то 1 она имеет обратную функцию x g y , которая так же непрерывна и монотонна на отрезке c; d. • Пусть функция x f y монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке y этого интервала производную x y 0 . Тогда в соответствующей точке x обратная 1 функция y f x имеет производную и 1 y x xy Таблица производных сложной функции 1) u u u 2 1 1 u u; u; 1 1 2 u; u u u u 2) a a ln a u; u u e e u; 1 3) log a u u; u ln a 1 ln u u ; u 4) sin u cosu u; 5) cosu sin u u; 1 6) tgu u; 2 cos u 1 u ; 7) ctgu 2 sin u 1 ; u 8) arcsin u 2 1 u 1 ; u 9) arccosu 1 u2 1 u ; 10) arctgu 2 1 u 1 u . 11) arcctgu 2 1 u Дифференцирование неявных функций • Если функция y как функция от x задана уравнением F x; y 0 , то говорят, что функция y задана неявно. 6 3 y y x 0 6 3 y y x 0 6 y 5 y y 3x 2 0 2 3x y 5 6y 1 Логарифмическое дифференцирование • Пример. Найти производную функции x 1 y x 4 5 x2 6 x 2 y u x ln y v x ln u x 1 1 y v x ln u x v x u x y ux u y y v ln u v u vx Дифференцирование функций, заданных параметрически x xt y y t yt y xt y x t y xt Дифференциал функции • Если приращение в точке где y функции y f x x можно представить в виде y A x Ox , A - величина, не зависит от x ; Ox - б.м. более высокого порядка, чем x, то главная часть приращения, линейная относительно x , наз.дифференциалом этой функции. dy A x • Т.(о связи между существованием дифференциала и существованием производной): Для того, чтобы функция y f x имела дифференциал в точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную. y A x Ox y Ox A x x y Ox Ox lim A A A lim lim x 0 x x 0 x 0 x x y x A dy y x x, dx x dy y x dx dy y x dx Свойства дифференциала 1) dC 0 2) d u v du dv 3) d u v v du u dv u v du u dv 4) d , v 0 2 v v Следствия 1) d Cu C du 2) d u C du 3) d Cu a C du Правило Лопиталя • Пусть f x и x дифференцируемые в полуинтервале a; b , причем x 0 и пусть при x a 0 обе эти функции стремятся к нулю или к бесконечности. В таком случае f x f x lim lim x a 0 x x a 0 x Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях! Теорема Ферма • Пусть функция y f x определена в интервале (a;b) и принимает в точке x c этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f c , то f c 0. Теорема Ролля • Пусть функция y f x непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f a f b 0 . Тогда ее производная f x обращается в ноль хотя бы в одной точке c a;b . Теорема Лагранжа • Пусть функция y f x непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c a; b , для которой выполняется условие: f (b) f (a ) f (c) ba Применение производной к исследованию функций • Функция y f x , определенная на сегменте (интервале), называется возрастающей на этом сегменте(интервале) если из неравенства x2 x1 ( x1 , x2 этому сегменту (интервалу )) следует f x2 f x1 . x x2 x1 y y 2 y1 y 0 x • Функция y f x , определенная на сегменте (интервале), называется убывающей на этом сегменте(интервале) если из неравенства x2 x1 ( x1 , x2 этому сегменту (интервалу )) следует f x2 f x1 . x x2 x1 y y 2 y1 y 0 x Необходимо условие монотонности функции • Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y f x возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x a; b f x 0 f x 0. Достаточное условие возрастания функции • Если непрерывная на сегменте a; b функция y f x в каждой внутренней точке этого сегмента имеет положительную производную, то эта функция возрастает на сегменте a;b. Достаточное условие убывания функции • Если непрерывная на сегменте a; b функция y f x в каждой внутренней точке этого сегмента имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на сегменте a;b. Экстремум функции • Функция y f x имеет Max в точке x c , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек x c принадлежащих этой окрестности f x f c . • Функция y f x имеет Min в точке x c , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек x c принадлежащих этой окрестности f x f c . Необходимый признак существования экстремума функции • Если дифференцируемая в точке x c функция y f x имеет в этой точке Max или Min , то f c 0. Достаточный признак существования экстремума функции • Если непрерывная на интервале функция y f x имеет производную f x во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку x c (за исключением, может быть, самой этой точки) и если f x при переходе аргумента слева направо через критическую точку x c меняет знак с плюса на минус, то функция в точке имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс –минимум. Достаточный признак существования экстремума функции, основанный на знаке f x xc • Пусть в точке f c 0 , а f c существует и отлична от нуля: 1) если f c 0 , то в точке функция имеет Max; xc 2) если же f c 0 , то в точке x c функция имеет Min. Выпуклость и вогнутость графика функции • График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале Достаточный признак выпуклости и вогнутости • Пусть функция y f x имеет вторую производную f x во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f x 0 ( f x 0 ), то график функции на (a;b) выпуклый (вогнутый). • Точка графика непрерывной функции отделяющая его выпуклую часть от вогнутой называется точкой перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба • Пусть функция y f x имеет в интервале a; b непрерывную f x . Тогда, если точка с абсциссой x0 a; b является точкой перегиба графика данной функции, то f x0 0. Достаточное условие существования точки перегиба • Если вторая производная f x непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку x 0 , то точка с абсциссой x x 0 является точкой перегиба графика функции. Асимптоты графика функции • Асимптотой графика функции y f x называется прямая линия, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат. План исследования функции и построение графика 1. Область определения функции. 2. Исследование функции на непрерывность. 3. Четность, нечетность функции. 4. Периодичность. 5. Точки пересечения графика функции с осями координат. 6. Асимптоты: а) вертикальные асимптоты; в) невертикальные асимптоты. 7. Интервалы монотонности и экстремумы. 8. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. 9. Построение графика.