Продольная аберрация

Аберрации оптических
систем
Основы оптики
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Канонические зрачковые
координаты
Канонические зрачковые координаты:
Py
y 

Ay Ay
Px Px
x 

Ax Ax
Py
 где Px , Py , Px, Py  – входные и выходные реальные зрачковые координаты,
Ax , Ay , Ax , Ay  – входные и выходные апертуры.
 верхний луч:  x  0,  y  1
y
 нижний луч:  x  0,  y  1

 сагиттальный луч:  x  1,  y  0
 главный луч:  x   y  0
1
-1
главный
луч
1
-1
x
Полярные координаты:
 x   sin 
 y   cos
   x2   y2
3
Идеальное и реальное
изображения точки
В реальной оптической системе:


нарушается гомоцентричность пучка
гомоцентричность сохраняется, но лучи пересекаются в точке, которая не
совпадает с точкой идеального изображения
A'
A' 0
A
4
Поперечные аберрации
Поперечные аберрации – это отклонения координат
точки пересечения реального луча с плоскостью
изображения от координат точки идеального изображения
в направлении, перпендикулярном оптической оси:
x  x0  x
y   y0  y 
y'
A'
y  A0
 для ближнего типа: [мм]
 для дальнего типа: [рад]
x
 для всего пучка зависят
от зрачковых координат:
x '  x ' ( Px , Py )
y '  y ' ( Px , Py )
A
x
z
5
Поперечные аберрации для
удаленного изображения
Для изображения дальнего типа поперечная аберрация –
это угловое отклонение между реальным и идеальным
лучом
y
A'
 y
A0 '
z'
O'
6
Волновая аберрация
Волновая аберрация – это отклонение реального
волнового фронта от идеального измеренное вдоль луча
в количестве длин волн:
l 'n'
W
n

A'
l '
A0
O'
R0
выходной
зрачок
волновой
фронт
референтная
сфера
A
Референтная сфера – это волновой фронт идеального пучка с центром в точке
идеального изображения A, проходящий через центр выходного зрачка O
7
Волновая аберрация
Волновая аберрация для всего пучка:
W  W (x ,  y )
Поперечная и волновая аберрации связаны между собой:
 W

Ax  x
 W
y '  

Ay  y
x '  
8
Продольные аберрации
Продольные аберрации – это отклонения координаты
точки пересечения реального луча с осью от координаты
точки идеального изображения вдоль оси:
S '  S ' S0 ' , [мм]

где S ' – положение точки пересечения луча с осью, S 0 ' – положение
идеальной точки пересечения
y'
y '
O'
O
S '
S0 '
S'
O '' z '
9
Продольные аберрации для
изображения дальнего типа
Продольные аберрации для изображения дальнего типа:
S  
1 1
 , [кдптр]
z0 z
O'
z 0
z
Продольные аберрации связаны с поперечными и
волновыми:
S ' 


1 W


2
A0  
где A0 – задняя апертура осевого пучка
O ''
10
Разложение волновой аберрации
в ряд
Разложение волновой аберрации в ряд по степеням
канонических зрачковых координат:

 
  W 
 W      W       ...
 W      
W  x ,  y   W00  W20     W40   
2
x
 W11 y
 W22  y2
31
42
2
x
2
x
2
y
2
y
y
2
y
51
2
x
2
x
2 2
y
2
y
В полярных координатах:
W  ,   W00  W20  2  W40  4  W60  6  ...
 W11 cos  W31 3 cos  W51 5 cos  ...
 W22  2 cos2   W42  4 cos2   
y
2 2
y
60
2
x

  ...
2 3
y
11
Коэффициенты разложения
волновой аберрации в ряд
W00 – постоянная составляющая
W20  2 – продольная дефокусировка
W40  4  W60  6 – сферическая аберрация 3 и 5 порядка
W11  cos  – дисторсия
W31  3 cos   W51  5 cos  – кома 3 и 5 порядка
W22 2 cos2   W42 4 cos2  – астигматизм 3 и 5 порядка
12
Связь поперечной и продольной
аберраций с волновой
Поперечная аберрация:
y  


 W 


4W40  3  6W60  5  
A  A
Продольная аберрация:
s 

A
2



1 W


 2 4W40  2  
  A
13
Радиально симметричные
аберрации
Радиально симметричные аберрации анализируются при
рассмотрении осевой точки предмета:



расфокусировка
сферическая аберрация
W  x ,  y   W    W00  W20  2  W40  4  W60  6  
для описания используется радиальная зрачковая координата
   x2   y2
14
Дефокусировка
W    W20  2


не приводит к нарушению гомоцентричности пучка
все лучи пересекаются в одной точке, но не в точке идеального изображения
S '  const
плоскость
идеального
изображения
плоскость
изображения
15
Графики аберраций для
расфокусировки
Продольная аберрация постоянна для всех лучей пучка:
S  
2W20
 const
2
A
2
2
y '
1
1
y
-1
W
волновая аберрация
0
S '
продольная аберрация
поперечная аберрация
1
16
Сферическая аберрация
W  W40  4 – сферическая аберрация 3 порядка
W  W60  6 – сферическая аберрация 5 порядка


лучи, выходящие из осевой точки предмета, не пересекаются в одной
точке, образуя на плоскости идеального изображения кружок рассеяния
обладают все линзы со сферическими поверхностями
17
Графики аберраций для
сферической аберрации
y  

 4W40  3 – продольная аберрация
A

S   2  4W40  2 – поперечная аберрация
A
Графики аберраций для сферической аберрации 3 порядка:
1
2
2
y '
1
y
-1
W
волновая аберрация
0
S '
продольная аберрация
поперечная аберрация
1
18
Коррекция сферической аберрации
Взаимокомпенсация сферической аберрации 3 и 5 порядков:
 V
S III

S III
1
2
SV
S '
Коррекция сферической аберрации:
2
2


1
1
S '
недоисправленная
сферическая аберрация
S '
переисправленная
сферическая аберрация
19
Кома
W  ,   W31  3 cos   W51  5 cos  – кома 3 и 5 порядков


появляется при смещениях точки предмета с оси
пропорциональна смещению предмета с оси:
y ' k ~   y
где  – коэффициент пропорциональности
верхний луч
главный луч
y
A
A'
A0 '
y' k
y'
20
Поперечные аберрации
при коме 3 порядка
Разложение волновой аберрации при коме:



W  x ,  y   W31  x2   y2  y  W31  x2  y   3y
Поперечные аберрации при коме :
 W 

  W312  x  y 
A x A
 W 
y  
  W31 x2  3 y2 
A y A
x 

21
Поперечные аберрации
при коме 3 порядка
Поперечные аберрации в
сагиттальном сечении
y  0
Поперечные аберрации в
меридиональном сечении
x  0
x  0



2


y


W

3

31
y

A
x  0



2


y


W


31
x

A
y '
y '
y
-1
0
1
меридиональное сечение
x
-1
0
сагиттальное сечение
1
22
Точечная диаграмма при коме
60
1

y'
y
x
y'k
1
x'
плоскость зрачка
плоскость изображения
23
Кома и неизопланатизм
Изопланатизм – в окрестности оси оптической системы
нет комы, но есть сферическая аберрация
Апланатизм – нет ни комы, ни сферической аберрации
(изображение разных точек предмета идеальное)
Закон синусов Аббе (условие апланатизма):
sin 
 const  V
sin  
Условие изопланатизма:
sin 
 const  V
sin  0

 0
'
плоскость
Гаусса
24
Кома и неизопланатизм
Относительное отступление от изопланатизма:
 sin 

 1  100%
 sin  0  V

 %   
Поперечная аберрация:
y 
3  y
100%
25
Астигматизм и кривизна
изображения



появляется при значительном смещении точки предмета с оси
фокуса в меридиональной Fm и сагиттальной Fs плоскостях не совпадают
наилучшее изображение получается на искривленной поверхности
(кривизна изображения)
y
z m
z s
Fm
Fs
z
Fm
Fs
поверхность наилучшего изображения
26
Астигматизм и кривизна
изображения
Астигматизм 3 и 5 порядков:
W  ,   W22 2 cos2   W42 4 cos2 


W  x ,  y   W22  y2  W42  x2   y2  y2
y
z m
z s
Fm
Fs
z
Fm
Fs
поверхность наилучшего изображения
27
Продольные астигматические
отрезки
Продольные астигматические отрезки:


меридиональный астигматический отрезок z m – это расстояние от
плоскости параксиального изображения до меридионального фокуса Fm
сагиттальный астигматический отрезок z s– это расстояние от плоскости
параксиального изображения до сагиттального фокуса Fs
z s
z m
Fm
Fs
z
Fm
Fs
поверхность наилучшего изображения
28
Астигматизм и кривизна
изображения
Средняя кривизна указывает положение наилучшего
изображения:
 кр
z m  z s

2
Мера астигматизма:
 аст  z m  z s
Относительная предметная координата:

y
ymax
29
Графики аберраций

 аст
2
1
1
m
m
s
s
z ' s , z 'm
z ' s , z 'm
продольные аберрации
(зависимость от предметной координаты)
продольные аберрации
(зависимость от квадрата предметной координаты)
x 
y '
x
y
-1
0
поперечные аберрации в
меридиональном сечении
1
-1
0
поперечные аберрации в
сагиттальном сечении
1
30
Графики аберраций и пятно
рассеяния
Продольные аберрации при астигматизме 5 порядка:
2
1
s
m
z ' s , z 'm
Пятна рассеяния астигматического пучка:
m
s
31
Дисторсия
W  ,   W11  cos 
W  x ,  y   W11 y

точка изображается в виде точки, но эта точка смещена от идеальной
A'
A0 '
y'
y '0
y
A
32
Относительная и абсолютная
дисторсия
Величина изображения отличается от идеального:
y   y   y0
Абсолютная дисторсия:
y   y   V  y

где
V – увеличение системы для данной точки поля
Относительная дисторсия:
y 
 y

% 
100%  
 1 100%
y0
V  y 
33
Дисторсия 3 порядка
Абсолютная дисторсия 3 порядка:
 W11  cos  2

y   

    W11 2
Ay
 y
Ay
График относительной дисторсии 3 и высшего порядков:
1
 % III
2
%V VII
%
34
Изображение предмета
при дисторсии
y'
y
x'
x
отрицательная
дисторсия
положительная
дисторсия
a
предмет
V a
изображение
35
Пример из тестов
Как называется тип аберрации, который исправляется продольным
смещением плоскости изображения?
Как называется тип аберрации, при котором нарушается симметрия
широкого пучка лучей в меридиональном сечении?
Как называется тип аберрации, при которой линейное увеличение
различно для разных точек поля?
При каких из перечисленных типах аберраций гомоцентричность
пучка лучей не нарушается?





продольная дефокусировка
сферическая аберрация
дисторсия
кома
астигматизм
36
Пример из тестов
Как будет выглядеть пятно рассеяния, если
астигматические отрезки zm  0.214 мм , zs  0.326 мм ,
дефокусировка S   0.270 мм , а остальные аберрации
отсутствуют?
zm  zs  0.214  0.326
0.540
 кр 


 0.270 мм  S 
2
2
2
37
Хроматические аберрации
Хроматические аберрации – это проявление
зависимости характеристик оптической системы от длины
волны света


приводят к тому, что в изображениях неокрашенных предметов
появляется окрашенность
появляются из-за того, что оптические системы изготовлены из
оптических стекол с показателями преломления, зависящими от длины
волны n  n 
Существуют два основных вида хроматизма:


хроматизм положения
хроматизм увеличения
38
Хроматизм положения
Хроматизм положения – это аберрация, при которой
изображения одной точки предмета расположены на
разном расстоянии от оптической системы для разных
длин волн (разные положения плоскости изображения)
F ' F ' F 'e F 'c '
1
0 2
39
Хроматизм положения
График зависимости положения изображения от длины
волны:
S
1
0
2

Численно хроматизм положения определяется разностью
положений плоскости изображения для крайних длин
волн:
S1  2  S1  S 2
40
Коррекция хроматизма
Хроматизм возникает в оптической системе, если все
линзы сделаны из одного сорта стекла (оптическая
система неахроматизована)
Задача ахроматизации сводится к тому, чтобы
оптическая сила системы линз не зависела от длины
волны
Коррекция хроматизма возможна двумя способами:


использование зеркальных систем
использование в линзовых системах нескольких
сортов стекла с
e
различными коэффициентами дисперсии
41
Вывод
уравнения ахроматизации
Оптическая сила системы из двух тонких линз:
  1   2
Оптическая сила каждой линзы:
  n  1  1   2 
При 1  2    оптическая сила линзы меняется на величину:
  n1  n2  1  2 
Число Аббе для любого интервала длин волн:
n 0  1

n1  n2
Получаем:

  n1  n2
 n1  n2
  0
 1   2   
 n0  1  1   2  
 n0  1
 



42
Вывод
уравнения ахроматизации
Если линзы изготовлены из разных сортов стекла, то
условие ахроматизации:
   0  1   2

  1   2  0

1  2

 где 
– оптическая сила системы для основной длины волны,
0
1 , 2 – оптические силы первой и второй линз для основной длины
волны,  1 , 2 – коэффициенты дисперсии стекла первой и второй линз
Уравнения ахроматизации для двух сортов стекла:
1



 1     
1
2

2
 2  


1   2
43
Принципы ахроматизации
оптических систем
Коэффициенты дисперсии первой и второй линзы:
1  2
Например:

первая линза –  1  60 (крон)
вторая линза –  2  30 (флинт)

оптическая сила линз:

1 
60
   2
30
  2   
2  
30
   
30
флинт
(2Ф)
крон
(–Ф)
44
Вторичный спектр
График хроматизма положения для системы из двух линз:
––– хроматизм положения
1-й и 2-й линзы
––– хроматизм положения
системы из двух линз
S  
1
0
2

S1  2  0
Вторичный хроматизм или вторичный спектр:
S 



S1  S 2
2
 S 0
гораздо меньше первичного хроматизма положения
для исправления требуется не меньше трех сортов стекла (апохроматы)
суперапохромат – при коррекции хроматизма используется больше трех
сортов стекол
45
Графики
продольного хроматизма
Продольный хроматизм первого порядка:
2
1
0
2
1
2
S '
неахроматизированная система
2
0
S '
ахроматизированная система
46
Графики
продольного хроматизма
Присутствуют аберрации третьего порядка:
2
2
1
0
0
1
2
2
S '
S '
Присутствуютаберрации
третьего и пятого2 порядков:
2

1
0
1
2
S '
неахроматизированная система
2 
0
S '
ахроматизированная система
47
Графики
продольного хроматизма
Сферохроматизм в присутствии аберраций 3 и 5
порядков:
2
2
0
1
0
1
2
S '
сферохроматизм 3 порядка
2
S '
сферохроматизм 3 и 5 порядка
48
Хроматизм увеличения
Хроматизм увеличения – это аберрация, при которой
увеличение оптической системы зависит от длины волны


вместо изображения точки образуется цветная полоска
может исправляться независимо от хроматизма положения
y 2
y 0
y  1
Ахромат по хроматизму увеличения – исправлен первичный хроматизм
увеличения
 Апохромат по хроматизму увеличения – исправлен вторичный хроматизм
увеличения
 Неахромат по хроматизму увеличения – хроматизм увеличения не исправлен

49
Абсолютный хроматизм
увеличения
Первичный спектр – разность величины изображения
для крайних длин волн:
y хр  y  1  y  2
Вторичный спектр (вторичный хроматизм увеличения) –
разность величины изображения для центральной и
крайних длин волн:
y хр2 

y  1  y  2
2
 y  0
измеряется в тех же единицах, что и величина изображения
50
Относительный хроматизм
увеличения
Первичный спектр:
 хр % 
y  1  y  2
y  0
 100%
Вторичный спектр:
 y  1  y  2


 хр2 %  
 1  100%
 2 y 

0


Относительный хроматизм увеличения можно выразить
через увеличения для различных длин волн в виде:
 хр (%) 

где
V1  V2
V1 
V0
y  1
y
,
 100 %
V2 
y  2
y
,
V0 
y  0
y
51
Хроматизм положения и
увеличения тонкой линзы
Если оптическая система тонкая, а апертурная
диафрагма совпадает с ней, то хроматизм положения
присутствует, а хроматизма увеличения нет
главный луч
y ' 0  y ' 1  y ' 
2
1
0 2
52
Пример из тестов
Графики каких из перечисленных аберраций строятся от
канонической зрачковой координаты?
Какие из перечисленных аберраций являются аберрациями
узкого пучка лучей?







волновая аберрация
поперечная аберрация
продольная аберрация
хроматизм положения
астигматизм
относительная дисторсия
хроматизм увеличения
53
Пример из тестов
Определите величину относительного вторичного
хроматизма увеличения, если увеличение для зеленой длины
волны 0.5, для красной 0.55, для синей 0.6.
 y1 ( син.)  y 2 ( кр.) 
 0.60  0.55 
 1.15 
 1  100%  
 1  100%  15%
 хр2 %  
 1  100%  


2 y 0 ( зел.)
 2  0.50

 1



Какие оптические системы называют ахроматизированными?





в которых исправлен хроматизм положения
в которых исправлен вторичный спектр
в которых используется одна длина волны
в которых используется несколько марок стекла
в которых используется одна марка стекла
54
Пример из тестов
Укажите величину дефокусировки,
если график продольной аберрации
оптической системы выглядит, как
показано на рисунке. Ответ дать в
мм, с учетом знака.
Укажите величину вторичного спектра, если график
продольной аберрации оптической системы выглядит, как
показано на рисунке. Ответ дать в мм, с учетом знака.
S1 ( син.)  S2 ( кр.)
0.25  0
S 
 S0 ( зел.) 
  0.5  0.625
2
2
55
Пример из тестов
К какому типу относится оптическая система, если график
продольной аберрации выглядит, как показано на
рисунке?
ахромат
 апохромат
 неахромат
 тип системы нельзя установить
 коррекция хроматизма данной системы идеальна
