х+2

в
д
о
л
ь
о
с
и
у
Построение графиков квадратичных
функций с помощью движения вдоль осей
координат
у=х2+а
↑на а
у=х2
↓на а
у=х2–а
где а > 0
у=(х+b)2
←
на b
у=х2
→
на b
в д о л ь оси х
где b > 0
у=(х-b)2
Укажите номер рисунка,
соответствующий графику функции:
у  х  2,5
2
1.
Не верно
2.
Молодец!
3.
Подумай!
Укажите номер рисунка,
соответствующий графику функции:
у   х  2,5
2
1.
Не верно
2.
Подумай!
3.
Молодец!
Тест
у
у
у
●
Е
0
Н
х
●
●
● -4
●
у
-3
●
х
0
1
0
О
х
у
у
В
●
0
х
2
● ●
Р
0
●
-3
2
● ●
0
х
х
!
Определите, какая графическая модель соответствует каждой из данных функций.
Буквы, обозначающие графики, запишите под соответствующими формулами.
у=х2
у =х2-4
у=(х-2)2 у=(х+3)2
у=х2+1
у=( х-2)2-3
Повторим?
•
Назовите координаты вершин парабол, ось симметрии.
Решить квадратное уравнение методом
выделения полного квадрата.
х²+4х-12=0;
х²+4х=12;
х²+4х+4=12+4;
(х+2)²=16;
х+2=4 или х+2=-4;
х=2
х=-6
( х  2) 2  16
х2 4
Ответ: -6; 2.
Построить график у=-3х2 -6х+1
Выделим полный квадрат:
 3х 2  6 х  1  3( х 2  2 х)  1  3( х 2  2 х  1  1)  1 
 3(( х  1)  1)  1  3( х  1)  3  1  3( х  1)  4
2
2
у  3(х  1)  4
2
Строим график у=-3х2
Сдвигаем его на 1 ед влево
Сдвигаем его на 4 ед вверх
2
Строим график у=-3х2
х - 2 -1
у -12 -3
0
0
1
-3
у
3
2
-12
4
х
Сдвигаем на 1 ед влево
и на 4 ед вверх
-6
(-1;4)-координаты
вершины
у  3(х  1)2  4
График любой
квадратичной функции у=ах2
+вх+с можно получить из
параболы у=ах2 путем
параллельного переноса
-3 -2 -1
-1
-2
-4
-5
-8
0 1 2 3
Применим метод выделения полного
квадрата для функции у=ах2 +вх+с
1. Выносим «а» за скобку
2. Теперь выделим
удвоенное
произведение и второе
число
2
2
в
в
в
 а( х 2  2 х  2  2 )  с 
2а
4а
4а
3. Теперь выделим полный квадрат
в 2
в2
в 2 в2
 а(( х 
) 
)  с  а( х 
) 
с
2
2а
4а
2а
4а
4. Приведем к общему знаменателю
в 2 в2
в 2 в 2  4ас
 а( х 
) 
 с  а( х 
) 
2а
4а
2а
4а
в 2 в  4ас
у  а( х  ) 
2а
4а
2
Получили функцию вида у=а(х+х0)2+у0
Тогда координаты вершины параболы (-х0;у0):
в
х0  
2а
2
в  4ас
D
у0  

4а
4a
Графиком квадратичной функции
у=ах2 +вх+с
является парабола, ветви которой направлены
вверх(если а>0)
Например: или вниз (если а<0).
у
• у=2х²+4х-1 – графиком является
парабола, ветви которой направлены
х
вверх (т.к. а=2, а>0).
0
у
0
• у= -7х²-х+3 – графиком является
парабола, ветви которой направлены
х
вниз (т.к. а=-7, а<0).
Нужно
Сколько
Что нужно
5 точек,
нужно
знать,
чтобы
точек,
чтобы
построить
чтобы
построить
построить
график
график
2 +вх+с
2 +вх+с
квадратичной
график
квадратичной
квадратичной
функции
функции
у=ах
функции
у=ах
у=ах2 +вх+с
у
3
1. Направление ветвей: а>0 – ветви
вверх, a<0 – ветви вниз
2. Координаты вершины параболы
(х0 ;у0)
в
4
х0  
2а
D
у0  
4а
-6
х
-3 -2 -1
3. Пересечение с осями:
-1
-2
0 1 2 3
С осью х (нули функции): у=0
С осью у: х=0
-4
4. Строим полученные точки
-5
5. Строим ось симметрии, проходящую через вершину
и параллельную оси у - находим симметричные точки
6. Находим дополнительные точки и строим
симметричные им
-8
Построить график функции у=-х2+3х+4
1. a=-1<0 – ветви вниз
2. Координаты вершины параболы (х0 ;у0)
х0  
y
в
3
3

  1,5
2а
2  ( 1) 2
4
D
32  4  ( 1)  4
25
1
у0  


6
4а
4  ( 1)
4
4
3
2
3. Пересечение с осями:
С осью х (нули функции): у=0;
(4;0); (-1;0)
С осью у: х=0; (0;4)
4. Строим полученные точки
1
-3 -2 -1
0
-1
-2
-3
-4
5. Строим ось симметрии, проходящую через -5
вершину и параллельную оси у - находим
-6
симметричные точки
1 2
3 4 5 6
y=
y
2. Координаты вершины:
х0 = -b/2a = -(-4)/2 = 2;
у0 = y(2) = 22- 4∙2 – 2 = -6
3
2
3. Пересечение с осями:
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2
– 4x – 2
1. а=1>0 – ветви вверх
4
-3 -2 -1
2
x
3 4 5 6 x
С осью х (нули функции): у=0
x2 – 4x – 2=0;
D  b 2  4ac  (4)2  4 1 (2)  24
D  24
Не удобны для построения
С осью у: х=0; (0;-2)
4. Строим дополнительные точки
5. Строим ось симметрии, проходящую
через вершину и параллельную оси у находим симметричные точки
х
1
у
-5