Презентация по материалам рабочей тетради «Задача С2» авторов В.А. Смирнова под редакцией И.В. Ященко, А.Л. Семенова Геометрические задачи «С2» Тренировочная работа №4 Угол между прямыми Повторение: Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. b a 180 0 Пусть – тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен Повторение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. b a n m M a b Через произвольную точку М проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен Повторение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. b a m M a b Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. Повторение: При нахождении угла между прямыми используют 1) Формулу cos b2 c2 a2 2bc (теорема косинусов) для нахождения угла между прямыми m и n, если стороны a и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым; 2) Или в координатной форме: cos х1 х 2 у 1 у 2 z 1 z 2 x12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22 3) Ключевые задачи; №1 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. 1 D1 1 I решение С1 2 А1 1) Прямая AD1 параллельна прямой ВС1, В1 Угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен углу В1AD1. 2 1 2 D А 2) Треугольник В1AD1 – равносторонний, В1AD1 = 600. 1 С В 0 60 Ответ: №1 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. II решение 1 D1 С1 1) Введем систему координат, 1 А1 В1 считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АД, АА1. А(0;0;0) 1 D А С 1 В cosα АВ 1 (1;0;1) В 1 (1;0;1) В(1;0;0) ВС1 (0;1;1) С1 (1;1;1) х1х 2 у 1у 2 z 1 z 2 x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22 cos = 1/2, (АВ1;AD1) = 600. 0 60 Ответ: В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми А1Д и Д1Е, где Е – середина ребра СС1. №2 I решение D1 С1 1) Прямая A М параллельна 1 прямой ВС1 А1 Угол между прямыми А1D и Д1Е равен углу МA1D. В1 Е 2) из ∆МA1D по теореме косинусов: D А М В С cosα b2 c2 a2 2bc 1 Ответ: α arccos 10 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми А1Д и Д1Е, где Е – середина ребра СС1. №2 II решение D1 А1 С1 1) Введем систему координат, В1 считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АД, АА1. Е D С А 1 (0;0;1) А 1 Д(0;1;-1) В(0;1;0) Д 1 (0;1;1) Д 1Е(1;0;-0,5) Е(1;1;0,5) cosα А В х1х 2 у 1у 2 z 1 z 2 x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22 Ответ: α arccos 1 10 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ,все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и A1C . 1 В1 1) Прямая A В параллельна №3 А1 прямой АВ, 2 1 Угол между прямыми АВ и А1С равен углу СA1В1. С1 1 1 2) из ∆ СA1В1 по теореме косинусов: 2 В А cosα b2 c2 a2 2bc 1 С Ответ: 2 4 №4 В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ. S Подсказка: 1 Р Р 1 К Д D М С К О А 3 2 2 2 1 1 1 2 М В Ответ: 2 №5 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 Е1 D1 О1 F1 1 А1 В1 2 1 2 Е D О F А 1 1) Построим плоскость АА1D1D параллельную плоскости ВВ1С1С. Тогда С1 прямая AO1 параллельна прямой BC1, и искомый угол φ между прямыми AB1 и BC1 равен B1AO1. С В 1 Ответ: 0,75 №5 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 II решение 1 Е1 D1 F1 А1 1 В1 Е F А 1 В 1) Введем систему координат, считая С1 началом координат точку A (0; 0; 0), тогда В 1 (1;0;1) АВ 1 (1;0;1) А(0;0;0) 3 3 С1 (1,5; ;1) ВС (0,5; ;1) 1 2 D 2 В(1;0;0) С х1х 2 у 1у 2 z 1 z 2 cosα 1 x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22 Ответ: 0,75 Домашнее задание В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите косинус угла между прямыми АВ и СА1. Ответы : 3 3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ,все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1 . 1 Ответы : 4 В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BД1 . Ответы : 2 4