Центр масс

ДИНАМИКА
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 1:
ЦЕНТР МАСС
1. ЦЕНТР МАСС: система
материальных точек
Рассматриваем систему материальных точек
m1  x1, y1, z1  ,
m2  x2 , y2 , z2  ,
mn  xn , yn , zn 
Центр масс системы есть геометрическая точка с координатами
1 n
r
mk rk

M k 1
1 n
x
mk xk ,

M k 1
n
m
k 1
M
k
n
M   mk
k 1
1
y
M
n
m
k 1
k
yk ,
1
z 
M
xk 1-й момент масс по отношению к
плоскости y  z
масса системы
n
m k
k 1
k
k
центр масс
y
rk
O
mk
x
2. ЦЕНТР МАСС- ИНВАРИАНТ
rk  b  Ark
смещение
центр масс
y
матрица поворота
y
Нужно показать
rk
r  b  Ar
r 
x
b
1

M
1
M
mk
n
x
n
 m  b  Ar  
k 1
1
mk b 

M
k 1
k
n
 m Ar
k 1
O
k
k
k

n
1
1  n

b  mk 
A   mk rk  
M k 1
M  k 1

M
 b  Ar
Mr
1
r
M
n
m r
k 1
k k
3. ЦЕНТР МАСС: сплошное тело
xC 
 x dV
  dV
,
yC 
 y  dV
  dV
,
zC 
Для однородного тела   Const
xC 
1
V
 xdV , yC 
1
V
 ydV , zC 
1
V
 z  dV
M
V 0 V
плотность   lim
  dV
V
 zdV
Центр массы объема
Для однородного криволинейного стержня    Const
1
1
1
xC   xdl , yC   ydl , zC   zdl
L ( L)
L ( L)
L ( L)
l
Центр тяжести линии
погонная плотность    lim
l 0
M
l
4. ЗАЧЕМ ОН НУЖЕН:
статика
N2
?
T
Равнодействующая сил тяжести
проходит через центр масс
N1
Центр масс = Центр тяжести
5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Силы, действующие на элементарные объемы параллельны.
Система параллельных сил сводится к равнодействующей
F  g   dV  Mg
 gdV
Линия действия равнодействующей находится по теореме Вариньена
M O  F    M O   gdV 
 
Теорема Вариньона. Если система сил
имеет равнодействующую, то момент
равнодействующей равен сумме моментов
всех сил системы
M 0 y F  Fx zC  Fz xC   MgxC
 M   gdV      xgdV
xC
Oy
M 0 y  M 0x
yC
x dV


  dV
y  dV


  dV
Линия
действия
проходит
через
центр
масс
6. ЗАЧЕМ ОН НУЖЕН:
динамика
Уравнения динамики системы n материальных точек
m1r1  F1  F12  F13 
+
 F1n
m2r2  F2  F21  F23 
 F2n
mnrn  Fn  Fn1  Fn 2 
 Fnn 1
…
Fi
внешняя сила, действующая
на i- ую точку
Fij внутренняя сила, действующая
на i- ую точку со стороны j –ой
3-й закон Ньютона
d2 

m
r
k k    Fk
2 
dt  k
k

Mr
Центр масс материальной системы движется как материальная точка, в
которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все
внешние силы, действующие на систему
7. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ
ЦЕНТРА МАСС. СИММЕТРИЯ
Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то
его центр масс лежит соответственно или в плоскости симметрии,
или на оси симметрии, или в центре симметрии.
z
плоскость
симметрии
V j
Vk
zj
zk
Vk
zk
xj
x
zj
y
V j
V j  Vk , x j  xk , y j  yk , z j   zk ,
n
1
zC  lim  zk Vk  0
V n0 k 1
yj
x
ось
симметрии
z
yk
y
xk
V j  Vk , x j   xk , y j   yk , z j  zk ,
xC  yC  0
СЛЕДСТВИЕ: Центр тяжести однородного круглого кольца, круглой или
прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара и
других, имеющих центр симметрии, лежит в их центре симметрии.
8. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ
ЦЕНТРА МАСС. РАЗБИЕНИЕ
Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой
из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра
тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам
x V  x2V2 
xC  1 1
V
y1V1  y2V2 
V
z V  z2V2 
zC  1 1
V
yC 
y
 xnVn
b
 ynVn
 znVn
d
x
d
d
b
, y1 
2
2
ad
d
S 2   a  d  d , x2  d 
, y2 
2
2
S1  bd , x1 
a  bd  d
2a  b  d 
b 2  ad  d 2
yC 
2a  b  d 
xC 
2
2
a
9. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ
ЦЕНТРА МАСС. ВЫЧИТАНИЕ
То же самое, что разбиение, но массы выкинутых частей нужно брать
отрицательными
S1   R 2 , x1  0, y1  0
S2    R 2  , x2  R 2 , y2  0
2
x
x
x1S1  x2 S2
S1  S2
0   R 2   R 2    R 2 4 
 R2   R2 4
2
1

R
6
10. ТЕОРЕМЫ ПАППА-ГЮЛЬДЕНА
1) Если плоская фигура вращается вокруг оси, проходящей в ее плоскости
и не пересекающей фигуру, то заметенный объем равен произведению
площади фигуры на путь, пройденный ее центром масс.
2) Если плоская кривая вращается вокруг оси, проходящей в ее плоскости и
не пересекающей кривую, то заметенная площадь равна произведению
длины кривой на путь, пройденный ее центром масс.
z
z
dV  x dS
x
dS
V   x dS 
S
y

x
dS  x dL
S   x dL 
dL x
   xdS 
L

  xS  lS
x
y    xdL 
  xL  lL
11. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМ
ПАППА-ГЮЛЬДЕНА
x
x
2 x   R  4 R 2
x
2

ab  2
 a b
2
3
a
x
3
2 x 
b
a
R
4
2 x   R / 2   R 3
3
4
x
R
3
2
12. ЦЕНТР МАСС ТРЕУГОЛЬНИКА
B
Центр масс – в точке
пересечения медиан
DM 
D
C
A
M
1
BM
3
13. ЦЕНТР МАСС ПРОСТЕЙШИХ
ФИГУР
Пирамида и конус
Центр масс находится на прямой,
соединяющей вершину с центром
масс площади основания на
расстоянии ¼ длины считая от
основания
Шаровой сегмент
x
x
Шаровой сектор
h
h
R
R
O
h
xc  R 
2
O
xc 
3
h
R



4
2