Исследование теоремы Пифагора

Выполнила ученица 8 «А» класса
МОУСОШ №7:
Соловьёва Дарья
Содержание...................................................................
Цели и задачи................................................................
Пифагор.........................................................................
Китай .............................................................................
Индия ............................................................................
Греция ...........................................................................
Египет ...........................................................................
Вавилон .........................................................................
Заключение ...................................................................
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Исследование частных случаев теоремы
Пифагора.
1) С помощью дополнительной литературы и
Интернет сети познакомится с открытиями и
жизнью Пифагора и его последователей;
2) Изучить первоисточники доказательства
теоремы Пифагора.
3) Познакомиться с практическими
применениями теоремы Пифагора в древности.
Пифагор
Имя Пифагора связано с одним из
самых выдающихся открытий в
«Евклидовой геометрии» – теоремой
Пифагора. Тем не менее, к настоящему
времени установлено, что данная
теорема не была открыта им в чистом
виде. Её частные случаи были ещё
известны ещё до него в Китае,
Вавилонии, Египте. Одни полагают, что
Пифагор первым дал полноценное
доказательство этой теоремы, другие
же отказывают ему в этой заслуге.
Давайте рассмотрим другие
первоисточники.
Китай
Согласно китайскому «Трактату об измерительном шесте»
(II в. до н. э.), теорема Пифагора для частного случая –
треугольника со сторонами 3, 4, 5 – была известна в Китае
еще в XII в. до н. э., а в общем случае – в VI в. до н. э. В
комментариях к этой книге указывается, что
доказательство теоремы основывалось на следующем
чертеже:
На этом чертеже видно, что большой квадрат (a + b)2
больше, чем квадрат гипотенузы c2, на четыре
прямоугольных треугольника c катетами a и b, т. е. на 2ab:
(a + b)2 = c2 + 2ab. Значит, квадрат гипотенузы равен
большому квадрату, уменьшенному на два прямоугольника
со сторонами a и b, то есть закрашенной фигуре. А эта
фигура, в свою очередь, равна сумме квадратов со
сторонами a и b.
На том же чертеже можно увидеть и другое
доказательство. Квадрат гипотенузы больше, чем
маленький квадрат в центре (a – b)2, на те же четыре
треугольника, или на два прямоугольника:
c2 = (a – b)2 + 2ab. Это нас снова приводит к той же
закрашенной фигуре, равной сумме квадратов катетов.
Индия
В Индии теорема Пифагора была известна уже в VII–V
вв. до н. э., о чем свидетельствует относящийся к этому
периоду комментарий к священным книгам – «Ведам», –
озаглавленный «Шулва-сутра» (дословно «Правила
веревки») и служивший руководством по строительству
алтарей и храмов. Теорема Пифагора использовалась для
построения прямых углов (как в Египте) и квадратов с
площадью, кратной данному квадрату. Для построения
квадрата, равновеликого двум данным квадратам, в
большом квадрате строили меньший квадрат и соединяли
их вершины, находя гипотенузу треугольника, катетами
которого служили стороны исходных квадратов.
Доказательство теоремы Пифагора приводится в книге
«Венец астрономического учения» индийского
математика XII в. Бхаскары. Собственно, все
доказательство состоит из чертежа, похожего на
вышеприведенный китайский. В качестве пояснения
фигурирует лишь слово «Смотри!». В Индии, в отличие
от Греции, главным в математическом доказательстве
была наглядная убедительность, а не логическая
строгость.
Тот же Бхаскара приводит и ряд задач на применение
теоремы Пифагора, похожих на задачи «Математики в
девяти книгах». Среди них и задача о водоеме – в
индийском варианте.
Греция
Вполне вероятно, что в Греции теорему Пифагора впервые доказал сам Пифагор или кто-то из
пифагорейцев. Но достоверно, как впервые была доказана теорема, неизвестно. Рассмотрим
доказательство, приведенное в «Началах» Евклида. Российские школьники прошлых времен, изучавшие
геометрию по Евклиду, в шутку называли это доказательство «пифагоровы штаны».
Идея доказательства следующая. Квадрат на левом катете – ABFH – равновелик удвоенному
треугольнику FBC, потому что у них общее основание FB и общая высота AB = FH. Треугольник FBC
равен треугольнику ABD по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC равно BD, FBC = FBA +
ABC = 90° + ABC = CBD + ABC = ABD (фактически, треугольник FBC при повороте вокруг вершины B
на 90° перейдет в треугольник ABD). Треугольник ABD равновелик половине прямоугольника BMLD,
потому что у них общее основание BD и общая высота BM = LD. Таким образом, квадрат ABFH
равновелик прямоугольнику BMLD. Точно так же доказывается, что квадрат на правом катете – CAGK –
равновелик прямоугольнику LMCE. Следовательно, оба квадрата на катетах, вместе взятые,
равновелики квадрату BCED на гипотенузе.
Египет
Древнегреческие авторы писали о существовании
в Египте особого метода для построения прямого
угла на местности: этому служила кольцевая
веревка, на которой были отмечены 12 узелков на
равных расстояниях. Если натянуть данную
веревку, образовав треугольник со сторонами,
пропорциональными 3, 4 и 5, то этот треугольник
будет прямоугольным: в самом деле, его стороны
удовлетворяют теореме Пифагора (32 + 42 = 52).
Прямоугольные треугольники с целочисленными
сторонами до сих пор иногда называются
египетскими треугольниками. В то же время из
сохранившихся древнеегипетских папирусов
математического содержания невозможно извлечь
никаких свидетельств о знакомстве с теоремой
Пифагора, даже в ее частном случае. Вполне
возможно, что египтяне знали только об одном
целочисленном прямоугольном треугольнике, и
знали о нем не раньше середины I тысячелетия до
н. э. – времени, к которому относятся первые
греческие сведения о египетском методе
построения прямого угла.
Вавилон
В отличие от египтян, древние вавилоняне
еще в середине II тысячелетия до н. э.
хорошо знали, что сумма квадратов
катетов равна квадрату гипотенузы.
Сохранилась таблица, из которой ясно, что
вавилонянам были известны многие
«пифагоровы тройки» целых чисел,
удовлетворяющих равенству x2 + y2 = z2, в
том числе совсем нетривиальные
(например, 72, 65, 97 или 3456, 3367,
4825). Теорема Пифагора использовалась
для вычисления диагонали квадрата;
радиуса окружности, описанной около
равностороннего треугольника; сторон
правильных n-угольников. Сохранились и
некоторые задачи, при решении которых
надо воспользоваться этой теоремой:
например, требовалось определить длину
шеста, который вначале вертикально
прислонен к стене, а затем наклоняется
так, что его верхний конец опускается на
три локтя, а нижний отходит от стены на 6
локтей.
Пусть длина стержня x локтей. Тогда
по теореме Пифагора
x2 = (x – 3)2 + 62, откуда
x2 = x2 – 6x + 9 + 36,
6x = 45,
x = 22,5.
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само
слово «геометрия» - греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные
участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в
долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей.
Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических
знаний.
Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных
геометрических фигур.
И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство
которых могло производиться только на основе предварительных расчётов.
Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К
этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора,
уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z –
такие целые числа, что x2 + y2 = z2 , то эти треугольники будут
прямоугольными.