ТЕОРИЯ РЯДОВ

ТЕОРИЯ РЯДОВ
3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.7. Некоторые приложения степенных
рядов.
1. Приближенное вычисление значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х=х1
с заданной точностью δ>0.
Если функцию f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в
степенной ряд
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  an x n  ...
и x1∈(-R;R), то точное значение f(x1) равно сумме этого
ряда при х=х1, т.е.
f ( x1 )  a0  a1 x1  a2 x12  a3 x13  ...  an x1n  ...
а приближенное значение равно частичной сумме Sn(x1),
т.е.
f ( x1 )  Sn ( x1 )  a0  a1 x1  a x  a x  ...  an x1
2
2 1
3
3 1
Точность этого равенства увеличивается с ростом n.
n
Абсолютная погрешность этого приближенного равенства
равна модулю остатка ряда, т.е.
f ( x1 )  Sn ( x1 )  rn ( x1 )
где
rn ( x1 )  an 1 x1n 1  an  2 x1n  2  ...
Т.о. ошибку вычисления можно найти, оценив остаток rn ( x1 )
ряда.
Для рядов лейбницевского типа:
rn ( x1 )  un 1  x1   un  2  x1   un 3  x1   ...  un 1  x1 
В остальных случаях (ряд знакопеременный или
знакоположительный) составляют ряд из модулей членов
ряда и для него стараются найти (подобрать)
положительный ряд с большими членами (обычно это
сходящийся ряд геометрической прогрессии), который
легко бы суммировался.
И в качестве оценки
берут
величину
rn ( x1 )
остатка этого нового ряда.
Пример 1
Найти sin1 с точностью до δ=0,001
Для получения требуемой точности каждое слагаемое
следует взять с более высокой точностью так, чтобы при
суммировании не получить погрешности, превышающей
требуемую; на практике для этого достаточно взять один
лишний десятичный знак.
Решение
Имеем:
2 n 1
x3 x5
x
n
sin x  x    ...   1
 ...
3! 5!
 2n  1!
Вместо х подставим 1:
x   ;  
1 1 1
sin1  1     ...
3! 5! 7!
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,001, т.е.
rn ( x1 )  un 1  x1  , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1
1

 0, 008(3)  0, 001
5! 120
1
1

 0, 0002  0, 001
7! 5040
то для нахождения sin1 с точностью до δ=0,001
достаточно первых трех слагаемых:
1 1
sin1  1    0,842
3! 5!
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый
отброшенный член, т.е. меньше, чем 0,0002
Пример 2
Вычислить число е с точностью до δ=0,001
Решение
Воспользуемся следующим разложением:
2
n
x
x
x
x
e  1    ...   ...
1! 2!
n!
x   ;  
Вместо х подставим 1:
1 1 1
1
e  e  1     ...   ...
1! 2! 3!
n!
1
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем n
слагаемых и оценим ошибку rn(x).
1
1
1
rn ( x) 


 .... 
 n  1!  n  2!  n  3!

1 
1
1


 ...  
1 
 n  1!  n  2  n  2  n  3 



1 
1
1
1  1 


 ...  

1 


2
  n  1!
1
 n  1!  n  1  n  1
 1


 n 1 
Убывающая
геометрическая
прогрессия
1
n 1
n 1
1




 n  1! n  1  1 n  n  1! n  n!
1
Т.е. rn ( x ) 
n  n!
Остается подобрать наименьшее натуральное число n,
чтобы выполнялось неравенство:
1
 0, 001
n  n!
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется
при n  6 :
n  5:
n  6:
1
1

 0, 001
5  5! 600
1
1

 0, 001
6  6! 4320
Имеем:
1 1 1 1 1 1
e  1      
1! 2! 3! 4! 5! 6!
1 1 1
1
1
517
 11  


2
 2, 7181  2, 718
2! 6 24 120 720
720
Ответ. e  2, 718
Пример 3
Найти sin100 с точностью до δ=10-5
Решение
Имеем:
2 n 1
x3 x5
x
n
sin x  x    ...   1
 ...
3! 5!
 2n  1!
x   ;  
Градусную меру переведем в радианную:
10 

0
18

Вместо х подставим
18
:
1   1   1  
sin10               ...
18 3!  18  5!  18  7!  18 
0

 0,174533
3
5
7
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,00001, т.е.
rn ( x1 )  un 1  x1  , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1  1
1 3 3
3
5

0,
2


2

10

10
 
 
3!  18  6
6
3
1 
1
1
32 6
5
1
5
5
5

0,
2


10

2

10


10

10
 
 
5!  18  120
12
12
5
Т.о. ограничимся первыми двумя членами:
1  
sin10       0,173647  0,17365
18 3!  18 
0

3
При этом делаем ошибку, которая по абсолютной
величине меньше первого из отброшенных членов.
Ответ.
sin100  0,17365
2. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного
вычисления неопределенных и определенных интегралов в
случаях, когда первообразная не выражается в конечном
виде через элементарные функции, либо нахождение
первообразной сложно.
Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в
ряд по степеням х и интервал сходимости (-R;R) включает
в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного
интеграла можно воспользоваться свойством почленного
интегрирования этого ряда.
Ошибку вычислений определяют также, как и при
вычислений значений функций.
Пример 4
Вычислить
1
4
e
0
 x2
dx
с точностью до δ=0,001
Решение
Воспользуемся следующим разложением:
2
n
x
x
x
x
e  1    ...   ...
1! 2!
n!
x   ;  
Вместо х подставим −х2:
e x
2
2n
x2 x4 x6
n x
 1     ...   1
 ...
1! 2! 3!
n!
x   ;  
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд на отрезке , лежащем внутри
интервала сходимости:
 1
0; 4    ;  
Получим:
1
4
e
0
 x2
1
4
1
4
1
4
1
4
1 4
1 6
dx   dx   x dx   x dx   x dx  ...
20
60
0
0
2
1
4
e
0
 x2
1
4
3
x
dx  x 
0
3
1
4
5
1 x
 
0
2 5
1
4
7
1 x
 
0
6 7
1
4
0
 ... 
1
1
1 1 1 1 1 1
 
   5    7  ...
3
4 3 4 2 5 4 6 7 4
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,001, т.е.
rn ( x1 )  un 1  x1  , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1
 0, 0052  0, 001
3
3 4
1
 0, 000098  0, 001
5
25 4
то с точностью δ=0,001 имеем
1
4
e
0
 x2
1
1
47
dx  

 0, 2448  0, 245
3
4 3  4 192
1
4
Ответ.
e
0
 x2
dx  0, 245
Пример 5
1
Вычислить
sin x
0 x dx с точностью до δ=0,0001
Решение
Известно, что
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x  x    ...   1
 ...
3! 5!
 2n  1!
x   ;  
Разделив ряд почленно на х, получаем:
sin x
x2 x4 x6
 1     ...
x
3! 5! 7!
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд на отрезке , лежащем внутри
интервала сходимости:
0;1   ; 
Получим:
1
1
1
1
1
sin x
1 2
1 4
1 6
0 x dx  0 dx  3! 0 x dx  5! 0 x dx  7! 0 x dx  ... 
1 x3
x  
0
3! 3
1
1 x5
 
0
5! 5
1
1 x7 1
 
 ... 
0
7! 7 0
1
1
1
 1


 ...
3! 3 5! 5 7! 7
1
Полученный ряд- лейбницевский.
Так как
1
1

 0, 0001
5! 5 120  5
1
1

 0, 0001
7! 7 5040  7
то достаточно взять первые три члена.
1
sin x
1
1
0 x dx  1  3! 3  5! 5  0,94611  0,9461
1
Ответ.
sin x
0 x dx  0,9461
Пример 6
1
Вычислить
 sin x dx
2
0
с точностью до δ=0,0001
Решение
Известно, что
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x  x    ...   1
 ...
3! 5!
 2n  1!
x   ;  
Вместо х подставим х2:
6
10
14
x
x
x
sin x 2  x 2  

 ...
3! 5! 7!
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд:
x
3
7
11
15
x
x
x
x
2
sin
x
dx  


 ...
0
3 3! 7 5!11 7!15
При х=1 получим лейбницевский ряд:
1
1
1
1
1
0 sin x dx  3  3! 7  5!11  7!15  ...
2
1
1
1


 0, 0001
5!11 120 11 1320
1
1
1


 0, 0001
7!15 5040 15 75600
Так как
то достаточно взять первые три члена.
1
1
1
1
0 sin x dx  3  3! 7  5!11  0,3103
2
1
Ответ.
2
sin
x
dx  0,3103

0
Интегралы, рассмотренные в примерах 4-6 не берутся в
элементарных функциях. Однако изложенный метод
вычисления интегралов оказывается удобным и в тех
случаях, когда интегралы выражаются через элементарные
функции.
Пример 7
Вычислить
1
2
dx
0 1  x 4
с точностью до δ=0,001
Заметим, что
dx
1
x2  x 2  1
2
x 2
 1  x 4  4 2 ln x 2  x 2  1  4 arctan 1  x 2  C
но практическое применение этого результата приводит к
громоздким вычислениям.
Намного проще вычисляется данный интеграл при
помощи степенных рядов.
Решение
Известно, что
1
n n
2
3
 1  x  x  x  ...   1 x  ...
1 x
x   1;1
Вместо х подставим х4:
1
4
8
12

1

x

x

x
 ...
4
1 x
 1
0; 2    1;1
x   1;1
Так как
, то этот ряд можно почленно
интегрировать в пределах от 0 до ½.
1
2
5
9
13
dx
1 1 1 1 1 1 1
0 1  x 4  2   2   5   2   9   2   13  ...
Учитывая, что
приближение
ряд
1
2
лейбницевский,
получаем,
5
dx
1 1 1
0 1  x 4  2   2   5  0, 49375  0, 494
имеет границу абсолютной погрешности:
9
1 1
      0, 00022  0, 001
2 9
что