Обзорный интернет-семинар Олимпиадная математика 8 класс

Обзорный интернет-семинар
Олимпиадная математика
8 класс
Делимость
• Простые и составные числа. Разложение на
простые множители.
• Делимость, свойства делимости. Признаки
делимости.
• Арифметика остатков.
• Решение уравнений в целых числах.
Простые и составные числа.
Разложение на простые множители.
Определение. Число называется простым,
если оно делится только на единицу и на
само себя.
Ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Простые и составные числа.
Разложение на простые множители.
Делимость, свойства и признаки.
Основные свойства
• Если два числа делятся на третье, то их сумма и
разность тоже делится на это число.
• Если число a делится на число b, а число b делится
на число c, то число a делится на число c.
• Если число a делится на число b, а число c делится
на число d, то число aс делится на число bd.
• Если произведение целых чисел ab делится на
простое число p, то на это число делится хотя бы
один из множителей.
Делимость, свойства и признаки.
Задача 1. Докажите, что если (a+2) делится на 13 и
(41 – b) делится на 13, то (a+b) делится на 13.
Решение. Вычтем из первого числа второе:
(a+2) – (41 – b) = a + b – 39,
a + b = (a+2) – (35 – b) + 39.
В правой части равенства каждое слагаемое
делится на 13, следовательно, (a+b) делится на 13.
Делимость, свойства и признаки.
Задача 2. Число А=(6а+5b)(5а+6b), где а, b – целые,
делится на 11. Доказать, что число А делится на 121.
Решение.
Во-первых, нетрудно заметить, что на 11
обязательно должна делиться хотя бы одна из
скобок (6а+5b) или (5а+6b).
Во-вторых, сумма (6а+5b)+(5а+6b) = 11a+11b
очевидно делится на 11.
Значит, каждая из скобок обязана делиться на 11,
откуда следует делимость числа А на 121.
Делимость, свойства и признаки.
• Широко известны признаки делимости на 2,
3, 4, 5, 9, 10, 11.
Задача 3. В записи _ 15 _ поставьте на
место пропусков цифры так, чтобы
полученное число делилось на 36.
Решение. Число должно делиться на 4 и 9 (!)
_152 и _156
1152 и 6156
Делимость, свойства и признаки.
Задача 4. Можно ли записать точный квадрат,
использовав по 10 раз цифры 1, 2, 3?
Решение. Все числа, которые можно составить,
имеют одну и ту же сумму цифр 60.
Значит, записанное число будет делиться на 3.
У любого точного квадрата в разложении на
простые множители каждый из множителей имеет
четную степень. Следовательно, наше число
должно делиться не только на 3, но и на 9. Но число
с суммой цифр 60 не делится на 9.
Делимость, свойства и признаки.
Задача 5. Натуральные числа a, b, c подобраны так,
что ab делится на 2c, bc делится на 3a и ac делится
на 5b. Может ли произведение чисел a, b, c быть
меньше 900?
Решение. Так как ab делится на 2c, то ab=2cx (1),
где x — некоторое натуральное число.
Так как bc делится на 3a, то bc=3ay (2),
аналогично ac=5bz (3),
где y и z — некоторые натуральные числа.
Перемножим первые два равенства и
разделим обе части на ас, получим b2= 6y, т.е. b2
делится на 6. Но это возможно только, если в
разложении числа b на простые множители есть
2 и 3, т.е b делится на 6 и поэтому не меньше 6.
Перемножая равенства (2) и (3), получаем,
что c2 делится на 15, т.е. с делится на 15 и не
меньше 15.
Перемножая равенства (1) и (3), получаем,
что a2 делится на 10, а, значит, a делится на 10 и
не меньше 10. Из неравенств a10, b6, c15
следует неравенство abc900.
Арифметика остатков.
• Сумма двух натуральных чисел и сумма их
остатков имеют одинаковые остатки при
делении на p.
• Произведение двух натуральных чисел и
произведение
их
остатков
имеют
одинаковые остатки при делении на p.
Арифметика остатков.
Задача 6. Найдите остаток от деления числа
2013·2014+20152 на 7.
Решение. Число 2013 имеет остаток 4 при
делении на 7, 2014 – остаток 5, 2017 – остаток
1. Значит, исходное число имеет такой же
остаток от деления на 7, как и у числа 4·5+12 =
21, т.е. остаток 0.
Арифметика остатков.
n
2n
0
0
0
0
1
1
2
0
2
2
1
0
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
2. Удачное преобразование уравнения и
перебор вариантов.
3. Рассмотрение остатков от деления на
какое-либо число.
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
0
0
1
1
2
0
3
1
Квадрат натурального числа при делении на 4
может давать только остатки 0 или 1.
Значит, сумма квадратов – только 0, 1 или 2.
Ответ: уравнение не имеет решений.
Геометрия. Подсчет углов
• Вертикальные углы;
• Углы при параллельных прямых (накрест
лежащие, соответственные, односторонние);
• Внешний угол треугольника;
• Вписанный и центральный угол;
• Сумма углов треугольника,
четырехугольника.
Геометрия. Подсчет углов
Задача 1. Найдите сумму
углов B, D, F, H, K в вершинах
пятиконечной звезды.
Решение.
Соединим вершины D и F. Сумма
углов в треугольнике KDF равна
180⁰, а сумма углов B и H равна
сумме углов EDF и EFD.
Следовательно, сумма углов в
вершинах звезды равна 180⁰ сумма углов треугольника KDF .
Геометрия. Подсчет углов
Задача 2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка Е так, что
треугольник АВЕ равносторонний. Вне квадрата ABCD
выбрана точка F так, что треугольник BCF равносторонний.
Докажите, что точки D, E, F лежат на одной прямой.
Решение. 1) Треугольник AED — равнобедренный,
его угол при вершине А равен 60⁰. Тогда угол
AED равен 75⁰.
2) Треугольник FBE — равнобедренный, его
угол при вершине В равен 60⁰+ 30⁰= 90⁰ .
Тогда угол FEB равен 45⁰.
Таким образом, угол CED равен 60⁰+ 75⁰+ 45⁰ = 180⁰.
Геометрические неравенства
• Неравенство 1. В любом треугольнике
против большего угла лежит большая
сторона.
• Неравенство 2. В треугольнике сумма длин
любых двух сторон больше длины третьей
стороны.
Геометрические неравенства
Задача 3. Отрезок соединяет вершину треугольника с
точкой, лежащей на противоположной стороне. Доказать, что
этот отрезок меньше какой-нибудь из двух других сторон.
Решение. Сумма углов ADB и BDC
равна 180⁰. Значит, хотя бы один из
них не меньше 90⁰. Пусть это будет
угол BDC. Тогда в треугольнике BDC
этот угол является большим и против
него лежит большая сторона, т.е. BD < BC.
Геометрические неравенства
Элементы комбинаторики
Правило суммы: Если объект А можно выбрать
n способами, а объект В – m способами, то
выбор А или В можно осуществить (n+m)
способами.
Правило произведения: Если объект А можно
выбрать n способами, а объект В – m способами,
то выбрать пару А и В можно (n∙m) способами.
Элементы комбинаторики
Задача 1. В магазине продаются 5 чашек, 4 блюдца
и 3 ложки. Сколькими способами можно выбрать
два предмета разного типа?
Решение. Из правила произведения:
Чашку и блюдце можно выбрать 20 способами,
Чашку и ложку – 15 способами,
Блюдце и ложку – 12 способами.
Значит, по правилу суммы выбрать два предмета
можно 20+15+12=47 способами.
Элементы комбинаторики
Задача 2. Сколько существует четырехзначных
чисел, в записи которых встречаются только
нечетные цифры?
Решение. 1-ю цифру можно выбрать 5 способами,
2-ю, 3-ю и 4-ю тоже 5 способами независимо от
остальных. Из правила произведения следует, что
искомых чисел всего 5· 5· 5· 5 = 625.
Элементы комбинаторики
Задача 3. В классе 30 человек. Сколькими
способами можно выбрать
А) старосту и заместителя?
Б) двоих дежурных?
Решение. В обоих случаях выбирается пара человек,
первого можно выбрать 30 способами, а второго
уже 29 способами.
А) Петров + Иванов ≠ Иванов + Петров (=30·29)
Б) Петров + Иванов = Иванов + Петров (=30·29/2)
Элементы комбинаторики
Задача 4. Автобусные билеты имеют шестизначные номера,
от 000000 до 999999.
а) Сколько всего номеров, все цифры которых нечётны?
б) Сколько номеров, все цифры которых различны?
в) Сколько номеров, все цифры которых имеют одинаковую
четность?
г) Сколько номеров, у которых хотя бы одна нечётная цифра?
д) Сколько номеров, содержат цифру 7?
е) Сколько номеров не содержат ни цифры 7, ни 0?
ж) Сколько номеров содержат цифру 7 и не содержат 0?
Математическая индукция
• Построение индукционного процесса.
• Итерационные процессы.
Математическая индукция
Задача 1. На сколько частей делят плоскость n прямых,
среди которых нет параллельных и никакие три не
проходят через одну точку?
Задача 2. Докажите, что любое натуральное число
можно представить как сумму нескольких разных
степеней двойки (возможно, включая и нулевую).
Математическая индукция
Задача 3. Докажите, что равносторонний треугольник
можно разрезать на n равносторонних треугольников для
любого n, начиная с 6.
Задача 4. Плоскость разбита на части
прямыми и окружностями. Доказать,
что полученную карту можно раскрасить
в два цвета так, что области, граничащие
по дуге или отрезку, будут иметь разный цвет.
Спасибо за внимание!