Равнобедренный треугольник. Вычисление длин и углов. ГОЛОС ЕГЭ

ГОЛОС ЕГЭ
Равнобедренный
треугольник.
Вычисление длин и углов.
Ум человеческий имеет три ключа,
всё открывающих: знание, мысль, воображение –
всё в этом.
В. Гюго
Зарядка для ума
1)
Укажите номера верных утверждений:
1.
Если углы при основании треугольника
равны, то этот треугольник равнобедренный.
2.
Если две стороны треугольника равны, то он
равносторонний.
3.
Все высоты треугольника пересекаются в
одной точке.
4.
Площадь треугольника равна произведению
стороны на высоту перпендикулярную этой стороне.
5.
Отношение площадей подобных треугольников
равна квадрату коэффициента подобия.
2)
Укажите номера верных утверждений:
1.
В равнобедренном треугольнике высота,
проведенная к основанию треугольника, является
медианой.
2.
Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
3.
Сумма углов треугольника больше 1800.
4.
В треугольнике против большего угла лежит
меньшая сторона.
5.
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
3)
Укажите номера верных утверждений:
1.
В треугольнике медиана не меньше высоты,
проведенной из той же вершины.
2.
В треугольнике все высоты пересекаются в одной
точке.
3.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза
меньше катета.
4.
Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести бесчисленное множество прямых,
параллельных данной прямой.
5.
Треугольник, имеющие равные площади, равны
4) Укажите номера верных утверждений:
1.
Треугольники, имеющие общее основание и
вершины, равноудаленные от прямой, содержащей это
основание, равновелики.
2.
Во всяком треугольнике высота, проведенная к
основанию, совпадает с медианой.
3.
Если один из углов треугольника острый, то
такой треугольник остроугольный.
4.
В равнобедренном треугольнике биссектриса и
медиана, проведенные из вершины, противоположной
основанию равны.
5) Укажите номера верных утверждений:
1.
Сумма углов треугольника равна 1800.
2.
Внешний угол треугольника всегда тупой.
3.
В равностороннем треугольнике АВС медиана
АК равна высоте СH.
4.
Площадь прямоугольного треугольника равна
произведению двух катетов.
6)
Укажите номера верных утверждений:
1.
В любой четырехугольник можно вписать
окружность.
2.
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого его острого угла.
3.
У четырехугольника, все стороны которого
равны, диагонали перпендикулярны.
4.
Внешний угол треугольника всегда больше
внутреннего.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
№1
№2
№3
№4
№5
№6
135
125
12
14
13
23
Равнобедренный треугольник.
Вычисление длин и углов.
Голос: Задача 8
Задачи на нахождение площадей плоских фигур,
нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных
на координатной плоскости.
Голос: Задача 15
Задачи на нахождение значений тригонометрических
функций углов по известным элементам геометрических
фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов
геометрических
фигур
по
известным
значениям
тригонометрических функций.
Задача 15
Проверяемые умения
Уметь
выполнять
действия
с
геометрическими
фигурами, координатами и векторами.
Для решения требуется
 Знать определения тригонометрических функций и их
свойства.
 Уметь
работать
с
формулами,
выполнять
арифметические действия и преобразования числовых
выражений.
Равнобедренный треугольник, треугольник у
две стороны равны между собой
которого ………………………………………………………………………..,
?
?
боковыми
Равные стороны называются……………………………
?
основанием
третья сторона называется………………………………
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота,
проведенные к основанию совпадают
между собой
3. Углы при основании
равнобедренного треугольника
вычисляются по следующей формуле:
угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из
углов при основании равны между собой
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он
равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой
(биссектрисой), то такой треугольник
равнобедренный.
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚,
равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет
вдвоем меньше гипотенузы, то напротив
него лежит угол в 30˚.
4. Площадь S прямоугольного
треугольника с катетами a и b:
5. Высота h прямоугольного
треугольника, проведенная к
гипотенузе выражается через
катеты a, b и гипотенузу c
следующим образом:
6. Центр описанной окружности –
есть середина гипотенузы.
7. Радиус R описанной окружности
есть половина гипотенузы c:
8. Медиана, проведенная к
гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус r вписанной окружности
выражается через катеты a, b и
гипотенузу c следующим образом:
противолежащий катет BC
sin A 

гипотенуза
AB
прилежащий катет AC
cos A 

гипотенуза
AB
2
гипотенуза
2
sin A  cos A  1
2
2
A
прилежащий катет
противолежащий катет BC
tg A 

прилежащий катет
AC
противолежащий
катет
AC  CB  AB
2
B
C
a
sin А 
c
Повторение
А
b
 cos B sin B 
c
sin A  cos B
b
a
cos А   sin B cos B 
c
c
c
b
cos A  sin B
a
tgА 
b
b
tgB 
a
1
tg A  B
tg
В
a
С
a
ctgB 
b
tg A  ctgB
Повторение
sin A  cos A  1
2
tg A  1  12
cos A
2
A
sin

tg A
cos A
ctg A tg A  1
2
2
: sin
cos A
ctg A  1 
2
1
2
sin A
A
cos
ctg A 
sin A
ctg A 
1
tg A
Задача 1. В треугольнике АВС угол С равен 90,
3
sin A  , ВС = 12. Найдите АВ.
5
Решение.
противолежащий катет
sin A 
гипотенуза
противолежащий
катет
B
гипотенуза
A
прилежащий катет
C
Ответ: 20
sin A  BC ,
AB
AB  sin A  BC ,
BC
AB 
,
sin A
3
12

5
AB  12 : 
 20.
5
3
Задача 2. В треугольнике ВСН угол Н равен 90,
5
tg B  ,
12
Решение:
ВН = 24. Найдите СН.
противолежащий катет
tg B 
прилежащий катет
tg B  CH ,
BH
CH  BH  tg B,
гипотенуза
5
CH  24   10.
12
B
прилежащий катет
Ответ: 10
противолежащий
катет
C
H
Задача 3. В треугольнике KMP угол P равен
4
90, sin K  . Найдите cos K .
5
Решение:
2
2
2
4
sin K  cos K  1,
 cos 2 K  1.
5
M
2
16
противолежащий
катет

гипотенуза
K
прилежащий катет
P
cos K  1 
25
,
cos 2 K  9 ,
25
cos K   3 .
5
K  90, значит, cos K  0 : cos K  3 .
5
Ответ: 0,6.
2
 3 11 

  cos 2 A  1
 10 


99
1
100
99
2
cos A  1 
100
1
2
cos A 
100
cos 2 A 
1
cos A 
10
15
0 , 1
3
10 х
х
12 2
сos A  ( )  1
12 5
13
tgA  :
13 13
144
2
cos A  1 
169
12 13
tgA  
25
13 5
cos 2 A 
169
12
tgA 
5
5
cos A  
13
15
2 ,
5
cos A 
т.к. А –острый угол
13
2
4
3
10 х
х
2
 7
1


1 

2

cos A
 3 
1
7
1   
2
 9  cos A
9
cos A 
16
2
15
0 , 75
3
10 х
х
3
cos A 
4
ОТВЕТЫ К ТЕСТУ
Вариант
1 вариант
2 вариант
№1
16
9
№2
0,5
1,05
№3
10
0,125
На консультации я работал
Своей работой на консультации я
Консультация для меня показалась
За консультацию я
Мое настроение
Материал на консультации мне был
активно /
пассивно
доволен /
не доволен
короткой /
длинной
не устал /
устал
стало лучше /
стало хуже
полезен/
бесполезен
интересен/
скучен
Домашнее задание
2. Решить задачу практического характера и
придумать свою:
Теннисный мяч подан с высоты 2м 10см и пролетел над
самой сеткой, высота которой составляет 90см. На каком
расстоянии от сетки мяч ударится о землю, если он подан от
черты, находящейся в 12м от сетки, и летит по прямой?