Вписанные и описанные окружности. Основные определения. • Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности. B A O C D • Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник называется вписанным в эту окружность. B A O C D Теоремы. Определение: В любой треугольник можно вписать окружность и только одну. A M Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения биссектрис треугольника ABC. Проведём из точки О перпендикуляры ОК, ОL и OM к сторонам АВ, ВС и СА. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L , М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОK, ОL и OM. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. 2) А если предположить, что в треугольник можно вписать две окружности, то можно доказать, что они совпадут. C K O B L Замечание… В отличии от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Примите к сведенью. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Обратное утверждение: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. B b c C b c a A d a d D Определение: около любого треугольника можно описать окружность и только одну. B Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка О равноудалена от вершины треугольника ABC, то OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана. 2) А если допустить, что около треугольника можно описать две окружности, то можно доказать, что они совпадут. O A C Замечание… В отличии от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность. Примите к сведенью. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800. Обратное утверждение: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Задачка… Дано: АВС - равностор. Окр. (O; r) - впис. P = 12 см Найти: r впис. окр.- ? B O A C Решение: Окр. (О; r) - впис. О точка пересечения Бис-с этого треугольника. ОН АС, т.к. ВН – высота АС – касательная к окр. (О; r) ОН = r (ОН – r окр.) АВС - равностор. бис-сы – медианы и высоты, они равны. О принадлежит BH – медиане, высоте и бис-се АВС – прямоугольный; АВ – гипотенуза; АН = ½ АВ. АВ = 1/3 12 = 4 АВ2 = ВН + АН2 Решаем уравнение и получаем ВН = 6 (см) О – точка пересечения медиан. ВО/ВН = 2/1; 2ОН = ВО 3ОН = ВН ОН = 6 : 3 = 2 (см) Задачка… Дано: Окр. (O; r) - опис. АВС – впис. АВ – диаметр окр. 0 ВС = 134 Найти: углы треугольника B O A C Решение: ВС лежит против А; ВС = 1340 А = 134 : 2 = 670 АВ – диаметр окр. АСВ = 900 А + В + С = 1800 (по теореме о сумме углов треугольника) С = 900 ; А = 670 В = 1800 – 900 – 670 = 230