Всероссийский фестиваль педагогического творчества (2014 - 2015 уч. год)

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014 - 2015 уч. год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
(математика и физика)
Название работы: Новые выявленные признаки равенства треугольников
Автор: Ситников Андрей Александрович, 7 класс.
Руководитель: Симакова Татьяна Александровна
Автор: Ситников Андрей, ученик 7 класса «З» ГБОУ Школа №1794.
Руководитель: Симакова Т.А., учитель математики ГБОУ Школа №1794.
ВВЕДЕНИЕ
 Великий учёный Михаил Ломоносов призывал:
« Старайся дать уму как можно больше
пищи…».
К этому сегодня стремиться каждый, кто хочет
быть полезным обществу.
Желание найти новые признаки равенства
треугольников, научиться решать и доказывать
более сложные задания, предлагаемые нашим
учителем, побудило меня искать ответы на
вопросы.
И вот получилась работа, которую я предлагаю
вашему вниманию и надеюсь будет полезна всем,
кто интересуется вопросами математики.
В учебнике геометрии 7 - 9 класса (авт. Л.С. Атанасян и др.)
представлено три признака равенства треугольников.
На уроке геометрии мы доказали 6 признаков равенства
треугольников с использованием основных отрезков в
треугольнике (медиана, биссектриса, высота).
Меня заинтересовала эта тема, и я решил расширить
теоретическую базу и выявил новые признаки равенства
треугольников.
В данной работе формулируются и доказываются 17
утверждений, которые можно рассматривать как новые
признаки равенства треугольников.
Новые признаки равенства треугольников с использованием :
биссектрисы - 3,
медианы - 5,
высоты - 9.
ПРОБЛЕМА
Учащиеся испытывают сложности при изучении темы «Признаки
треугольников» в курсе геометрии.
АКТУАЛЬНОСТЬ
Применение новых выявленных признаков треугольников при решении
задач.
ЦЕЛЬ
Сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников,
используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты.
ОБЪЕКТ
Треугольники.
ПРЕДМЕТ
Признаки треугольников.
ГИПОТЕЗА
При применении новых выявленных признаков треугольников
возникают расширенные возможности для решения геометрических
задач по улучшению усвоения данной темы.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
В результате выполнения исследовательской работы были выявлены и
доказаны
17 признаков равенства треугольников
 Расширить круг интересов к
исследовательской деятельности;
 Научиться искать пути решения;
 Приобрести опыт работы с научноисследовательскими методами;
 Формировать навыки самостоятельной
работы;
 Воспитать культуру исследовательской
деятельности.
Для достижения цели, поставленной в
работе были выбраны средства и
методы исследования:
 Общенаучный (теоретический);
 Метод сравнения;
 Статистический метод;
 Графический метод;
 Технологический метод (ИКТ).
Признаки равенства
треугольников
Выявленные признаки
равенства треугольников
Новые выявленные
признаки равенства
треугольников
1
По двум сторонам и углу
между ними;
2
По стороне и двум углам
прилежащим к ней;
3
По трем сторонам;
1
По двум сторонам и медиане, проведенной к
одной из них;
2
По стороне, медиане, проведенной к другой
стороне, и углу между стороной и медианой;
3
4
5
6
По стороне, прилежащему углу и его
биссектрисе;
По стороне, прилежащему углу и высоте,
проведенной к данной стороне;
По двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне;
По стороне, прилежащему и
противолежащему углам;
С использованием медианы
С использованием высоты
С использованием биссектрисы
1
По двум сторонам и медиане, проведенной из
конца одной стороны к другой стороне;
2
По медиане, стороне и углу между медианой и
стороной с вершиной в середине этой стороны;
3
По медиане, стороне и углу между ними;
4
По медиане и двум углам, образованных
двумя сторонами и этой медианой;
5
По трем медианам;
1
По стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной из
вершины этого угла;
2
По углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции
стороны, прилежащей к этому углу;
3
По двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла;
4
По двум углам и высоте, проведенной из вершины одного из них;
5
По высоте и двум острым углам, прилежащих к ней;
6
По стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной не из
вершины этого угла;
7
6
По углу и двум высотам;
8
По стороне и двум высотам;
9
По стороне, высоте и углу между высотой и другой стороной;
1
По стороне, прилежащему углу и биссектрисе ,
выходящей из этого угла;
2
По углу, выходящей из этого угла биссектрисе и углу
между этой биссектрисой и стороной;
3
По двум углам и биссектрисе, выходящей из
вершины одного из них;
1
Если в треугольнике две стороны и медиана, проведенная из
конца одной стороны к другой стороне, соответственно
равны двум сторонам и медиане, проведенной из конца одной
стороны к другой стороне в другом треугольнике, то такие
треугольники равны.
А
A1
B1
B
F
C
F1
C1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
AC = A1C1
AF=A1F1 – медианы
BC=B1C1
Доказать:
∆ABC = ∆A1B1C1
Доказательство:
1. ∆AFC = ∆A1F1C1 (по трем сторонам)
Из равенства треугольников AСB=A1С1B1
2. ∆ABC = ∆ A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними
2
Если в треугольнике медиана, сторона и угол между этой
медианой и стороной с вершиной в середине этой стороны,
соответственно равны медиане, стороне и углу между этой
медианой и стороной с вершиной в середине этой стороны в
другом треугольнике, то такие треугольники равны.
А
A1
B1
B
F
C
F1
C1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
AF=A1F1 – медианы
AFC = A1F1C1
BC=B1C1
Доказать:
∆ABC = ∆A1B1C1
Доказательство:
1. ∆AFC = ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
2. Из равенства треугольников AC =А1C1 и С=С1,
3. ∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам углу между ними)
Если в треугольнике медиана, сторона и угол между
ними, соответственно равны медиане, стороне и углу
ними другого треугольника, то такие треугольники
равны.
А
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
A1
AF=A1F1 – медианы
1
FAС = F1A1C1
2
AC=A1C1
B1
5 3
В
6 4
Доказать:
F
F1
С
C1 ∆ABC = ∆A1B1C1
3
Доказательство:
∆AFC = ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников: C = C1, 3 = 4, FC=F1C1
=> 5 = 6, BF=B1F1, BC=B1C1.
∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам углу между ними)
Если в треугольнике медиана и два угла, образованные двумя
сторонами и этой медианой, соответственно равны медиане и
двум углам, образованные двумя сторонами и этой медианой,
то треугольники равны.
4
A
A1
2
1
B
3
•
B1
F
F1
C
5
6
K
K1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AF=A1F1 –
медианы
ВAF = B1A1F1
FAC = F1A1C1
Доказать:
∆ABC = ∆A1B1C1
4
Доказательство:
Проведем AF = FK, A1F1 = F1K1
∆BFA = ∆FKC (по стороне и прилежащим
углам) =>AB=CK, 1= 5
∆B1F1A1 = ∆F1K1C1 (по стороне и
прилежащим углам) =>A1B1=C1K1,
3=6
C1
∆ACK = ∆A1C1K1 (AK=A1K1, 5=6, 2=4,
по стороне и прилежащим углам)
=>CK=C1K1, AC=A1C1.
∆AFC= ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу
между ними) => C = C1.
∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам и углу
между ними).
Если три медианы одного треугольника, соответственно
равны трем медианам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
5
А
N
O
B
F
A1
M N1
B1
C
O1 M 1
F1
C1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
AF = A1F1
BM=B1M1 – медианы
CN=C1N1
Доказать:
∆ABC = ∆A1B1C1
Доказательство:
1. ∆BOC = ∆B1O1C1
2. ∆COA = ∆C1O1A1
3. ∆BOA = ∆B1O1A1
(по двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне)
∆ABC и ∆ A1B1C1 по трем сторонам
1
Если сторона, прилежащий угол и высота, проведённая из
вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны
стороне, прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины
этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.
A
1
A1
2
3
4
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
AB=A1B1 ; А=А1;
AF=A1F1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
B
B1
F
C
F1
C1
Доказательство:
1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1
AB=A1B1 (по усл.), AF = A1F1 (по усл.), F=F1=900 (по усл.)
=>ΔABF=ΔA1B1F1 (по гипотенузе и катету ) =>1=3
2) A=A1 (по усл.), 1=3 (п.1) =>2=4
3) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1:
AF=A1F1 (по усл.)2=4 (п.2) =>ΔAFC=ΔA1H1C1 (по катету и острому углу)=>AC=A1C1
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (по усл.)
AC=A1C1 (п.3)
=>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между
A=A1 (по усл.)
ними)
2
Если угол, высота, проведённая из вершины этого угла, и проекция
стороны, прилежащей к этому углу одного треугольника,
соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого
угла, и проекции стороны прилежащей к этому углу другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
A
BF=B1F1 ; А=А1;
A1
1
2
AF=A1F1 (высота)
3
B
B1
F
C
F1
4
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
C1 Доказательство:
1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1:
AF = A1F1 (по усл.), F=F1=900 (по усл.), BF=B1F1
=>ΔABF = ΔA1B1F1 (по двум катетам) => AB=A1B1; 1=3
2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1:
AF=A1F1 (по усл), 1=3 (п.1), 2=4 => ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому углу)
=>AC=A1C1;
3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2)
=>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл)
3
Если два угла и высота, проведённая из вершины третьего угла,
одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте,
проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то
такие треугольники равны.
A
A1
1
2
3
B
B1
F
C
F1
4
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; C=C1;
AF=A1F1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
C1
Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1:
B=B1 (по усл.), AF =A1F1 =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому
углу)=>AB=A1B1; 1=3
2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1:
AF=A1F1 (по усл.), C=C1 (по усл.)=>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому
углу)=>AC=A1C1; 2=4
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A
1)
4
Если два угла и высота, проведённая из вершины одного из них,
одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте,
проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то
такие треугольники равны.
A
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
A1
1
C=C1; А=А1;
AF=A1F1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
2
3
B
4
B1
F
C
F1
Доказательство:
C1
1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1 :
B=B1 (по усл.) =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу) =>AB=A1B1;
1=3, 2=4
2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1,, AF=A1F1(по усл.), 2=4 (по п.1)
=>ΔAFC=ΔA1F1C1(по катету и острому углу)=>AC=A1C1
3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1(п.1)
AC=A1C1 (п.2)
=>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл.)
5
Если высота и два прилежащих к ней острых угла одного
треугольника соответственно равны высоте и двум прилежащим к
ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
A
A1
1
2
3
B
F
B1
C
F1
4
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
1=3; 2=3;
AF=A1F1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
C1
1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1:
1=3 (по усл.), AF=A1F1 (по усл.)=>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому
углу)=>AB=A1B1
2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1:
AF=A1F1 (по усл.) 2=4 (по усл.) =>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому
углу)=>AC=A1C1
3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.1)
6
Если сторона, противолежащий угол и высота, проведённая не из
вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны
стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из
вершины данного угла, то такие треугольники равны.
A
A1
1 2
3
B
B1
F
C
F1
4
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=В1; AF=A1F1 (высота);
AC=A1C1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
C1
1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1:
B=B1 (по усл.), AF=A1F1 (по усл.)
=>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу)=>1=3, AB=A1B1
2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1:
AF=A1F1 (по усл.), AC=A1C1
=>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и гипотенузе)=> 2=4
3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1
AC=A1C1
=>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними )
A=A
7 Если две высоты и угол одного треугольника, соответственно равны
двум высотам и углу другого треугольника, то такие треугольники
равны.
A
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
A1
M
M1
B
AF=A1F1 (высота)
BM=B1M1
С=С1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
B1
F
C
F1
C1
Доказательство:
ΔBMС = ΔB1M1C1 (по катету и острому углу) =>BC=B1C1;
ΔAFC = ΔA1F1C1,, (по катету и острому углу) =>AC=A1C1
ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
8
Если сторона и две высоты, одна из которых проведена к данной
стороне одного треугольника, соответственно равны стороне и двум
высотам, одна из которых проведена к данной стороне, другого
треугольника, то такие треугольники равны.
A
A1
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
AF=A1F1 (высота)
BN=B1N1, AC=A1C1
N
N1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
B
B1
F
C
F1
C1
Доказательство:
ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и гипотенузе) => С=С1
ΔBNC и ΔB1N1C1, (по катету и острому углу) =>BC=B1C1,
ΔABC и ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
9
Если сторона, высота и угол между этой высотой и другой стороной
одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и углу
между этой высотой и другой стороной другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
A
A1
AB=A1B1
1=2;
AF=A1F1 (высота)
1
2
B
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
B1
F
C
F1
C1
Доказательство:
ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и гипотенузе) => BF=B1F1
ΔAFC=ΔA1F1C1(по катету и острому углу)=>AC=A1C1; CF=C1F1 => BC=B1C1
ΔABC=ΔA1B1C1 (по трем сторонам)
1
Если в одном треугольнике угол, прилежащая сторона и
выходящая из него биссектриса соответственно равны углу,
прилежащей стороне и выходящей из него биссектрисе в другом
треугольнике, то треугольники равны.
A
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
A1
B
A=A1
AZ = A1Z1- биссектрисы
AB=A1B1
Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1
B1
Z
C
Z1
C
Доказательство:
1
1.Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1:
AB=A1B1 (по условию)
AZ=A1Z1 (по условию)
=>∆AZB=∆A1Z1B1 (по двум сторонам
BAZ=B1A1Z1 (по условию) углу между ними)=>СZA=С1Z1A1
2.Рассмотрим ∆AZC и ∆A1Z1С1:
CAZ=C1A1Z1 (по условию)
AZ=A1Z1 (по условию)
=>∆AZС=∆A1Z1С1 (по стороне и двум
CZA=С1Z1A1 (п.1)
прилежащим углам)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
A=A1 (по условию)
AB=A1B1 (по условию)
=> ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
AC= A1С1 (п.2)
2
Если в одном треугольнике угол, выходящая из него биссектриса и
угол между биссектрисой и стороной соответственно равны углу,
выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной
в другом треугольнике, то треугольники равны.
A1
A
B
B1
L
C
L1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
AL=A1L1 – биссектрисы
A =  A1
ALC = A1L1C1
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1
C1
Доказательство:
1. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
LAC = L1A1C1 (по усл)
=> ∆ALC=∆A1L1C1 (по двум сторонам и углу между ними) =>
ALC = A1L1C1 (по усл)
ALB=A1L1B1
2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
ALB=A1L1B1
BAL=B1A1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 (по двум сторонам и углу между ними)
AL=A1L1 (по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
A=A1 (по условию)
AB=A1B1 (по условию)
=> ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
AC= A1С1 (п.2)
3
Если два угла и биссектриса, выходящая из вершины одного из
этих углов одного треугольника, соответственно равны двум
углам и биссектрисе, выходящей из вершины одного из них этих
углов другого треугольнике, то такие треугольники равны.
A
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
A1
B
A=A1 B=B1
AZ и A1Z1- биссектрисы
Доказать:
∆ABC=∆A1B1C1
B1
Z
C
Z1
C1
Доказательство:
Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1:
AZ=A1Z1 (по условию)
BAZ=B1A1Z1 (третий угол в треугольнике)
∆AZB=∆A1Z1B1 (по стороне и прилежащим
углам) => AB=A1B1
∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
 Л.С. Атанасян, Бутузов В.Ф., Кадомцев
С.Б. и др.;
«Геометрия 7-9», учебник для
образовательных учреждений;