Лекция. Волновые свойства вещества

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ
ВЕЩЕСТВА
 1. Гипотеза де Бройля
 2. Дифракция частиц
 3. Корпускулярно-волновой дуализм
микрочастиц вещества
Гипотеза де Бройля
 Мы уже знаем, что в оптических явлениях
наблюдается своеобразный дуализм.
 Наряду с явлениями дифракции,
интерференции (волновыми явлениями)
наблюдаются и явления, характеризующие
корпускулярную природу света (фотоэффект,
эффект Комптона).
 В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу,
что дуализм не является особенностью
только оптических явлений, а имеет
универсальный характер.
 Частицы вещества также обладают
волновыми свойствами.
Гипотеза де Бройля
 Согласно квантовой механике, свободное
движение частицы с массой m и импульсом p  mυ
(где  – скорость частицы) можно представить
как плоскую монохроматическую волну (волну
де Бройля) с длиной волны λ  h
p
распространяющуюся в том же направлении
(например, в направлении оси х), в котором
движется частица
Гипотеза де Бройля
 Зависимость волновой функции




Ψ0 от
координаты х даётся формулой
,
Ψ0 ~ cos( k0 x)
где k 0 – волновое число, а волновой вектор,

2π 
k 
p
,
h
направлен в сторону распространения волны,
или вдоль движения частицы.
Таким образом, волновой вектор
монохроматической волны, связанный со
свободно движущейся микрочастицей,
пропорционален её импульсу или обратно
пропорционален длине волны.
0
Гипотеза де Бройля
 Гипотеза де Бройля была революционной, даже для
того революционного в науке времени.
 Однако, она вскоре была подтверждена многими
экспериментами.
 Дифракция частиц, рассеяние микрочастиц
(электронов, нейтронов, атомов и т.п.) кристаллами или
молекулами жидкостей и газов, при котором из
начального пучка частиц данного типа возникают
дополнительно отклонённые пучки этих частиц.
 Направление и интенсивность таких отклонённых
пучков зависят от строения рассеивающего объекта.
Гипотеза де Бройля
 Дифракция частиц может быть понята лишь на основе




квантовой теории.
Дифракция – явление волновое, оно наблюдается при
распространении волн различной природы: дифракция
света, звуковых волн, волн на поверхности жидкости и
т.д.
Дифракция при рассеянии частиц, с точки зрения
классической физики, невозможна.
Квантовая механика устранила абсолютную грань
между волной и частицей.
Основным положением квантовой механики,
описывающей поведение микрообъектов, является
корпускулярно-волновой дуализм, т.е. двойственная
природа микрочастиц.
Гипотеза де Бройля
 Так, поведение электронов в одних явлениях,
например при наблюдении их движения в
камере Вильсона или при измерении
электрического заряда в фотоэффекте,
может быть описано на основе представлений
о частицах.
 В других же, особенно в явлениях дифракции,
– только на основе представления о волнах.
Идея «волн материи», высказанная
французским физиком Л. де Бройлем,
получила блестящее подтверждение в опытах
по дифракции частиц.
Дифракция частиц
 Первым опытом по дифракции частиц, блестяще
подтвердившим исходную идею квантовой механики –
корпускулярно-волновой дуализм, явился опыт
американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера,
проведенный в 1927 году по дифракции электронов на
монокристаллах никеля.
 Дифракция волн на такой решётке происходит в
результате рассеяния на системах параллельных
кристаллографических плоскостей, на которых в
строгом порядке расположены рассеивающие центры.
Условием наблюдения дифракционного максимума при
отражении от кристалла является Брэгга-Вульфа
условие:
2dsinθ  nλ
Дифракция частиц
 В 1927 г. Дж.П. Томпсон и независимо от него П.С.
Тартаковский получили дифракционную картину при
прохождении электронного пучка через металлическую
фольгу.
 В 1949 г. советские ученые Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин,
В.А. Фабрикант поставили такой же опыт, но
интенсивность электронного пучка была настолько
слабой, что электроны проходили через прибор
практически поодиночке.
 Однако картина после длительной экспозиции была
точно такой же.
 Т.е. было доказано, что волновыми свойствами
обладает каждый отдельный электрон.
Дифракция частиц
 Дифракция частиц, сыгравшая в своё время
столь большую роль в установлении
двойственной природы материи –
корпускулярно-волнового дуализма (и тем
самым послужившая экспериментальным
обоснованием квантовой механики), давно
уже стала одним из главных рабочих методов
для изучения строения вещества.
 На дифракции частиц основаны два важных
современных метода анализа атомной
структуры вещества – электронография и
нейтронография.
Длина волны де-Бройля
 Рассмотренные нами волны де Бройля не
являются электромагнитными, это волны
особой природы.
 Вычислим дебройлевскую длину волны
мячика массой 0,20 кг, движущегося со
скоростью 15 м/с.
h
6,67  10 34 Дж  с
λ

 2,2  10  34 м
mv
0,2  15
 Определим дебройлевскую длину волны
электрона, ускоренного разностью
потенциалов 100 В.
Длина волны де Бройля
 Работа, совершаемая электрическим полем
идет на приращение кинетической энергии
электрона 1
2eU
2
2
mv  eU

v
m
 5,9 10 6
h
6,6  10 34
10
λ


1
,
2

10
м
 31
6
mv 9,1  10  5,9  10
Гипотеза де Бройля
 Отвлечемся на время и поставим мысленный
эксперимент.
 Направим на преграду с двумя узкими щелями
параллельный пучок моноэнергетических (т.е.
обладающих одинаковой кинетической энергией)
электронов. За преградой поставим фотопластинку Фп.
Гипотеза де Бройля
 В начале закроем вторую щель и произведем





экспонирование в течение времени t.
Почернение на обработанной Фп будет
характеризоваться кривой 1 на рисунке.
Затем закроем первую щель и произведем
экспонирование второй фотопластины.
Характер почернения передается в этом случае кривой
2 на рисунке.
Наконец откроем обе щели и подвергнем
экспонированию в течение времени третью пластину.
Картина почернения, получающаяся в последнем
случае, отнюдь не эквивалентна положению первых
двух.
Гипотеза де Бройля
 Каким образом открывание второй щели
может повлиять на те электроны, которые,
казалось бы, прошли через другую щель?
 Полученная картина оказывается
аналогичной картине, получающейся при
интерференции двух когерентных световых
волн.
 Характер картины свидетельствует о том, что
на движение каждого электрона оказывают
влияние оба отверстия.
 Такой вывод несовместим с представлением о
траекториях.
Гипотеза де Бройля
 Если бы электрон двигался по траектории, он
проходил бы через определенное отверстие –
первое или второе.
 Явление же дифракции доказывает, что в
прохождении каждого электрона участвуют
оба отверстия – и первое, и второе.
 Таким образом, дифракция электронов и
других микрочастиц доказывает
справедливость гипотезы де Бройля и
подтверждает корпускулярно- волновой
дуализм микрочастиц вещества.
Физический смысл волн де Бройля
 Квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной
точке пространства является мерой вероятности
того, что частица находится в этой области.
 Вероятностная трактовка волн де Бройля принадлежит
Максу Борну.
 Подчеркнем еще раз, что волны, связанные с
движущимися частицами, не имеют никакого отношения
к распространению какого-либо электромагнитного
поля, к электромагнитным волнам.
 Среди известных в физике электромагнитных,
акустических и других волн нет аналога «волнам
вероятности», связанных с движущимися частицами
вещества.
Физический смысл волн де Бройля
 Открытие волновых свойств движущихся частиц
вещества явилось величайшим достижением
современной физики.
 Вместе с твердо, установленным экспериментально
квантовым характером законов, описывающих
внутриатомные процессы, обнаружение волновых
свойств частиц вещества послужило фундаментом для
создания квантовой механики.
 Так называемые пути современной теоретической
физики, изучающей законы движения частиц в области
микромира имеют масштабы длины 10-10__ 10-15м.
 Объектами изучения квантовой механики являются
атомы, молекулы, кристаллы, атомные ядра и
элементарные частицы (электроны, позитроны,
протоны, нейтроны и др.).
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Согласно двойственной корпускулярно-волновой
природе частиц вещества, для описания микрочастиц
используются то волновые, то корпускулярные
представления.
 Поэтому приписывать им все свойства частиц или все
свойства волн нельзя.
 Естественно, что необходимо внести некоторые
ограничения в применении к объектам микромира
понятий классической механики.
 Эти ограничения были установлены Гейзенбергом и
получили название
 Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
 Соотношение имеет место для некоторых пар
величин, которые в классической механике
называются канонически сопряженными.
 Обозначив канонически сопряженные
величины буквами A и B, можно написать
ΔA  ΔB  h
 Это соотношение называется соотношением
неопределенностей Гейзенберга для величин
A и B.
 Канонически сопряженными величинами
являются координата и импульс, энергия и
время.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
 Для них соотношение неопределенностей
имеет вид
x  p x  h
E  t  h
 Так, например, электрон (и любая другая
микрочастица) не может иметь одновременно
точных значений координаты x и компоненты
импульса рх.
 Неопределенности координаты и импульса
удовлетворяют соотношению
неопределенностей.
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Соотношение между энергией и временем означает, что
определение энергии с точностью ΔE должно занять
интервал времени, равный, по меньшей мере
h
Δt ~
ΔE
 Соотношение неопределенностей получено при
одновременном использовании классических
характеристик движения частицы (координаты,
импульса) и наличии у нее волновых свойств.
 Т.к. в классической механике принимается, что
измерение координаты и импульса может быть
произведено с любой точностью, то соотношение
х
неопределенностей являются, таким
образом,
квантовым ограничением применимости классической
механике к микрообъектам.
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Соотношение неопределенностей указывает, в
какой мере, возможно, пользоваться
понятиями классической механики
применительно к микрочастицам, в частности,
с какой степенью точности можно говорить о
траекториях микрочастиц.
 Движение по траектории характеризуется
вполне определенными значениями
координат и скорости в каждый момент
времени.
 Подставив в соотношение неопределенностей
вместо рх произведение mvх, получим
соотношение
Δx  Δυx  h/m
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Из этого соотношения следует, что чем
больше масса частицы, тем меньше
неопределенности ее координаты и скорости,
следовательно, с тем большей точностью
можно применять к этой частице понятие
траектории.
 Так, например, уже для пылинки массой 10-12
кг и линейными размерами 10-6 м, координата
которой определена с точностью до 0,01 ее
размеров ( Δx  10 8 м), неопределенность
скорости
6,62  10 34
14
Δυx 
8
10 10
12
м/с  6,62  10
м/с,
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 т.е. не будет сказываться при всех скоростях,
с которыми пылинка может двигаться.
 Таким образом, для макроскопических тел их
волновые свойства не играют никакой роли;
координаты и скорости могут быть измерены
достаточно точно.
 Это означает, что для описания движения
макротел с абсолютной достоверностью
можно пользоваться законами классической
механики.
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Предположим, что пучок электронов движется
вдоль оси x со скоростью υ  108 м/с,
определяемой с точностью до 0,01 (Δυx  104
м/с).
 Какова точность определения координаты
электрона?
 Соотношение неопределенностей дает
h
6,62  10 34
8
Δx 


7,27

10
м
 31
4
mΔ x 9,11  10  10
 Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о
движении электронов по определенной траектории, иными
словами, описывать их движения законами классической
механики.
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
 Применим соотношение неопределенностей к
электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим,
что неопределенность координаты электрона Δx  1010 м
(порядка размеров самого атома).
 Тогда
6,62  1034
7
Δυy 
9,11  10
 31
 10
10
 7,27  10 м/с
 Используя законы классической физики, можно
показать, что при движении электрона вокруг ядра по
круговой орбите радиуса приблизительно 0,5  10 10 м
υ  2,3  106 м/с.
его скорость
 Таким образом, неопределенность скорости в
несколько раз больше самой скорости.
 Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о
движении электронов в атоме по определенной
траектории.
Ψ
2
Уравнение Шредингера
 Толкование волн де Бройля и соотношение
неопределенностей Гейзенберга привели к
выводу, что уравнением движения в
квантовой механике, описывающей движение
микрочастиц в различных силовых полях,
должно быть уравнение, из которого бы
вытекали наблюдаемые на опыте волновые
свойства частиц.
 Основное уравнение должно быть
уравнением относительно волновой функции
2
Ψ(x, y, z, t) ,так как именно величина Ψ
осуществляет вероятность пребывания
частицы в момент времени t в объеме dV.
Уравнение Шредингера
 Т.к. искомое уравнение должно учитывать
волновые свойства частиц, то оно должно
быть волновым уравнением, подобно
уравнению, описывающему электромагнитные
волны.
 Основное уравнение нерелятивистской
квантовой механики сформулировано в 1926 г.
Шредингером.
 Уравнение Шредингера в общем виде
записывается так:
2 2
Ψ

2m
 Ψ  U(x, y, z, t)Ψ  i
t
,
Уравнение Шредингера
 В этом уравнении
Лапласа


h
,
2π

- оператор
 2
 2Ψ  2Ψ  2Ψ 
  Ψ  2  2  2 ,
x
y
z 

U(x, y, z, t) - потенциальная энергия частицы в
силовом поле, в котором она движется.
 Если силовое поле, в котором движется частица
потенциально, то функция U не зависит явно от
времени и имеет смысл потенциальной энергии.
 В этом случае решение уравнения Шредингера
распадается на два сомножителя, один из которых
зависит только от координаты, а другой – только от
времени.
Уравнение Шредингера
 Запишем
Ψ(x, y, z, t)  Ψ(x, y, z)e
E
i t

 Здесь E – полная энергия частицы,
которая в случае стационарного поля
остается постоянной.
 Чтобы убедиться в справедливости
выражения , подставьте его в общее
уравнение Шредингера и вы получите
уравнение Шредингера для
стационарных состояний
2 2

 Ψ  UΨ  EΨ
2m
2Ψ 
2m
(E  U)Ψ  0
2

Уравнение Шредингера
 Покажем как можно прийти к уравнению
Шредингера.
 Для простоты рассмотрим одномерный
случай.
 Рассмотрим свободно движущуюся частицу.
 Согласно де Бройлю ей можно сопоставить
плоскую волну
Ψ  aexp i( t - kx) 
Уравнение Шредингера
 (В квантовой механике показатель экспоненты
берется со знаком минус).
2π 2π
 Произведем замену
λ

р
 и
mυ
E
ω

 Тогда уравнение для плоской волны де
Бройля придет к виду:
i

  a exp  ( px  Et )


Уравнение Шредингера
 Продифференцируем это уравнение
один раз по времени и два раза по х,
сделав соответствующие
преобразования, получим уравнение
Шредингера.
Квантование энергии
 Уравнение Шредингера позволяет
найти пси-функцию данного
состояния и, следовательно,
определить вероятность
нахождения частицы в различных
точках пространства.
 Из уравнения вытекает правило
квантования энергии.
Квантование энергии
 В соответствии со своим смыслом пси
функция должна быть однозначной,
непрерывной и конечной.
 Кроме этого она должна иметь
непрерывную и конечную
производную.
 Совокупность перечисленных
требований носит название
стандартных условий.
Квантование энергии
 В теории дифференциальных
уравнений доказывается, что
уравнения типа уравнения Шредингера
для стационарных состояний имеют
решения удовлетворяющее
стандартным условиям тогда, когда
энергия E принимает избранные
(собственные) значения.
 Таким образом квантование энергии
микрочастицы вытекает из основных
положений квантовой механики.
Квантование энергии
 Рассмотрим микрочастицу в
потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками
 Возьмем уравнение Шредингера в
виде:
d2Ψ 2m
 2 (E  U)Ψ  0
2
dx

 В области, где пси- функция не равна
тождественно нулю уравнение
Шредингера имеет вид:
Квантование энергии
 Уравнение Шредингера имеет вид
d 2  2m
 2 E  0
2
dx

 Введем обозначение
2m
k  2 E

2
 Тогда придем к уравнению, хорошо
известному из теории колебаний
   k 2   0
Квантование энергии
 Решение этого уравнения имеет вид
 ( x)  a sin( kx   )
 Условиям
 (0)  0
 ( L)  0
можно
удовлетворить соответствующим выбором k
иα
 Из условия  (0)  0 получаем α=0.
 Из условия
получаем kL=n
 ( L)  0
 Выразим отсюда k и подставим это
выражение в формулу для k2.

Квантование энергии
 Тогда собственные значения энергии частицы:
En 
 
2
2`
2ml
2
n
2
 Где n=1,2,3…
 Оценим расстояние между двумя соседними
уровнями для различных значений массы
частицы m и ширины ямы l.Разность энергий
двух соседних уровней равна
En  En1  En 
Квантование энергии
 Рассмотрим несколько примеров
 1. молекула m=10-23г. Ширина ямы
l=10см.Разность энергий двух соседних
уровней 10-32n эрг
 2. электрон m=10-27г. Ширина ямы 10
см.Разность энергий двух соседних
уровней 10-16n эрг.
 3. электрон в атоме. Ширина ямы 10-8см.
 Разность энергий двух соседних уровней
102n эрг.
ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С
ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
 Функция пси будет иметь вид Ψn (x)  asin nπ x.
l
 Постоянную интегрирования a найдем из
условия нормировки
 a=
l
a
2
2
sin

0
2
l
πn
xdx  1
l
 И функция пси равна
Ψn ( x) 
2  nπ 
sin  x 
l  l 
ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С
ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С
ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ
 Графики собственных значений пси функции ,
при п = 1, 2, 3 приведены на левом рис., а на
правом рис. изображена плотность
вероятности обнаружения частицы на
различных расстояниях от «стенок» ямы,
равная |Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψn*(x) для п = 1, 2, 3…
 Из рисунка следует, что, например, в
квантовом состоянии с п = 2 частица не может
находиться в центре ямы, в то время как
одинаково может пребывать в ее левой и
правой частях.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
 Гармоническим осциллятором называется
частица, совершающая одномерное
движение под действием квазиупругой
силы F=-kx.
 Потенциальная энергия такой частицы
имеет вид: U=kx2/2
 Собственная частота классического
гармонического осциллятора равна:
 ω=(k/m)0,5
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
 Выразим потенциальную энергию так:
 U=mω2x2/2
 В одномерном случае уравнение Шредингера
для осциллятора:
d 2  2m
m 2 x 2
 2 (E 
)  0
2
dx

2
 В теории дифференциальных уравнений
доказывается, что уравнение имеет конечные,
однозначные и непрерывные решения при
значениях энергии E, равных
1
E n  ( n  ) 
2
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
 Уровни энергии гармонического осциллятора
являются эквидистантными.
 Наименьшее возможное значение энергии
равно
 E0=
 / 2
 Это значение называется нулевой энергией.
 Существование нулевой энергии
подтверждается экспериментами по изучению
рассеяния света кристаллами при низких
температурах.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
 Оказывается, что интенсивность
рассеянного света по мере понижения
температуры стремится не к нулю, а к
некоторому конечному значению,
указывающему на то, что и при
абсолютном нуле колебания атомов в
кристаллах не прекращаются.
 Квантовая механика позволяет вычислить
вероятности различных переходов
квантовой системы из одного состояния в
другое.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
 Подобные вычисления показывают, что для




гармонического осциллятора возможны лишь
переходы между соседними уровнями
n=±1
Условия накладываемые на изменение квантовых
чисел называются правилами отбора
Таким образом для гармонического осциллятора
существует правило отбора
n=±1
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
Туннельный эффект
Рассмотрим простейший потенциальный
барьер
прямоугольной
формы
для
одномерного (по оси х) движения частицы.
Туннельный эффект
• Для потенциального барьера высоты U и
ширины l можно записать
1обл.
0, x  0

U(x)  U,0  x  1 2 обл.
0, x  1
3 обл.

• При данных условиях задачи классическая
частица,
обладая
энергией
Е,
либо
беспрепятственно пройдет над барьером,
либо отразится от него (E < U) и будет
двигаться в обратную сторону, т.е. не может
проникнуть через барьер.
Туннельный эффект
• Для микрочастицы при E < U имеется
отличная от нуля вероятность, что
частица окажется в области x > l, т.е.
проникнет сквозь барьер.
• Такой вывод следует непосредственно
из решения уравнения Шредингера,
описывающего
движение
микрочастицы при данных условиях
задачи.
Туннельный эффект
 2Ψ1,3
x 2
 k 2Ψ1,3  0
 2 Ψ2
2

q
Ψ2  0
2
x
2mE 

2
для
1,
3
обл.
k



2
 

2m(E  U) 

2
 для 2 обл. q 

2



Ψ1 (x)  A1eikx  B1e ikx
(1)
Ψ2 (x)  A 2 eikx  B2 e ikx (2)
Ψ3 (x)  A 3 e ikx  B3 e ikx (3)
Туннельный эффект
• В частности для области 1 каждая волновая
функция будет иметь вид
Ψ 1 (x, t)  Ψ1(x)e
i
 Et

 A1e
i
  Et p e x 

i
  Et p e x 

1  
B
Туннельный эффект
• В выражении 2 первый член представляет
собой плоскую волну , распространяющуюся
в положительном направлении оси х, а второй
– отраженную волну.
• Уравнение для 3 области также содержит
такие волны (после умножения на временной
множитель), распространяющиеся в обе
стороны.
• Но в области 3 имеется только волна,
прошедшая
через
барьер
и
распространяющаяся слева направо. Поэтому
B3 = 0.
Туннельный эффект
• В области 2 решение зависит от
соотношений
E > U или E < U.
• Для нас имеет сейчас интерес с
физической точки зрения второй
случай, когда полная энергия
меньше
высоты
барьера,
поскольку
для
классической
частицы проникновение за барьер
в этом случае исключено.
Туннельный эффект
• В данном случае, q = iβ – мнимое,
где
2m(U  E)
β
.

Учитывая значение и B3 = 0,
получаем
решение
уравнения
Шредингера для трех областей в
следующем виде
•
Туннельный эффект
Ψ1(x)  A1e  B1e
ikx
Ψ2 (x)  A 2 e
βx
Ψ3 (x)  A 3 e
ikx
ikx
 B2 e
βx
(1)
(2)
(3)
Туннельный эффект
 В области 2 функция (23) уже не
соответствует плоским волнам,
распространяющимся в обе стороны,
поскольку показатели степени не мнимые,
а действительные.
 Можно показать, что для частного случая
высокого и широкого барьера, когда βl >>
1,
B2 ≈ 0.
Туннельный эффект
 Таким образом, квантовая механика приводит
к принципиально новому квантовому
явлению, туннельному эффекту, в результате
которого микрообъект может пройти через
барьер.
 Коэффициент прозрачности для барьера ПФ
 2
D  D0 exp  
 

2m(U  El ) 

Туннельный эффект
 Для барьера произвольной формы
 2
D  D0 exp  
 

x2

x1

2m(U  El )dx 


где U = U(x).
• Прохождение частицы сквозь область можно
пояснить соотношением неопределенностей.
Неопределенность импульса на отрезке Δx = l
составляет
h
p 
l
Туннельный эффект
 Связанная с этим разбросом в значении
импульса кинетическая энергия может
поиметь значение большее
потенциального барьера и частица
пройдет через барьер.
АТОМ ВОДОРОДА
 Рассмотрим систему, соcтоящую из
неподвижного ядра с зарядом Ze и
движущегося вокруг него электроном.
 При z=1 система представляет атом водорода.
 Потенциальная энергия электрона равна
U=-Ze2/r
 Уравнение Шредингера для такой системы
имеет вид:
2
2
m
Ze
2
   2 (E 
)  0

r
АТОМ ВОДОРОДА
 Поле, в котором движется электрон, является
центрально-симметричным.
 Поэтому целесообразно воспользоваться
сферической системой координат
 Оператор Лапласа в сферической системе
координат выглядет так и все уравнение
Шредингера
1 d 2 d
1
d
d
1
d 2  2m
Ze 2
(r
) 2
(sin 
) 2 2
 2 (E 
)  0
2
2
r dr
dr
r sin  d
d r sin  d

r
АТОМ ВОДОРОДА
 Можно показать , что это уравнение имеет
однозначные, непрерывные и конечные
решения в следующих случаях:
 1. При любых положительных энергиях
 2. При дискретных отрицательных значениях
энергии, равных
4
2
me Z
En   2 2
2 n
АТОМ ВОДОРОДА
 Случай E>0 соответствует электрону,
пролетающему вблизи ядра и
удаляющемуся от него на бесконечность.
 Случай E<0 соответствует электрону,
связанному с ядром.
Контрольные вопросы
 1. Гипотеза де Бройля.
 2. Корпускулярно-волновой дуализм.
 3. Соотношение неопределенностей.
 4. Уравнение Шредингера в общем
виде.
 5. Уравнение Шредингера для случая
стационарных силовых полей.