КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ. Вопросы для экспресс–контроля

КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ.
Вопросы для экспресс–контроля
1. В чем смысл гипотезы де Бройля?
2. Что можно сказать о волнах де Бройля (какие это волны)?
3. Какие понятия используются для характеристики частиц и какие – для
волн?
4. Сформулируйте соотношения неопределенностей Гейзенберга.
5. Можно ли применить понятие траектории к микрочастицам?
6. Сравните два основных уравнения – в классической и квантовой механике
7. Что такое пси – функция и каков ее физический смысл?
8. Как можно установить размерность волновой функции?
Длина волны де Бройля

h
– длина волны де Бройля.
p
Принцип неопределенностей
p x x   – соотношение неопределенностей для координаты и проекции
импульса;
Et   – соотношение неопределенностей для энергии и момента времени
измерения энергии.
1. Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально
на диафрагму в виде узкой щели, ширина которой 0.06 мм. Определить
скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на
расстояние 40 мм, ширина центрального дифракционного максимума
равна 10 мкм.
2. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет
диаметр 0.5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана 20 см,
ускоряющее напряжение 10 кВ. Оценить неопределенность координаты
электрона на экране.
3. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10 -8 с.
При переходе в основное состояние испускается фотон, средняя длина
волны которого равна 600 нм. Оценить естественную ширину Δλ
излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет
других процессов.
1
4. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками. Ширина ямы l. Оценить с помощью соотношения
неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при
минимально возможной его энергии.
5. *Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы
его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?
6. *Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых
представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться
только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число
волн де Бройля.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Вопросы для экспресс–контроля
1. Запишите нестационарное уравнение Шредингера и сформулируйте
условия, которым должна удовлетворять волновая функция.
2. В каком случае возможен переход от нестационарного уравнения
Шредингера к стационарному?
3. Как определяется вероятность обнаружения действия микрочастицы в
заданный момент времени в данной точке пространства?
4. Что такое собственные значения энергии и собственные волновые
функции?
5. Как определяются собственные значения энергии и собственные волновые
функции микрочастицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой
потенциальной яме?
6. В чем суть туннельного эффекта и почему он невозможен в рамках
классической механики?
7. Запишите выражение, определяющие энергетический спектр, одномерного
квантового осциллятора. Почему его минимальная энергия не равна нулю?
2
Уравнение Шредингера. Волновая функция
2m
E  U   0 – стационарное уравнение Шредингера;
2
2
dp   dV – вероятность обнаружить частицу в объеме dV;
 


2
dV  1 – условие нормировки волновой функции;

  A sin( kx) – решение уравнения Шредингера для частицы в одномерном
потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками, где:
n
k
l
; k
2mE
– модуль волнового вектора;
2
2
– амплитуда волновой функции;
l
 2 2 2
En 
n – энергия частицы в одномерном потенциальном ящике с
2ml 2
A
бесконечно высокими стенками, где n – квантовое число, принимающее
значения: n=1, 2, 3, …∞.
1. # Поток электронов падает на экран с двумя щелями. В точке Р за
экраном находится входное отверстие счетчика. Пусть А1 – амплитуда
волны, прошедшей через первую щель и достигшей точки Р, а А2 – то же,
но в случае открытой щели 2.Отношение амплитуд А2/А1=3. Если открыта
только щель 1, то счетчик регистрирует 100 электронов в секунду.
Сколько электронов ежесекундно будет регистрировать счетчик, если а)
открыта только щель 2; б) открыты обе щели и в точке Р наблюдается
интерференционный максимум; в) открыты обе щели и в точке Р
наблюдается интерференционный минимум?
2. # Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике
шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти нормированные
волновые функции стационарных состояний частицы.
3. # Частица в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном
потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии с
квантовым числом 3. Определить, в каких точках интервала 0<x<l
плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и
минимальное значения.
4. # Волновая функция, описывающая движение электрона в основном
состоянии атома водорода, имеет вид ψ(r)=Aexp(–r/а0), где А – некоторая
постоянная, а0=53 пм – первый Боровский радиус. Найти для основного
3
состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от
ядра.
5. # Волновая функция частицы массой m для основного состояния в
одномерном потенциальном поле U(x)=kx2/2 имеет вид ψ(x)=Aexp(–αx2),
где A и α – некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения
Шредингера постоянную α и энергию частицы в этом состоянии.
6. *Напишите уравнение Шредингера для свободного электрона,
движущегося в положительном направлении оси OX со скоростью  .
Найдите решение этого уравнения.
7. *Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной
потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками
( 0  x  l ). Найти вероятность пребывания частицы в областях:
1
1. 0  x  l ;
3
1
2
2. l  x  l ;
3
3
2
3. l  x  l .
3
4