сопряженных подгрупп

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2011
Вып.2(6)
УДК 512.54
К вопросу о классах неинвариантных
сопряженных подгрупп
С. И. Фаерштейн
Пермская государственная фармацевтическая академия, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2
lvfaershtein@rambler.ru; (342) 282-58-29
Изучаются группы с заданным количеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп. В частности доказано, что для всякого натурального числа n существует 2-группа,
имеющая в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказано также,
что для всякого четного натурального числа n  2k существует 2-группа, имеющая в точности n  2k классов неинвариантных сопряженных подгрупп и обладающая нетривиальной факторгруппой, в которой также имеется в точности n  2k классов неинвариантных
сопряженных подгрупп.
Ключевые слова: классы неинвариантных сопряженных подгрупп.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Для всякого натурального
числа n существует 2-группа, имеющая в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп.
Доказательство
1.
Рассмотрим
G x  y порядка
2
n 1
n  2,
группу
Пусть
индукции в группе диэдра
2 k имеется ровно 2k–4 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Их представителями являются следующие подгруппы:
диэдра
k 2
y , x 4 , y , x 8 , y ,..., x 2 , y ,
x  2 , y  2, x  x
y
xy , x 4 , xy , x 8 , xy ,..., x 2 , xy .
1
Легко проверяется, что в группе диэдра порядка 2 k 1 представителями классов неинвариантных сопряженных подгрупп будут все те
же 2k–4 представителя, что и для группы диэдра порядка 2 k , а также еще 2 представителя
и докажем, что в этой группе имеется в точности 2n–2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказательство будем вести индукцией по порядку группы G.
Пусть n = 2. Тогда в группе G имеетсяровно 2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп, представителями которых являются x и xy .
новых
классов,
а
именно
k 1
x2 , y
и
k 1
x 2 , yx . Таким образом, в группе диэдра
Пусть n = 3. Тогда группа G содержит
ровно 4 класса неинвариантных сопряженных
подгрупп. Их представителями являются подгруппы
имеется
ровно
2 k 1
2k  4  2  2k  2 класса неинвариантных
порядка
сопряженных подгрупп.
2. Рассмотрим группу
4
xy , y , x , xy , x , y .
G  x  y , x  2 n n  3,
n 1

x  y порядка
k 2
n
4
G  2 k 1 . По предположению
y  2, x y  x 1 2 .
© С. И. Фаерштейн, 2011
22
К вопросу о классах неинвариантных сопряженных подгрупп
Докажем, что в этой группе содержится
ровно 2n–3 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Доказательство будем вести индукцией по порядку группы.
Пусть n = 3. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что группа G имеет
ровно 3 класса неинвариантных сопряженных
подгрупп, представителями которых являются
тогда, когда N содержится в пересечении всех
неинвариантных подгрупп группы G.
Доказательство
Достаточность. Пусть T1 , T2 ,..., Tn –
представители n классов сопряженных неинвариантных подгрупп, N – нормальный делитель группы G, Ti  N , i  1, n.
4
подгруппы y , xy , x , y .
Очевидно, что в факторгруппе G
Пусть n = 4. Тогда в группу G входит
ровно 5 классов неинвариантных подгрупп.
Их представителями являются подгруппы
Ti
y , xy , x 4 , y x 8 , y , x 4 xy .
N
и
Tj
N
N
, i  j не сопряжены и неинва-
Ti
риантны, т. е.
N
, i  1, n – представители
Пусть n  2 k 1 . По предположению индукции в группе G  x  y порядка 2 k
n классов неинвариантных подгрупп группы
имеется 2k–5 класса неинвариантных подгрупп, представителями которых являются
следующие подгруппы:
точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп.
Необходимость. Пусть T1 , T2 ,..., Ti  N ,
G, и значит, в факторгруппе G
k 1
y , x 4 , y , x 8 , y ,..., x 2 , y ,
4
8
xy , x , xy , x , xy ,..., x
2k  2
а Ti 1 ,..., Tn не содержит N
торгруппе G
Все эти же подгруппы являются представителями 2k–5 неинвариантных подгрупп
группы G  x  y порядка 2 k 1 . Кроме то-
вителями являются подгруппы
2
x
Следовательно, в факторгруппе G
, xy и
бо инвариантно в G
k
N
лиN Tn
, либо сопряжено с од-
ним из T i i  n  . Это значит, что в факторk 1
Таким образом, группа G порядка 2
содержит 2k–3 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. 2-группа, имеющая
только один класс неинвариантных подгрупп,
также существует [1]. Теорема доказана.
В работе [2] отмечено, что во всякой
факторгруппе произвольной группы G число
классов неинвариантных сопряженных подгрупп не превосходит числа классов неинвариантных сопряженных подгрупп в самой
группе G. В связи с этим имеет место следующая теорема.
группе G
N
число классов неинвариантных
сопряженных подгрупп строго меньше, чем
число классов неинвариантных сопряженных
подгрупп в группе G. Необходимость доказана. Теорема доказана.
Все конечные группы, имеющие нетривиальное пересечение всех неинвариантных
подгрупп, описаны в работе [3].
Таким образом, группы, описанные в
[3], и только они являются конечными недедекиндовыми группами, обладающими нетривиальной факторгруппой, в которой число
классов неинвариантных сопряженных подгрупп равно числу классов неинвариантных
сопряженных подгрупп в самой группе.
Теорема 2. Пусть G – группа, имеющая
в точности n классов неинвариантных сопряженных подгрупп. N – неединичный нормальный делитель группы G. В факторгруппе
N
, а Ti  – их прообразы в груп-
одним из Ti i  n  , либо Tn инвариантна в G.
x ,y .
G
N
пе G. Так как Tn  N , то Tn сопряжено с
го, появляются еще ровно 2 класса неинвариантных сопряженных подгрупп. Их предста2
i  n.
Пусть Ti – образы подгрупп Ti в фак-
, xy .
k 1
имеется в
N
Теорема 3. Пусть G – периодическая
неабелева группа, содержащая бесконечную
абелеву подгруппу и имеющая конечное мно-
имеется ровно n классов неинвариант-
ных сопряженных подгрупп тогда и только
23
С. И. Фаерштейн
жество классов неинвариантных сопряженных
подгрупп. Тогда в каждой нетривиальной
факторгруппе группы G число классов неинвариантных сопряженных подгрупп строго
меньше, чем в группе G.
Доказательство теоремы следует из
описания периодических неабелевых групп,
содержащих бесконечную абелеву подгруппу
и имеющих конечное множество классов неинвариантных сопряженных подгрупп [4], и
из теоремы 2.
Что касается непериодических групп, то,
как доказано в работе [5], непериодических неабелевых почти локально разрешимых групп с
конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп не существует.
Теорема 4. Для всякого четного числа
n  2k существует 2-группа, имеющая в точности n классов сопряженных неинвариантных подгрупп и обладающая нетривиальной
факторгруппой с таким же количеством
n  2k  классов неинвариантных сопряженных подгрупп.
Доказательство
Рассмотрим обобщенную группу кватернионов Q порядка 2 k 1 и пусть N – ее инвариантная подгруппа порядка 2. Факторгруппа G
N
Очевидно, что N – пересечение всех неинвариантных подгрупп группы G.
В силу теоремы 2 в группе Q также
имеется ровно 2n–4 класса неинвариантных
сопряженных подгрупп n  3, 4, 5,... . Теорема доказана.
Некоторые материалы этой статьи без
доказательства опубликованы в работе [6].
Список литературы
1. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только
один класс неинвариантных подгрупп //
Матем. сб. 1926. № 31. С.161–172.
2. Трофимов П.И. О влиянии числа всех
классов неинвариантных сопряженных
подгрупп на свойства конечной группы.
ДАН СССР, 86, 1952. С.1075–1076.
3. Blackburn V. Finite groups in which the
nonnormal subgroups have nontrivial intersection // J. Alg. 3, vol.1. 1966. P.30–37.
4. Фаерштейн С.И. О бесконечных группах
с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп // Матем. сб. асп. работ. Томск, 1973. С.51–54.
5. Фаерштейн С.И. О классах неинвариантных подгрупп в непериодических группах
// Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика,
механика, информатика. 2010. Вып. 3(3).
С.51–53.
6. Фаерштейн С.И. О классах сопряженных
неинвариантных подгрупп // XI Всесоюзн.
алгебраич. коллокв.: резюме сообщений и
докладов. Кишинев, 1972.
является группой диэдра порядка
2 k . Как доказано в пункте 1 теоремы 1, факторгруппа G
имеет в точности 2n–4 класса
N
неинвариантных сопряженных подгрупп.
About classes of nonnormal conjugate subgroups
S. I. Faershteyn
The Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2
lvfaershtein@rambler.ru; (342) 282-58-29
It is proved that for every natural number n 2-group exists in which there are exactly n classes of
nonnormal conjugate subgroups.
Besides, it is proved that for every even natural number n  2k 2-group exists in which there are
exactly n classes of nonnormal conjugate subgroups and which have nontrivial factorgroup whith
exactly n  2k classes of nonnormal conjugate subgroups too.
Key words: classes of nonnormal conjugate subgroups.
24