УДК 512

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2010
Вып. 3(3)
УДК 512.54
О классах неинвариантных подгрупп
в непериодических группах
С. И. Фаерштейн
Пермская государственная фармацевтическая академия, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2
isfaer@rambler.ru; (342) 282-58-29
Рассматриваются непериодические группы.
Ключевые слова: классы неинвариантных сопряженных подгрупп.

группа группы G инвариантна. Следовательно
[6, с.213], G – абелева группа.
Предположим, что в группе G имеется
бесконечная неинвариантная циклическая
подгруппа x1 . Так как x1 неинвариантна
В работах [1], [2], [3], [4] описаны конечные группы, имеющие соответственно
один, два, три и четыре класса неинвариантных сопряженных подгрупп. В работе [5]
описаны периодические группы, содержащие
бесконечную абелеву подгруппу и имеющие
конечное множество классов неинвариантных
сопряженных подгрупп.
Через  G  обозначается число классов
сопряженных
неинвариантных
подгрупп
группы G.
Теорема 1. Всякая непериодическая локально разрешимая группа G с конечным
множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп абелева.
Доказательство. Пусть сначала всякая бесконечная циклическая подгруппа
группы G инвариантна и пусть x и a – произвольные элементы группы G соответственно
бесконечного и конечного порядка. Рассмотрим следующую цепочку подгрупп:
в G, то найдется максимальная подгруппа
подгруппы x1 также инвариантная в G. Таким образом, можно построить бесконечную
цепочку подгрупп
x1  x1l1  ...  x1ln  ...,
каждая из которых неинвариантна в G. Так
как  G  конечно, то в приведенной выше
цепочке подгрупп обязательно найдутся две
подгруппы, сопряженные в G. Поэтому без
ограничения общности можно полагать, что
найдется такое целое число k1  1; 0 и такой
элемент x2, что
x1x2  x1k1 .
Так как для всякого натурального числа
x, a  x 2 , a  x 2 , a  ...  x 2 , a  ... .
2
n
n x1x2  x1k1 и, очевидно, x1k1  1 , то x2 – элеn
подгруппы из этой цепочки не сопряжены в
G. Отсюда и из того, что множество классов
неинвариантных подгрупп группы G конечно,
следует, что

n 0
антна в G . Поэтому, как и выше, без ограничения общности можно полагать, что найдется такое целое число k 2  1; 0 и такой эле-
x , a  a инвариантна
2n
в G. Таким образом, всякая циклическая под-

n
мент бесконечного порядка. В силу того, что
x2 – элемент бесконечного порядка и элементы x12 и x2 неперестановочны, x 2 неинвари-
Так как x инвариантна в G, то никакие две

n
мент x3, что x2 3  x2k2 . Таким образом, для
всякого натурального числа n в группе G
x
 С. И. Фаерштейн, 2010
51
С. И. Фаерштейн
найдется
такая совокупность
x1 , x2 ,..., xn1 , что
xixi 1  xik i , ki  1; 0
элементов
Теорема 2. Всякая непериодическая почти локально разрешимая группа с конечным
множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп абелева.
Доказательство. Пусть G – непериодическая почти локально разрешимая группа
с конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп. Пусть A –
инвариантная локально разрешимая подгруппа группы G, имеющая в G конечный индекс
i  1, 2,..., n .
Покажем, что для всякого натурального
числа n в группе G найдется разрешимая подгруппа ступени разрешимости n. Действительно, рассмотрим подгруппу
Sn  x1, x2 ,..., xn 1 , где все элементы xi бесконечного порядка и
xixi1  xik i ki  1; 0.
xi , xi 1   x , и, следова'
 Sn  1 i  1, 2,...n. Легко про-
Очевидно, что
тельно,
xi
n. Ясно, что G 
k i 1
i


xi  S  1 i  1, 2,..., n  1.
этот
x1  S
далее,
получим,
что
 1 . Таким образом, ступень раз-
T1 , Ts s  n  1 не сопряжены в G. Действительно, для всякого элемента a  A и всякого
решимости группы Sn не меньше, чем n.
Так как группы различной ступени разрешимости неизоморфны, то они не могут
быть сопряжены в G. Отсюда вытекает, что
ступень разрешимости всякой неинвариантной разрешимой подгруппы группы G не превосходит некоторого числа t. Пусть A – инвариантная разрешимая подгруппа ступени разрешимости большей, чем  G   t.
Очевидно

G
A s 1
  G  ,
элемента xi из множества
x1 , x2 ,..., xn axi 1T1 axi  
 xi1a 1 xi xi1T1 xi xi1axi  a11Ti a1  TS a1  A.
Аналогично получим, что подгруппа Tn+1 не
сопряжена в G ни с одной из подгрупп Ts при
s  2n  1 и т. д. Таким образом, в группе G
имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп Tkn 1k  0,1, 2,... , никакие две из которых не сопряжены в G. Это
противоречит тому, что  G   .
причем
равенство достигается только в том случае,
когда подгруппа A(s-1) содержится в пересечении всех неинвариантных подгрупп группы
G. Поэтому, в силу выбора числа s,


  G  . Аналогично
A s 1
G

 s 1


 A
  G  s 1 и, следоs  2 

A
A


A s 1 

вательно,  G  s  2    G   1.
A
G

Пусть теперь в A не имеется бесконечного множества неинвариантных подгрупп
группы G, никакие две из которых не сопряжены в A. Так как A – локально разрешимая
группа, то, в силу теоремы 1, A – абелева
группа. Отсюда вытекает, что всякая циклическая подгруппа из A инвариантна в G и, более того, всякая конечная подгруппа из G инвариантна в G. Предположим, что некоторая
подгруппа y неинвариантна в G. Тогда су-



Продолжая этот процесс далее, получим, что

G

 1. Это означает, что факторA s   G 
группа G  s   G  дедекиндова. Однако это
A
ществует бесконечное множество простых
чисел P таких, что для всякого p  P y p
невозможно, так как, очевидно, факторгруппа
A
A  s   G  
Axi .
торых не сопряжены в A. Так как  G   ,
то без ограничения общности можно полагать
xi1T1 xi  Ti i  1, 2,..., n  . Поэтому подгруппы
Продолжая
процесс
( n)
n
n
i 1
Предположим, что в A имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп
группы G : T1 , T2 ,..., Tn ,... , никакие две из ко-
верить, что xiki 1 , xiki11 1  xi и поэтому
''
n

недедекиндова. Полученное про-
неинвариантна в G. Предположим, что
найдется такой элемент x  G и такие простые числа p, q из множества P, что
тиворечие доказывает теорему.
Теорема доказана.
52
О классах неинвариантных подгрупп в непериодических группах
Список литературы
x 1 y p x  y q . Ясно, что для некоторого
числа sx s  A и поэтому x s  CG  y  . Поэтому, с одной стороны,
1. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только
один класс неинвариантных подгрупп //
Матем. сб. 1926. № 31. С.161–172.
2. Шмидт О.Ю. Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп // Тр. сем. по теории групп. М.; Л.: ГОНТИ, 1938. С.7–26.
3. Ситников В.М., Устюжанинов А.Д. Конечные группы с тремя классами неинваринтных подгрупп // Матем. зап. Урал. унта. 1967. Т.VI, 1. С.94–102.
4. Фаерштейн С.И. Решение одной задачи по
теории групп // Сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-та. 1972. № 110. С.175–189.
5. Фаерштейн С.И. О бесконечных группах с
конечным множеством классов неинвариантных сопряженных подгрупп // Математика: сб. асп. работ. Томск,. 1973. С.51–54.
6. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.
x s y p x s  y q , а с
s
другой стороны – x  s y p x s  y p , что противоречиво. Следовательно, в G имеется бесконечное множество неинвариантных подгрупп y p , p  P , никакие две из которых не
сопряжены в G. Это противоречит тому, что
pG    . Следовательно, предположение о
том, что y неинвариантна в G, неверно. Таким образом, всякая циклическая подгруппа
из G инвариантна в G и, значит, G – абелева
группа.
Теорема доказана.
About classes of nonnormal subgroups
in nonperiodical groups
S. I. Faershteyn
The Perm State Pharmaceutical Academia, Russia, 614990, Perm, Polevaya st., 2
isfaer@rambler.ru; (342) 282-58-29
It is proved that every nonperiodical almost locally solvable group with finite set of classes of
nonnormal subgroups is abelian.
Кey words: nonperiodical groups; classes of nonnormal subgroups.
53