Функции и отображения

Функции и отображения
Отображения. N-местные функции. Понятие
образов и прообразов элементов. Свойства
функций: инъекция, сюръекция и биекция.
Обратные функции. Композиция функций
Определение


Пусть даны два множества Х и У и
каждому элементу х  Х поставлен в
соответствие единственный элемент у 
У, который обозначен через f(х). В этом
случае говорят, что на множестве Х
задана функция f и пишут:
f : Х  У.
Пример


Пусть Х = а; b; с; d, У = ; ; ;  и
функция f:Х У определена так:
f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = .
Х
Y
а
b
с
d








 
 
Определение


Пусть А и В – произвольные множества.
Функцией f, определенной на множестве
А и принимающей значения в множестве
В, называют бинарное отношение f
(отображение) между элементами
множеств А и В, которое каждому
элементу множества А ставит в
соответствие единственный для этого
элемента элемент множества В.
Отображение

Пусть даны два множества Х и У. Всякое
множество f = (х; у) упорядоченных пар
(х; у), х  Х, у У, такое, что для любых
пар (х; у) f и (х; у)  f из условия уу
следует, что х  х, называется функцией,
или, что то же самое, отображением из Х в
У.
Функция

Функция
это
упорядоченная
тройка (или кортеж) объектов (f, X, Y), где



множество X называется областью
определения D(f);
множество Y называется областью значений
R(f) (E(f));
множество упорядоченных пар f⊂X×Y или, что
то же самое, график функции.
Отображение



Если f = (х; у) есть функция, то пишут
f:Хf  У
и говорят, что f отображает множество Хf
во множество У.
В случае Х = Хf пишется просто f: ХУ.
Обозначение



Если f: ХУ – функция и (х; у)  f, то пишут
у=f(х), а также f: х ↦ у, и говорят, что функция f
ставит в соответствие элементу х элемент у или,
что тоже самое, элемент у соответствует
элементу х.
В этом случае говорят также, что элемент у
является значением функции f в точке х или
образом элемента х при отображении f.
Например, запись f(х) = х2 удобнее и проще
использовать при аналитических
преобразованиях, чем запись f:х ↦ х2.
Образ и прообраз


Элемент y=f(x), который сопоставлен
элементу x, называется образом
элемента (точки) x (при отображении f),
а элемент x=f-1(y) называется прообразом
элемента y.



Функция f:ХУ – это специальный вид
бинарных отношений из Х в У, который
удовлетворяет условию:
для каждого х  Х существует единственный
уУ такой, что (х; у)  f.
Один и тот же образ могут иметь несколько
элементов области определения, и что не
все элементы множества У обязаны быть
образами некоторых элементов Х, т.е.
множество значений функции Уf может
совпадать с множеством У, а может быть его
собственным подмножеством.
Образ множества А

Если рассмотреть некоторое
подмножество А области определения
функции f, то можно рассмотреть
совокупность образов всех элементов
множества А, а именно подмножество
области значений (функции f) вида
f(A)={f(x)| x∈A}, которое, называется
образом множества A (при отображении f).
Это множество иногда обозначается как
f[A] или Af.
А
Аf
Взятие образа


Положим, A и B — подмножества области
определения.
Взятие образа (или, что то же самое,
применение оператора f) обладает следующими
свойствами:




f(Ø)=Ø;
A≠Ø ⇒ f(A)≠Ø;
A⊂B⇒f(A)⊂f(B).
Далее



f(А)\f(В)  f(А\В)
образ объединения равен объединению образов:
f(A∪B)=f(A)∪f(B);
образ пересечения является подмножеством
пересечения образов f(A∩B)⊆f(A)∩f(B).
A⊂B⇒f(A)⊂f(B)
f(B)
B
A
f(A)
f(A∪B)=f(A)∪f(B) f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)
B
f(B)
A
f(A)
Полный прообраз


Некоторое подмножество B области значений
функции f, можно рассмотреть совокупность тех
элементов области определения, чьи образы
попадают во множество B, а именно —
множество вида f–1(B)={x| f(x) ∈B}, которое
называется (полным) прообразом множества B
(при отображении f).
Полный образ B при отображении f – это часть
множества B, обозначаемая f(B), для каждого
элемента из которой найдется прообраз.
f-1(B)
B
Взятие прообраза





Если у  У\Уf, то f -1(у) = 
если AB, то f -1(A)  f -1(B);
f -1(S \ Т) = f -1(S) \ f -1(Т),
прообраз объединения равен
объединению прообразов:
f–1(A∪B)=f–1(A)∪f–1(B);
прообраз пересечения равен пересечению
прообразов
f–1(A∩B)=f–1(A)∩f–1(B).
f–1(A∪B)=f–1(A)∪f–1(B) f–1(A∩B)=f–1(A)∩f–1(B)
f-1(B)
B
f-1(A)
A
Сужение функции




Если АХ, то f:Х  У, то хА ⇒ f(х).
Эта функция называется сужением
функции f на множестве А и иногда
обозначается fА.
fА: АУ ∀хА ⇒fА: х f(х).
Если А ⊆ Х, то fА, чем функция f, и,
следовательно, является другой, чем f,
функцией.
Равенство отображений





Отображения f:A→B и g:A→B называются
равными, если ∀x∈ A f(x)=g(x).
Преобразование f:X→X, которое сопоставляет
каждой точке x множества X её саму или, что
тоже самое, f(x) = x для каждого x∈X, называется
тождественным.
idX или, проще, id ( от англ. identity - идентичный.
1X
Такое отображение является унарной
операцией, заданной на множестве X. Поэтому,
нередко, тождественное преобразование
называют единичным.
Виды отображений



инъективные («вложение»);
сюръективные («наложение»);
биективные («и то, и другое») ≡
инъективное&сюръективное.
Отображения
На множество
«сюръекция»
Соответствие. при котором
каждому элементу множества А
указан единственный элемент
множества В, а каждому
элементу множества В можно
указать хотя бы один элемент
множества А, называется
отображением множества А на
множество В
Во множество
«инъекция»
Соответствие. при котором
каждому элементу множества А
указан единственный элемент
множества В, а каждому
элементу В соответствует не
более одного прообраза из А,
называется отображением
множества А во множество В
Сюръекция




f:Х  У. Иначе ∀х  Х ∃у  У, и у  Уf  У
поставлен в соответствие хотя бы одному
элементу х  Х.
Если У=Х, то отображение f отображает
множество Х в себя.
Если У=Уf , то f отображает множество Х
на множество У
f:Х  У сюръекция, ∀у  У ∃х  Х, что
f(х)=у.
Сюръективное отображение




f: X → Y сюръективно, если f(A) = B
Функция f сюръективна, если образ
множества X при отображении совпадает
с множеством Y: f[X] = Y.
Такое отображение называется ещё
отображением на.
Если условие сюръективности
нарушается, то такое отображение
называют отображением в.
Инъекция


f:Х  У разным х  Х соответствуют
разные у  У, т.е. при х  х ⇒ f(х)  f(х)
f:Х  У инъективно тогда и только тогда,
когда прообраз каждого элемента у,
принадлежащего множеству значений
функции f, т.е. y ∈ Уf, состоит в точности
из одного элемента.
Сюръективное отображение



f: X →Y , если x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), т.е.
различные элементы имеют различные
образы.
Функция f - инъекция, если разным
элементам множества X сопоставлены
разные элементы множества Y.
f инъективна, если f(x1) = f(x2), x1 = x2.
Биекция


Если f:Х  У является одновременно
инъекцией и сюръекцией, то оно
называется биективным отображением
или биекцией.
A(x)=y, A-1(y)=x.
Пример 1

Функция f:R  R, f(х) = х2 не является ни
инъекцией, ни сюръекцией, так как разным
элементам, например, х = 2 и х = -2
соответствует одинаковый образ 4, и
любое отрицательное действительное
число не является образом ни для одного
из элементов области определения.
Пример 2

Функция f: a; b; c; d  , , , , ,
заданная следующим образом: f(а) = , f(b)
= , f(c)= , f(d) =  является инъективной и
не является сюръективной
а



b

c

d





Пример 3

функция g:a; b; c; d; e  ; ; ; ,
определенная так g(a) = , g(b) = , g(c) =
, g(d) = , g(e) =  является сюръективной
и не является инъективной.
Х
g
a

b
c
Y








d
e



Метод доказательства с
помощью контрапозиции


Доказывается, что для всех х и х  Х из
f(х)= f(х) ⇒, что х= х.
Конечно, чтобы показать, что функция не
является инъективной, нам достаточно
найти контрпример, то есть найти два
разных элемента х1 и х2  Х, у которых
образы равны: f(х1) = f(х2).
Пример 4




Любая линейная функция f:RR,
f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные
действительные числа, а0) является и
инъективной и сюръективной, т.е.
биекцией.
Для всех действительных чисел х и х из
равенства f(х)= f(х) ⇒, что х= х.
Итак, пусть f(х)= f(х)  ах + b = ах + b
 ах= ах  х= х, поэтому f – инъекция.
Пример 4

Предположим, что у – любое
действительное число.
Мы должны найти х  R такое, что f(х) = у.
Пусть
y b
х
a
тогда х  R и

поэтому f - сюръекция.



y b
y b
f ( x)  f (
)a
b  y bb  y
a
a
Примеры


Рассмотрим f: Х  У, где Х и У –
подмножества R.
Предположим, что f не инъективна. Тогда
существуют два элемента х и х в Х
такие, что х х, но f(х)= f(х) = b, то есть
горизонтальная прямая у = b должна
дважды пересечь график функции в
точках, которые отвечают х = х и х = х.
y
y = f(x)
b
X
х
х
x
Примеры


Если f – инъективна, то горизонтальная
прямая у = b, проведенная через любую
точку b  У на оси Оу, никогда не будет
иметь с графиком функции более, чем
одной общей точки.
Если же f – сюръективна, то Уf = У, и любая
горизонтальная прямая, проходящая через
точку множества У, обязательно будет
иметь общую с графиком точку.
Теорема

Пусть f:Х  У – функция, где Х и У –
подмножества R. Тогда:


f – инъективна, если и только если каждая
горизонтальная прямая, проходящая через
точку b на оси Оу, будет иметь самое большее,
одну общую точку с графиком f(х);
f – сюръективна, если и только если каждая
горизонтальная прямая, проходящая через
точку b  У оси Оу, будет иметь, по крайней
мере, одну общую точку с графиком f(х).
Примеры
а)
y
Y
0
X
x
Примеры
y
Y
0
X
x
в)
y
Y
0
X
x
Обратное отображение


f: X → Y - биекция.
Тогда отображение f–1, при котором
каждому элементу множества Y ставится в
соответствие его прообраз из множества
X, называется обратным отображением
для f и записывается f–1: Y→X или
1
Y  X
f

Отображение, у которого определено
обратное, называется обратимым.
Обратимое отображение

Если отображение обратимо, прообраз
каждой точки области значений
одноточечный, поэтому

образ пересечения равен пересечению
образов: f(a∩b)=f(a)∩f(b).
Композиция функций


Пусть f:ХУ и g:УZ – функции.
Функция F:XZ, определенная для
каждого хХ формулой F(x)=g(f(x))
называется композицией
(суперпозицией) функций f и g, или
сложной функцией, и обозначается f∘g
Композиция
f
Х
Y
g
Z
g(f(x))=
x

f(x)

(g∘f)(x)

Пример




Пусть Х= a; b; c; d; e, У= ; ; ; , Z=
1; 2; 3; 4; 5; 6. Пусть f:Х У и g:УZ –
функции, определенные соответственно
так:
f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = f(e) = ;
g() = 3, g() = g() = 5, g() = 1.
Тогда композиция функций : g∘f: ХZ
будет:

а ↦ 5, b ↦ 3, с ↦ 5, d ↦ 5, e ↦ 5.
Пример
f
X
a

b
Y


c
d










e
Z



g



1
2
3
4
5
5
6
Неверно!
s x   f  x   g  x 
f x   g x 