ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ А. Суханов

28 сентября 2006 г.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ
С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
А. Суханов
ИКИ РАН
sukhanov@iki.rssi.ru
sasha@dem.inpe.br
Метод транспортирующей траектории (МТТ)
В.В. Белецкий, В.А. Егоров, Межпланетные полеты с двигателями постоянной
мощности, Космические исследования, 1964, № 3
Метод приближенной оптимизации перелетов с идеально регулируемой малой
тягой между двумя заданными положениями, основанный на линеаризации
траектории перелета около некоторой опорной кеплеровской орбиты
(транспортирующей траектории).
• Орбитальная система координат
• Постоянная мощность тяги
• Решение частично в квадратурах
• Приемлемая точность только при небольшой угловой дальности
Модифицированный МТТ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Инерциальная система координат
Полностью аналитическое решение для постоянной мощности
Решение в квадратурах для произвольного закона изменения мощности
Ненулевые концевые смещения транспортирующей
траектории, повышающие точность аппроксимации
Возможность частично заданных граничных условий
Перелеты с большой угловой дальностью (включая многовитковые орбиты)
Возможность получения любой требуемой точности вычислений
Возможность облета нескольких небесных тел
Применение при линейных ограничениях на направление тяги
А.А. Суханов, Оптимизация перелетов с малой тягой, Космические исследования,
1999, № 2
А.А. Суханов, Оптимизация межпланетных перелетов с малой тягой, Космические
исследования, 2000, № 6
А.А. Суханов, А.Ф.Б. де А. Прадо, Модификация метода транспортирующей
траектории, Космические исследования, 2004, № 1
А.А. Суханов, А.Ф.Б. де А. Прадо, Оптимизация перелетов при ограничениях на
направление тяги, Космические исследования (в печати)
МТТ в произвольном поле сил
x  f x, t   g
x(t0) = x0 ,
– уравнение движения, g = {0, }
x(tк) = xк
– граничные условия
y(tк) = yк
 граничные условия на транспортирующей
траектории
– решение уравнения x  f x, t 
y = y(t)
y(t0) = y0 ,
 – вектор реактивного ускорения КА (тяга)
х=у+
ξ  Fξ  g
(t0) = x0 – y0 = 0 ,
(tк) = xк – yк = к
t
ξ  ξt   Φt , t0  ξ 0   Φt , g  d
t0
F
f
y
Φ  Φt , t0  
y t 
y t0 
  FΦ
 матрица изохронных производных, Φ
МТТ в произвольном поле сил
Δ  Ψ êξ ê  ξ 0
t
S  St 0 , t     Ψ v Ψ Tv dt, S ê  St 0 , t ê 
t0
α =  Ψ Tv S ê1Δ

x  y  Φ ξ 0  S S ê1Δ

Ψ  Ψt , t0   Φt0 , t   Φ 1 t , t0 
  ΨF
 сопряженная матрица, Ψ
Ψ   Ψr Ψv 
N = N0  мощность,  = (r, t), (r0, t0) = 1
Свойства:
• Матрица S = S(t, t + t) является невырожденной положительно определенной
для любых значений t и t > 0
• Оптимальная тяга может обращаться в нуль лишь в изолированных точках,
причем в этих точках знак тяги меняется на противоположный (т.е. эти точки
являются точками переключения) и число таких точек конечно
Обеспечение любой заданной точности
Интервал времени полета разбивается на n подынтервалов и МТТ применяется
к каждому подынтервалу в отдельности.
Проблема заключается в нахождении граничных условий 1, ..., n1 для
подынтервалов.
Ξ  ξ1 ,...,ξ n1  вектор размерности 6n  6
Ξ  D1 d
 D1
 E T
 2
 0

D  .
 .

 .
 0
 E2
D2
0
 E3
.
.
.
.
.
.
 E 3T
D3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D n 3
 E n2
Dn2
 E Tn 1
.
.
.
 E Tn  2
.
.
.
0



. 

. 
0 

 E n 1 
D n 1 
0
.
 симметричная
матрица порядка
6n  6
Di, Ei  матрицы 6-го порядка, вычисляемые на i-м подынтервале
Достижение любой заданной точности
Ξ  D1d, Ξ  ξ1 , ..., ξ n1, ξ i  ρi , ηi 
Ограничения на направление тяги
B = B(x, t)  матрица ранга 1 или 2
B = 0

P  I  BT BBT

1
tк
B
S к    Ψ v P Ψ Tv dt
t0
α = P Ψ Tv S ê1Δ
 проективная матрица
Способы вычисления необходимых компонентов
Задача двух тел
• Матрицы ,  вычисляются аналитически
• Матрица S вычисляется аналитически или в квадратурах
• Транспортирующая траектория: кеплеровская орбита, найденная путем
решения задачи Ламберта
Произвольное поле сил
• Матрицы ,  вычисляются численным интегрированием уравнений
в вариациях совместно с уравнениями движения
• Матрица S вычисляется в квадратурах
• Транспортирующая траектория является решением краевой задачи
Основным препятствием на пути применения МТТ в произвольном поле сил
является проблема нахождения транспортирующей траектории заданного типа
Пример множественности решений
Решение краевой задачи в произвольном поле сил
• Задаются характерные образцы орбит разных типов (исходные орбиты)
• Применяется некая пошаговая математическая процедура перехода от
исходной орбиты к орбите между двумя заданными положениями с
заданным временем перелета
Модель движения Хилла
Уравнения движения:
r  v,
v  2Nr  2Mv 

r
3
r
3 0 0 
 0 1 0
N  0 0 0 , M   1 0 0
0 0  1
 0 0 0

0
a3 2
Коллинеарные точки либрации L1 и L2:
rL = {xL, 0, 0}, x L
1
3
 
3
  a
 3 
 = 1496.5610 км для с.-з. системы
0 

Матрица изохронных производных Ф:
0
I 


  rr T


  F , F   2
, G  3  3 2  I 

r  r
 N  G 2M 

Исходные орбиты в модели движения Хилла
Тип орбиты
Тип
Число
перелета витков
EE
0
1
2
y
y
L1
L2
x
L1
y
EL
0
x
0
L1
L2
L1
x
L1
L2
x
1
L1
x
L1
x
L1
7
8
9
–
–
–
–
–
–
–
y
y
x
–
–
–
–
–
x
–
–
–
–
–
y
y
y
y
y
L2
L1
x
x
L1
L2
y
L2
L1
x
L1
L2
x
L2
L1
x
L1
x
L1
L2
x
L1
y
L2
x
x
x
L1
x
L1
L2
x
L1
y
x
L2 L1
L2
x
L1
y
L1
y
L2
L2
y
L2
L1
y
L2
L2
y
y
y
L2
6
y
L2
L1
y
2
x
y
L2
5
y
L2
L1
4
L1
y
y
LL
x
y
y
0
L2
L1
y
LE
x
y
L2
L1
L2
3
x
L1
x
L1
y
L2
x
L1
y
L2
x
L1
L2
x
L1
y
x
L2
L1
y
L2
L2
L1
x
y
L2
x
x
L2
L1
y
x
L2
L2
y
L2
x
L1
x
L2
Демонстрация метода
Перелет Земля  гало-орбита
y
2E-006
Ãàëî î ðáèòà
L1
Ï åðåëåò
ñ ì àëî é òÿãî é
x
Çåì ëÿ
-1000
Ï àññèâí û é
ï åðåëåò
Ðåàêòèâí î å óñêî ðåí èå, g
1000
1E-006
0E+000
0
-1000
z
Ãàëî î ðáèòà
x
-1000
Çåì ëÿ
Ï åðåëåò
ñ ì àëî é òÿãî é
-600
150
• Относительная ошибка минимизируемого
функционала < 0,002 достигается при n = 22
Ï àññèâí û é
ï åðåëåò
L1
100
Âðåì ÿ ï î ëåòà, ñóòêè
Ñî ëí öå
600
50
• Плохая сходимость при 7  n  20
200
Перелет между гало-орбитами
y
Ï àññèâí û é
ï åðåëåò
L1
Ãàëî î ðáèòà
-1000
600
Çåì ëÿ
L2
1000
Ï åðåëåò
ñ ì àëî é òÿãî é
x
Ãàëî î ðáèòà
-600
Ñî ëí öå
600
z
Ï àññèâí û é
ï åðåëåò
Ðåàêòèâí î å óñêî ðåí èå, g
4E-006
3E-006
2E-006
1E-006
0E+000
0
L1
Ãàëî î ðáèòà
-1000
L2
1000
Ï åðåëåò
ñ ì àëî é òÿãî é
-600
x
Ãàëî î ðáèòà
• Относительная ошибка минимизируемого
функционала < 0,002 достигается при n = 35
• Плохая сходимость при n  15
50
100
150
Âðåì ÿ ï î ëåòà, ñóòêè
200
Характеристики перелетов
J  минимизируемый
функционал
N0  начальная мощность
~
N 0  N 0 m0
J
mðò  ~
m0
N0  J
Ограничение на
направление тяги:
тяга ортогональна
направлению на Солнце
Земля – L1
L1 – L2
0,15
0,15
J, м2/с3
0,00168
0,00291
v, м/с
230
292
mрт/m0
0,011
0,019
1600 – 5000
800 – 7700
Земля – L1
L1 – L2
0,1
0,2
J, м2/с3
0,00212
0,00732
v, м/с
243,4
453,4
m рт /m 0
0,042
0,073
800 – 8000
500 – 6500
~
N 0 , Вт/кг
Диапазон изменения Iуд, с
~
N 0 , Вт/кг
Диапазон изменения Iуд , с