28 декабря 2004 г. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ А. Суханов ИКИ sukhanov@iki.rssi.ru Движение с малой тягой Уравнения движения: r v, v μ rα 3 r вектор реактивного ускорения Мощность тяги: m c 2 N N r , t 2 Реактивное ускорение: m c 2 N , с скорость истечения α m mc Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ): 2 N max N Nmax , c меняется произвольным образом, m c2 Оптимизация идеально регулируемой тяги Минимизируемый функционал: 1 1 2 J dt 2 t0 N Функция Гамильтона: 2 T T H p r v 3 pv r pTv (pv – базис-вектор Лоудена) 2N r H H T pTr , pv сопряженные уравнения в вариациях r v t A = [P Q] общее решение (матрица 6-го порядка) pv = QT Оптимальная тяга: = arg max H = Npv = NQT Метод транспортирующей траектории (МТТ) В.В. Белецкий, В.А. Егоров. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности, Космические исследования, 1964, № 3 МТТ: метод приближенного решения задачи оптимального перелета с идеально регулируемой малой тягой постоянной мощности между двумя заданными положениями, основанный на линеаризации траектории перелета около некоторой близкой кеплеровской орбиты (транспортирующей траектории, опорной орбиты) разность между положениями на траектории КА и транспортирующей траектории ρ Gρ α , G матрица 3-го порядка (t0) = (t1) = 0 граничные условия Задача решается в транспортирующей (орбитальной) системе координат Модификация метода транспортирующей траектории f f x v, x f x g y f y x r, v, 3 r , g 0, α r x = x(t), y = y(t) векторы состояния траектории КА и опорной орбиты (транспортирующей траектории) = х у вектор состояния линеаризованной задачи f ξ Fξ g, F x (t0) = 0, (t1) = 1 граничные условия Задача решается методом вариации произвольной постоянной: = (t, t0) матрица изохронных производных, общее решение уравнений в вариациях FΦ Φ ξ Φt , t0 ξ 0 Φt , g d t t0 Декомпозиция матрицы изохронных производных (t, t0) = А1А0 A = A(t) = [P Q] матрица 6-го порядка, общее решение сопряженного уравнения в вариациях AF A P, Q подматрицы 63, A0 = A(t0) А, А1 найдены аналитически в явном виде Б.Ц. Бахшиян, А.А. Суханов. Об изохронных производных первого и второго порядка в задаче двух тел, Космич. Исслед., 1978, № 4. А.И. Назаренко, Б.С. Скребышевский. Эволюция и устойчивость спутниковых систем, М.: Машиностроение, 1981. А.А. Суханов. Об изохронных производных в задаче двух тел, Космич. Исслед., 1990, № 2. Модификация метода транспортирующей траектории ξ Φt , t0 ξ 0 Φt , g d t t0 (t, t0) = А1А0 g = 0, , = NQT, = const неизвестный вектор ξ A A 0ξ 0 A Sβ, S St0 , t NQQT dt 1 1 t t0 S матрица 6-го порядка. Матричный интеграл S вычисляется: • аналитически для постоянной тяги N = const • с тремя скалярными квадратурами для солнечной энергетики • в квадратурах для произвольной энергетики N = N(r, t) Модификация метода транспортирующей траектории S St0 , t NQQT dt t t0 Матрица QQT вырожденна, однако матрица S является невырожденной на любом интервале времени. = Aкк A00 вектор граничных условий = Sк, β S к1Δ α t NQ TS к1 xt y t A 1 A 0ξ 0 SS к1 1 J TSк1 2 оптимальная тяга вектор состояния КА минимизируемый функционал Дополнительные возможности Концевые смещения транспортирующей траектории 0 0, 0, к к, к В классическом МТТ 0 = к = 0 В модифицированном МТТ в общем случае 0 0, к 0, что позволяет лучше аппроксимировать траекторию Частично заданные граничные условия 1. Пролет небесного тела с произвольной скоростью, т.е. к не задано ηк 1 T 1 T 1 Qк Sк Qк Qк Sк A0ξ 0 Pкρк 2. Энергия запуска h задана, а направление выбирается произвольно ρ0, η0, ρк , ηк заданы, η0 η0 v v v h v I QT0 S к1Q0 1 QT0 S к1 A кξ к P0ρ0 Q0 η0 неопределенный множитель Разбиение времени полета на подынтервалы Разбиение интервала времени перелета на подынтервалы используется: • для повышения точности МТТ • при облете нескольких небесных тел t1, …, tn–1 моменты времени, разделяющие подынтервалы, tn = tк pi , pi значения параметров в момент ti на i-м и (i+1)-м подынтервалах соответственно 1 i 2 1 T 1 Ji dt Δi Si Δi 2 ti 1 N 2 t ti Si Sti 1 ,ti NQQT dt ti 1 Δi = Aiξi Ai1ξi1 n J Ji i 1 минимизируемые функционалы Повышение точности МТТ n 1 n T 1 J J i Δi S i Δi 2 i 1 i 1 u скорость на транспортирующей траектории ui ui ui ξ i ξ i 0, ui Δi Aiξ i Ai1ξ i1 Qi ui Ξ = ξ1 , ..., ξ n1 J 0 Ξ D1Ξ d1 D1, d1 известные матрица и вектор ТТ транспортирующая траектория ТП траектория перелета Порядок матрицы D1: = 6n 6 при заданных граничных условиях = 6n 3 или 6n при частично заданных граничных условиях Оценка точности метода Если n велико, то i = const внутри i-го подынтервала отклонение КА от транспортирующей траектории: t t ~ i к 0 2 n i tк t0 ~ n 2 по положению и по скорости следует ожидать, что ошибка вычислений ~ 1 1 по положению и по скорости ~ 2 n n Облет нескольких малых небесных тел n 1 n T 1 J J i Δi S i Δi 2 i 1 i 1 Vi скорость i-го тела wi скорость пролета i-го тела, wi wi wi Δi = Piρi Qi Vi ui w i Pi1ρi 1 Qi1 Vi 1 ui1 w i 1 W w1 , ..., w n1 J 0 W D2 W d 2 D2, d2 известные матрица и вектор Порядок матрицы D2: = 3n 3 при заданных граничных условиях = 3n или 3n + 3 при частично заданных граничных условиях Облет массивных небесных тел w i , w i асимптотические скорости подлета и отлета i, Ri, Ai гравитационный параметр i-го тела, min расстояние сближения и max угол поворота асимптотической скорости A 1 sin i , wi2 cos Ai w i w i wi2 2 2 1 Ri wi i w i w i wi2 , w i w i wi2 Qi TSi1Δi i1w i i 3w i 0, QiT1Si11Δi 1 i 2 w i i 3w i 0, w i w i i3i 0 wi2 2wi2 1 1 R w 2 i i 2 i i 2 i1, i2 , i3 неопределенные множители i дополнительная переменная Неизвестные: w i , w i , wi , i , i1, i 2 , i 3 Перелет ЗемляВеста Численный пример: перелет ЗемляВеста в 2004 г. за 3 года. Выход КА из сферы действия Земли и сближение с астероидом с нулевой скоростью. Число подынтервалов от 1 до 100. v 0.1 J r 0.01 t0 t tк 2 J, m /m0 t0 t tк r = max /r, v = max /v 1 1 m /m0 0.001 0 0.0001 1 10 100 Число подынтервалов Максимальные приведенные отклонения от транспортирующей траектории 1 10 Число подынтервалов Минимизируемый функционал и отношение конечной массы к начальной 100 Перелет ЗемляВеста 20.12.2004 Меркурий Венера Земля Марс 20.12.2007 Веста Спиральный межорбитальный перелет Плоский спиральный перелет между близкими эллиптическими орбитами ИСЗ. Время перелета 1 сут., оптимальная угловая дальность 6 об. + 300° 50 подынтервалов Спиральный межорбитальный перелет Оптимальный перелет (по оси абсцисс истинная аномалия) /g Угол между и v Удельный импульс /r, /v Спиральный межорбитальный перелет Угловая дальность меньше оптимальной на 4° /g Угол между и v Удельный импульс /r, /v Спиральный межорбитальный перелет Угловая дальность больше оптимальной на 4° /g Угол между и v Удельный импульс /r, /v Выводы Преимущества модифицированного МТТ перед классическим: • Инерциальная система координат • Полностью аналитическое решение для постоянной мощности • Решение в квадратурах для произвольного закона изменения мощности • Ненулевые концевые смещения, повышающие точность аппроксимации • Возможность частично заданных граничных условий • Возможность получения любой требуемой точности вычислений • Возможность многовитковых траекторий перелета • Возможность облета нескольких небесных тел