Закон сохранения энергии в механике Закон сохранения энергии материальной точки, находящейся в потенциальном поле Потенциальное поле – поле консервативных сил. Е Ек E p (1) полная механическая энергия системы. dA–совершается dE к (2) работа, идущая на увеличение Ек. – связь силы и dA F dx dE p (3) потенциальной энергии F dE p . dx d Eк E p d A A 0.(4) dE 0 E const. Полная механическая энергия материальной точки (тела, частицы), находящейся в потенциальном поле (в консервативной системе), есть величина постоянная, т.е. с течением времени не меняется. Потенциальные кривые Одномерное движение тела (материальной точки). В этом случае Ер является функцией лишь одной переменной (например, координаты х) – Ер (х). График зависимости Ер от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых определяет характер движения тел. Рассмотрим консервативную систему, т.е. систему, в которой превращение механической энергии в другие виды отсутствует. В ней действует закон сохранения энергии: Е Ек E p . Кинетическая энергия не может быть Е к min 0. отрицательной, потому Для частиц (материальных точек)E p ( x) E. E p П олн ая эн е р ги я E E част и цы p m in (F = 0 ) 0 a b c d e x E p П олн ая эн е р ги я E E част и цы p m in (F = 0 ) 0 a b c d e x • Области (ab); (cd): частица находится в потенциальной яме и совершает движение в ограниченной области пространства – финитное движение (ограниченное). • Области (bc); (de) содержат потенциальный барьер. Частица в этой области находиться не может. Т.е. классическая частица потенциальный барьер преодолеть не может. • Область (е +∞): частица может уйти как угодно далеко – инфинитное движение (неограниченное). Закон сохранения энергии в механике Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек массой mi, движущихся со скоростями vi. в нутр Fi конс – внутренние консервативные силы. в неш i конс F в неш i неконс F – внешние консервативные силы. – внешние неконсервативные силы. Второй закон для i точки: Ньютона dvi внутр внеш внеш mi Fi конс Fi конс Fi неконс .(1) dt Под действием силы точка за время dt совершает перемещение dr : i внутр внеш внеш dri mi dvi Fi конс Fi конс Fi неконс dri .(2) dt vi внутр внеш внеш mi vi dvi Fi конс Fi конс dri Fi неконс dri .(3) Суммируя по всем точкам, получаем: n i 1 n внутр внеш n внеш mi vi dvi Fi конс Fi конс dri Fi неконсdri .(4) i 1 i 1 mi vi2 dvi2 mi d 2 2 т mi vi2 dEк d 2 i 1 работа конс х сил dAконс dE p работа внеш х неконс х сил d Eк E p dA.(5) изм енение пол ной м ех. энергии сист. При переходе системы из одного состояния в другое: работа, совершаемая внешними d E E A p 12 1 к неконсервативными силами. 2 E Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, т.е. A12 0 dE 0, (6) E const .(7) Полная механическая энергия консервативной системы есть величина постоянная, с течением времени не меняется. Консервативной системой называется механическая система, внутренние силы которой консервативны, а внешние силы – консервативны и стационарны. Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. физические законы инвариантны относительно начала отсчета времени. ● Замкнутая система – частный случай. В этом случае внешние силы не рассматриваются, т.е. Fв неш 0 E const – полная механическая энергия системы. Происходит превращение Ep → Ек, и обратно Ек → Ep . Наряду с консервативными силами в системе могут существовать неконсервативные силы (диссипативные, например, Fтр). В этом случае с течением времени полная механическая энергия системы уменьшается. Но механическая энергия не исчезает, она переходит в другие виды энергии, например, при Fтр во внутреннюю энергию. Закон сохранения энергии в механике является частным случаем фундаментального (всеобщего) закона сохранения энергии: сумма всех видов энергии в замкнутой системе постоянна E i const . Применение законов сохранения импульса и энергии для анализа упругого и неупругого ударов шаров Понятие об ударе в физике Удар – кратковременное взаимодействие двух или более тел. Центральный удар (двух шаров) – удар, при котором движение происходит по прямой, соединяющей центры тел. Сила взаимодействия при ударе тел dv dv велика t 0 ; m F велика dt dt следовательно, внешними силами, действующими на тело, можно пренебречь. Поэтому систему тел в процессе удара можно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Тело во время удара претерпевает деформацию. Кинетическая энергия во время удара переходит в энергию деформации. F • Если деформация упругая, то тело стремится принять прежнюю форму. Следователь, имеем упругий удар. • Если деформация неупругая, то тело не принимает прежнюю форму – неупругий удар. Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами. В общем случае относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения, т.к. нет идеально упругих тел. Коэффициент восстановления – отношение нормальных составляющих относительной скорости после удара un и до удара vn: un . vn ε = 1 – абсолютно упругий удар. ε = 0 – абсолютно неупругий удар. Абсолютно упругий удар – удар, при котором внутренняя энергия соударяющихся тел не изменяется. v1 m 1 v2 m - kx u kx m 2 В о зн и ка е т F упр u 1 m 1 2 = - kx, ш а р ы р а зд ви га ю т ся и Е к восст анавливает ся. Закон сохранения импульса: m1v1 m2 v2 m1u1 m2 u 2 .(1) Закон сохранения энергии: 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 mv m2 v mu m2u .(2) 2 2 2 2 2 m1 v1 u1 m2 u 2 v2 .(3) m1 2 m2 2 2 2 v1 u1 u 2 v2 .(4) 2 2 Уравнение(4) v1 u1 u2 v2 .(5) (3) u2 v1 u1 v2 .(6) Уравнение(6) (1) : m1v1 m2v2 m1u1 m2v1 m2u1 m2v2 .(7) 2m2 v2 m1 m2 v1 u1 .(8) m1 m2 Уравнение(8) (6) 2m1v1 m2 m1 v2 u2 .(9) m1 m2 0 2m2v2 m2v1 m2 m1 ; v2 0 u1 v1 , m2 0 2m1v1 m2 0 v2 m1 u2 2 v1 0. m2 m2 p2 m2u2 2m1v1 . 2m2 v2 m2 v1 m2 m1 ; v2 0 u1 2v2 v1 . m2 m2 m1 ; v2 0 u1 2v2 v1 ; u1 0 если m2 m1 u1 v2 ; u 2 v1 . При одинаковых массах происходит обмен скоростями. v1 v2 . 2 Абсолютно неупругий удар – удар, при котором полная механическая энергия соударяющихся тел не сохраняется, частично переходит во внутреннюю энергию; импульс сохраняется. v1 m v2 m 1 2 vx m 1 m 2 v 1> v 2 При абсолютно неупругом ударе тела после удара двигаются с одинаковой скоростью. m1v1 m2 v2 m1 m2 v x .(1) m1 m2 v mv m2 v Q.(2) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 x m1v1 m2 v2 Из уравнения(1) v x .(3) m1 m2 ● Наковальня m1v1 0 m2 m1 ; v2 0 v x 0. 0 m2 Вся энергия переходит в теплоту или деформацию. m1v1 m2v2 vx .(3) m1 m2 ● Удар молотка по гвоздю. m1 m2 ; v2 0 v x v1 . Вся энергия переходит в механическую энергию.