Случайные величины и их распределения

Кривые распределений
Рассмотрим полигон частостей какоголибо распределения. Если увеличивать
число членов совокупности, уменьшая в
то же время интервалы, на которые
разбиваются значения аргумента, то
звенья полигона будут становиться всё
мельче и мельче, а сам полигон
становится всё более похожим на
плавную кривую линию.
1
• Иногда кривую распределения и её
уравнение удаётся получить из
теоретических соображений.
• Кривые распределения употребляются
для изучения законов распределения
частостей, их свойств, для сравнения
распределений между собой и т.п.
2
Пример теоретического
дискретного распределения –
биноминальное распределение
Для числа сочетаний справедливы некоторые
тождества, в частности:
3
Треугольник Паскаля
Треугольная таблица предложена Паскалем в «Трактате
об арифметическом треугольнике» (1654),
4
Формула Бернулли. Биномиальный
закон распределения
• Пусть производится n независимых
испытаний. Каждое испытание имеет 2
исхода: успех и неуспех. Это два единственно
возможных и несовместных, т.е.
противоположных события. Обозначим
вероятность успеха через р (является
постоянной от испытания к испытанию). Тогда
вероятность неуспеха q = 1 – р
(решка обозначим это событие буквой P, а
противоположное ему – выпадение герба –
буквой О).
5
• Подумаем, какие распределения в этом случае
можно считать равновероятными. Допустим, мы
кинули монету три раза, при этом могли
возникнуть такие комбинации:
ООО;
ООР; ОРО; РОО;
ОРР; РРО; РОР;
РРР.
Эти комбинации равновероятны.
Видно, что вероятность того, что событие Р
наступит k раз из N, равна произведению:
1. вероятности того, что k раз случилось событие
Р равно (p (Р))k.
(в случае бросания монеты p = 1/2)
6
2. вероятности того, что N – k раз случилось
событие «не Р». В нашем случае это событие
«О» равно
(p (О))N – k;
3. числа перестановок
Таким образом, распределение, описываемое
формулой
называется биномиальным.
7
M = N p,
D = N p (1 – p).
Биноминальное распределение
при различных параметрах
8
• Если частости какой-либо совокупности
действительно подчинены некоторому
закону, то он проявляется тем
отчётливее, чем больше объём
совокупности, ибо с увеличением n
увеличиваются шансы того, что
различные случайные причины,
вызывающие отклонение частостей
определённых значений аргумента от их
истинных значений, уравновесятся.
9
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
• Величина, которая в результате испытания
может принять то или иное значение, заранее
неизвестно, какое именно, считается
случайной.
• Дискретной (прерывной) случайной
величиной называется такая случайная
величина, которая принимает конечное
или бесконечное (счетное) число
значений, с определенными
вероятностями.
10
• Соотношение, устанавливающее связь между
отдельными возможными значениями
случайной величины и соответствующими им
вероятностями, называется законом
распределения дискретной случайной
величины.
• x1, x2,…,xn – значения случайной величины
X, pi=P(X=xi) - вероятность появления
значения xi
X1
X2
X3
…
xn
P1
Р2
Р3
…
Рn
11
• Для любой дискретной случайной
величины
p1+p2+p3+…+pn= Σpi = 1 , i=1…n
• Дискретная случайная величина может
быть задана графически
многоугольником (полигоном)
распределения или функцией
распределения
F(x)=P(X<x)= Σpi для всех xi<x
(т.е. суммируются вероятности тех значений xi , которые
лежат левее точки х)
12
Пример
xi
pi
F(x)
pi
0
0,04
0
x<0
0,5
0,45
0,4
0,35
1
0,26
0,04
0,3
0<x<=1
0,25
0,2
0,15
2
0,46
0,3
0,1
1<x<=2
0,05
0
0
3
0,24
0,76
1
2
3
4
2<x<=3
F(x)
1
x>3
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
0
2
4
136
• Вероятность того, что случайная
величина X примет какое-нибудь
значение, удовлетворяющее
неравенству α <X < β, равна
приращению ее функции
распределения F(x) на этом интервале
P(α <X < β)=F(β)-F(α).
14
Числовые характеристики
дискретной случайной величины
По аналогии со среднеарифметической
строится теоретическая среднеарифметическая
k
M x   pi * xi
i 1, k
Называют математическим ожиданием.
15
• Математическое ожидание есть постоянное
число, около которого колеблется средняя
арифметическая отдельных значений
случайной величины, полученных в
результате испытаний.
• Математическим ожиданием М(х)
дискретной случайной величины X
называется сумма произведений всех ее
возможных значений на
соответствующие им вероятности
16
Пример. Продавец мороженого в солнечный
день может продать мороженого на 1600 руб., а
в дождливый - на 200 руб. Какова ожидаемая
дневная выручка, если вероятность того, что
день окажется солнечным, равна 0,7?
Решение.
• Ряд распределения дискретной случайной
величины X - возможная выручка в дождливый
и солнечный дни - имеет вид:
• М(Х)= 200*0,3 + 1600*0,7 = 60 + 1120 = 1180
• Продавец будет иметь дневную выручку,
равную 1180 руб.
17
Свойства Математического
ожидания
•
•
•
•
•
М(С)= С, где С-const;
М(СХ) = СМ(Х);
М(Х±У) = M(X)±M(У), для любых X и У;
M(XY)=M()*M(Y),еслu X и У независимы;
М(Х-М(Х))=О.
Дискретные случайные величины X и У
независимы, если при любых i и j события
X = xi и Y = yj
(i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,т) независимы.
18
Числовые характеристики дискретной
случайной величины. Дисперсия
• Разброс отдельных значений признака около
средней характеризовался дисперсией
D(x)=Σ(xi-Xср)2*mi/n
i=1…n
• Аналогично рассеяние возможных значений
случайной величины около ее
математического ожидания характеризуется
теоретической дисперсией
D(x)=Σ(xi-M(X))2*mi/n
i=1…n
19
• Дисперсию можно определить как
математическое ожидание квадрата
отклонений случайной величины от ее
математического ожидания:
Д(Х)=М(Х-М(Х))2
Средним квадратическим отклонением
случайной величины X называется
корень квадратный из дисперсии
 x  Д (x)
20
Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называется
случайная величина, значения которой
непрерывно заполняют какой-то интервал.
Случайная величина X задаётся функцией
распределения (интегральным законом),
выражающей вероятность того, что X принимает
значения меньшие, чем x
21
• Если существует такая функция f(x), что для любых x
выполняется
• то функция f(x) называется дифференциальным
законом распределения
• Или плотностью вероятности, поскольку вероятность
попадания случайной величины в промежуток между а
и b выражается формулой
а в пределе при b=>a
22
Числовые характеристики
распределения вероятностей
- помогают составить наглядное
представление о распределении.
• Математическое ожидание и его основные
свойства
• Дисперсия
• Асимметрия (определяет степень симметрии;
равна нулю, если распределение симметрично)и
эксцесс (определяет степень осто или
плосковершинности)
23
• Квантили:
Квантилью Xp называется решение
уравнения F(x)=p, где p – заданная
вероятность
• Медиана (p=0,5) и квартили (нижняя
p=0,25; вершняя p=0,75)
24
Нормальное распределение
• Плотность вероятности нормального
распределения имеет вид:
В этой формуле a – математическое ожидание
величины x, а σ – ее среднеквадратичное
отклонение.
25
Нормальное распределение это совокупность объектов, в которой
крайние значения признака (наименьшее и наибольшее)
появляются редко ; чем ближе значение к математическому
ожиданию, тем оно встречается яаще
26
График плотности вероятностей
нормального распределения
27