1.14. Диэлектрики в электрическом поле

1.14. Диэлектрики в электрическом поле
До сих пор электрическое поле изучалось в
вакууме. Теперь рассмотрим электрическое поле в
материальных средах.
Типы диэлектриков
Диэлектриками (изоляторами) называются вещества
не способные проводить электрический ток.
Это связано с тем, что в диэлектриках практически
нет свободных зарядов, которые могут перемещаться на
значительные расстояния и переносить ток.
Идеальных изоляторов в природе нет, все вещества в
той или иной степени проводят ток, но у диэлектриков
проводимость в 1015-1020 раз меньше, чем у металлов.
Под воздействием внешнего электрического поля
заряды, входящие в состав диэлектрика не срываются со
своих мест, а лишь несколько смещаются из положений
равновесия в новые равновесные положения.
Диэлектрик состоит из нейтральных атомов и
молекул. Пусть Q – суммарный положительный заряд всех
ядер, а (-Q) – суммарный отрицательный заряд всех
электронов молекулы. Тогда
молекулу можно рассматривать
P
-Q
как электрический диполь с
+Q
моментом
p = Ql
l
где l - плечо диполя. В зависимости от величины
электрического момента p молекулы делят на два типа.
Если молекула имеет симметричное строение, то
центры положительных и отрицательных зарядов
совпадают l = 0 , а ее дипольный момент равен нулю.
Такие молекулы называют неполярными.
Во внешнем электрическом поле заряды Q и (-Q)
смещаются в разные стороны, поэтому неполярная
молекула деформируется и приобретает дипольный момент,
то есть она ведет себя как упругий диполь.
+
-
E=0
-
+
E
Опыт показывает, что модуль дипольного момента
неполярной молекулы пропорционален напряженности
внешнего поля
p   0 E
где  - поляризуемость молекулы.
Неполярными молекулами являются
N 2 , H 2 , O2 , CO2 , CH 4 ,...
(1.14.1)
Другие молекулы имеют асимметричное строение.
У них центры тяжести положительных и отрицательных
зарядов не совпадают (
они имеют отличный
l), поэтому
0
о нуля собственный дипольный момент. Такие молекулы
называют полярными.
Примерами полярных молекул являются
NH 3 , H 2O, SO2 , CO, NH , HCl ,...
В отсутствие внешнего поля за счет теплового
хаотического движения дипольный момент полярных
молекул
распределен
по
всем
направлениям
равновероятно, поэтому суммарный момент диэлектрика
равен нулю.
Полярные молекулы жесткие. Под действием
внешнего поля их заряды почти не смещаются друг
относительно друга, а молекула поворачивается как целое
так, чтобы ее дипольный момент установился по
направлению поля. В результате суммарный дипольный
момент диэлектрика становится отличным от нуля.
P
E=0
P
E
Таким образом, во внешнем поле полярные и
неполярные
диэлектрики
приобретают
электрический дипольный момент. Об этом говорят
как о поляризации диэлектрика.
В общем случае поляризация диэлектрика
неоднородна и меняется от точки к точке. Это
может быть связано как с неоднородностью
внешнего поля, так и с неоднородностью состава
самого диэлектрика.
Для характеристики степени поляризации
используют дипольный момент единицы объема
диэлектрика, найдем его.
Выделим вблизи некоторой точки малый объем V ,
в котором находятся N молекул с электрическими
моментами pi .
Вектор
N
1
P 
V
p
i 1
i
(1.14.2)
называется вектором поляризации или поляризованностью
диэлектрика в данной точке. Следовательно, вектор
поляризации равен электрическому (дипольному) моменту
единицы объема диэлектрика.
Размерность
вектора поляризации
Кл  м Кл
[P ] 
 2
3
м
м
Опыт показывает, что у изотропных диэлектриков
(полярных
и
неполярных)
поляризованность
пропорциональна напряженности поля в той же точке
(1.14.3)
P   0 E
где  - диэлектрическая восприимчивость (безразмерная
величина).
Для неполярных молекул формула (1.14.3) вытекает из
(1.14.1). Действительно, дипольный момент
i - ой
молекулы равен
p 
E
i
тогда
где
1
P 
V
 0
N
N
 0 E 
 0 E  n 0 E

V
i 1
n – концентрация молекул, поэтому
  n
У
полярных
диэлектриков
диэлектрическая
восприимчивость  уменьшается с ростом температуры
за счет усиления роли хаотического теплового движения,
приводящего к дезориентации диполей молекул.
Все заряды, находящиеся внутри или вне
диэлектрика, делят на два типа.
1) Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика,
называют связанными. Эти заряды незначительно
смещаются из своих положений под действием внешнего
поля и не покидают пределы молекул.
2) Заряды, которые не входят в состав молекул,
называют сторонними. Они могут быть как в пределах
диэлектрика, так и вне его.
Сторонние заряды могут быть свободными
и несвободными.
Свободные заряды могут перемещаться на
макроскопические
расстояния
(например,
электроны в металле, вакууме, ионы в газах и
электролитах).
Примером несвободных сторонних зарядов
являются заряды, нанесенные извне на
поверхность диэлектрика.
Электрическое поле в диэлектрике является
суперпозицией полей, созданных связанными Есвяз
и сторонними
Естор зарядами.
Это суммарное поле называют микроскопическим
полем
Емикро = Есвяз + Естор
(1.14.4)
Микроскопическое
поле
резко
меняется
на
межмолекулярных расстояниях, а за счет движения
молекул быстро зависит от времени.
В опытах обычно используют диэлектрические
материалы,
размеры
которых
много
больше
межмолекулярных расстояний, и изучают их в течение
промежутков
времени
много
больших
периодов
внутримолекулярных и тепловых колебаний.
Поэтому в опытах обнаруживается лишь усредненное
по времени и объему микроскопическое поле
E =  Емикро  =  Есвяз  +  Естор 
Обозначим далее
E' =  Есвяз  ; E0 =  Естор 
тогда
Усредненное поле
E = E' + E0
E
(1.14.5)
называют макроскопическим полем.
Поляризованность также является макроскопической
величиной, поэтому в формуле (1.14.3)
P   0 E
под
E
надо понимать макроскопическое поле.
В вакууме связанные заряды отсутствуют, поэтому
E' =  Есвяз   0 ; E = E0 =  Естор 
и в прежней формуле (1.8.8)
под E надо понимать
сторонних зарядов
E0

(  E ) 
0
, а под


(  E0 ) 
0
- плотность
Рассмотрим детальнее распределение зарядов в
диэлектрике.
Обозначим через  '
объемную плотность
связанных зарядов, а через
- поверхностную
'
плотность
связанных
зарядов.
Если
диэлектрик
неполяризован, то
'0
'0
Во внешнем поле в результате поляризации
поверхностная плотность  ' отлична от нуля, иногда
отличной от нуля становится и объемная плотность  ' .
Под действием поля заряды одного знака уходят
внутрь, а другого знака – наружу поверхности диэлектрика.
В результате вблизи поверхности диэлектрика возникает
избыток связанных зарядов одного знака.
На рисунках показано распределение зарядов в
диэлектриках с неполярными и полярными молекулами в
отсутствии и при наличии внешнего поля.
E0
E=0
+
-
+
+
-+
-+
-+
+
-
+
-
+
-
-+
-+
-+
+
-
+
-
+
-+
-+
-+
-
-
-
неполяр ные молекулы
неполяр ные молекулы
E0
E=0
+
-
-+
+-
-+
-
-
+
-+
-
-+
+
-
-+
-+
+
-
+
-+
-+
+
-
-+
-
+
поляр ные молекулы
+
поляр ные молекулы
Найдем связь между поляризованностью диэлектрика
P и поверхностной плотностью связанных зарядов  ' .
Пусть бесконечная плоскопараллельная пластина из
диэлектрика помещена в однородное электрическое поле E.
Выделим в ней малый объем
+ '
- '
в виде косого цилиндра с
образующими l , параллельными

полю E и основаниями S ,
P
n
совпадающими с основаниями
n S
пластины. Объем цилиндра
равен V  l S cos
l
поэтому его дипольный момент
P V  P lS cos
d
(1.14.6)
E
С другой стороны, этот цилиндр эквивалентен
диполю с зарядами  ' S и  ' S , отстоящими друг
от друга на расстояние l. Электрический момент такого
диполя равен
 'l S
Он должен совпадать с (1.14.6) , приравнивая получаем
P l S cos   ' l S
Отсюда находим искомую связь
P
 '  P cos  Pn
где
n - проекция вектора поляризации
нормаль.
P
(1.14.7)
на внешнюю
С другой стороны, согласно (1.14.3)
Pn   0 En
En
где - нормальная
составляющая поля внутри диэлектрика.
Поэтому формулу (1.14.7) можно записать как
 '   0 En
(1.14.8)
В тех местах поверхности диэлектрика, где линии
напряженности выходят из диэлектрика вектора P , E , n
направлены в одну сторону. Поэтому здесь E n > 0 ,
а на поверхности выступают положительные заряды.
Там же, где линии поля входят в диэлектрик E n < 0
,
поэтому на поверхности появляются отрицательные
заряды.
-
n
+
E
E
n
Левая граница
Правая граница
Найдем связь объемной плотности сторонних зарядов  '
с поляризованностью P . Для примера, рассмотрим
диэлектрик, состоящий из неполярных молекул.
Выделим в диэлектрике малую площадку S .
При включении внешнего
S
электрического поля все
положительные заряды
+e
сдвинутся относительно
n
площадки на одно и то

l1
E
-e
же расстояние l1 в
направлении поля, а все
P
l2
отрицательные заряды
сдвинутся на некоторое
другое расстояние l2
l2
l1
против поля.


Площадку S
пересекут слева направо все
положительные
заряды,
находящиеся
в
объеме
левого косого цилиндра l1S cos , и справа налево – все
отрицательные заряды, находящиеся в объеме правого
косого цилиндра l2 S cos  .
Поэтому через площадку S переносится полный
заряд, равный
q '  enl1S cos  enl2 S cos  en(l1  l2 )S cos
где
n l1+l2
плотность молекул,
а
- расстояние, на которое смещаются друг
относительно друга положительные и отрицательные
заряды.
В результате перемещения каждая пара зарядов
приобретает дипольный момент, равный
p = el = e(l1 +l2)
Число пар зарядов в единице объема равно плотности n,
поэтому суммарный дипольный момент единицы объема
равен
eln = pn
Эта величина равна модулю вектора поляризации
P = pn
Поэтому заряд можно записать как
q '  P S cos
P
но
P cos  ( P  n)
тогда
q'  ( P  n)S = ( P  S)
Пусть теперь поверхность S является замкнутой
поверхностью, находящейся внутри диэлектрика.
При включении внешнего электрического поля эту
поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд,
равный
'
выш
S
S
q
  dq '   P dS
Поэтому внутри объема, ограниченного такой
поверхностью, возникает избыточный связанный заряд
'
избыт
q
 q
'
выш
   P d S   ФP
(1.14.9)
S
где
ФP- поток вектора поляризации
поверхность S .
через P
замкнутую
Формула (1.14.9) выражает собой теорему Гаусса для
вектора поляризации:
поток вектора поляризации через произвольную
замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком
избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме,
охватываемом этой поверхностью.
Определим объемную плотность связанных зарядов
'
согласно
dq
'
избыт
dV
Тогда с использованием теоремы Гаусса получаем
'
избыт
q
   ' dV    P d S    P dV
V
следовательно
S
V

'
dV



P
dV


V
V
Равенство интегралов должно выполняться для
произвольных объемов V , поэтому должны равняться
подинтегральные функции
 '  (  P ) = -divP =
Px Py Pz
= -(
+

)
x
y
z
(1.14.10)
Эта формула и дает искомую связь между вектором
поляризации и объемной плотностью связанных зарядов:
плотность связанных зарядов  ' равна дивергенции
поляризованности P , взятой с обратным знаком.