Понятие о вероятности Основные понятия Рассмотрим результаты опыта при бросании монеты. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпал герб». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов. Получается следующая закономерность: зависимость n/N 0,8 0,7 0,6 n/N 0,5 n/N 0,4 1/2 0,3 0,2 0,1 0 1 10 100 N 1000 10000 Основные понятия Рассмотрим результаты опыта при бросании кубика. Пусть рассматривается событие «А»: «в результате броска выпало число 6». Будем рассматривать зависимость отношения n/N, где n – число опытов, при которых событие произошло, N – полное число опытов. Получается следующая закономерность: Результат бросания кубика 0,25 0,2 0,15 n/N 0,1 1/6 0,05 0 1 10 100 1000 Число бросков 10000 Определение Пусть есть событие А. Пусть в N испытаниях событие A произошло n раз. Тогда вероятностью числа A называется n p ( A) lim N N Основное правило расчета вероятности. Пусть имеется события А и В, образующие полную непересекающуюся группу событий. Пусть события A и В могут быть разложены в сумму непересекающихся событий n A Ai i 1 B N B j n 1 j Основное правило расчета вероятности. Очевидно, что в этом случае события A1, A2…An, Bn+1, Bn+2 … BN образуют полную непересекающуюся группу событий. События A1, A2…An называются реализациями события А, а события Bn+1, Bn+2 … BN называются реализациями события В. Пусть p(A1)= p(A2)=…= p(An)= p(Bn+1)=…=p(BN) Такие события называются равновероятными. Тогда: вероятность наступления события А n P( A) N Ошибка Д' Аламбера Бросаются две монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут орлом кверху? Д'Аламбер: в результате бросания двух монет возможны следующие три события: "выпали два орла", "выпали две решки" и "выпали орел и решка". Эти события находятся в равных условиях, поэтому их вероятности равны 1/3. Ошибка Д' Аламбера Решим эту задачу иначе. Возможные события, которые являются результатом опыта с двумя монетами, будем обозначать двумя буквами. Первая буква означает выпадение орла(О) или решки(Р) на 1-ой монете, а вторая - выпадение орла или решки на 2-ой. Тогда 4 исхода бросания двух монет можно записать так: ОО; ОР; РО; РР. Все эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Пусть событие A - "выпали два орла". Этому событию благоприятствует только один исход ОО. Поэтому M = 1; N = 4; P(A) = M / N= 1/4. Ошибка Д' Аламбера Теперь нетрудно заметить ошибку Д'Аламбера. Он считал, что события "выпали два орла" и "выпали орел и решка" равновозможны, а это не так. Последнему событию благоприятствуют два исхода: ОР и РО, поэтому вероятность события "выпали орел и решка" P = M / N = 2/4 = 1/2 ≠ 1/3. Свойства вероятности. • I. Вероятность достоверного события равна 1. • Доказательство: • Если событие А достоверное, то любой исход испытания благоприятствует этому событию, следовательно n = N . Значит, P(A) = n / N = N / N = 1 . • II. Вероятность невозможного события равна 0. • Доказательство: • Если событие А невозможное, то ни один из исходов испытания не благоприятствует ему. Следовательно, n = O, но тогда P(A) = n / N = 0 / N = 0 . Свойства вероятности. • III. Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1. • Доказательство: • Число исходов, благоприятствующих наступлению события, либо равно 0, либо N , либо, по определению вероятности, является частью всех N исходов испытания. Тогда O ≤ n ≤ N, а значит, 0 ≤ n / N ≤ 1. Следовательно, 0 ≤ Р(А) ≤ 1. Пример 1 Игроки А и В играли в кости двумя кубиками. Игрок А выбросил 9 очков. Найти вероятность того, что он выиграет. Решение Найдем число вариантов выпадения очков при одном броске пары кубиков. На любом из них моет выпасть цифра от одного до шести. Тогда N=6·6=36. Рассчитаем число вариантов, удовлетворяющих игрока А: Игрок Б может выбросить Количество очков 2 3 4 5 6 7 8 Итого Число вариантов 1 (1+1) 2 (1+2; 2+1) 3 (1+3;2+2;3+1) 4 (1+4;2+3;3+2;4+1) 5 (1+5;2+4;3+3;4+2;5+1) 6 (1+6;2+5;3+4;4+3;5+2;6+1) 5 (2+6;3+5;4+4;5+3;6+2) 26 P (выиграл 26 13 А) 36 18 Вероятность полной группы событий Пусть события A1, A2…AN образуют полную неперекрывающуюся группу событий. Тогда N P( A ) 1 i 1 i Доказательство Пусть число всех возможных способов реализации опыта N. Пусть событие А1 реализуется числом способов n1, событие А2 – n2 и т.д. Очевидно, что N n i 1 i N Тогда N ni 1 i 1 N N P( A ) 1 i 1 i Решим ту же задачу другим способом Найдем число способов, при котором игрок А не выиграет. Возможны варианты: 1. Ничья, реализуется числом способов 4 (9 очков: 3+6,4+5,5+4,6+3) P(“Ничья”)=4/36=1/9 2. Победил Б, для этого ему нужно выбросить более 9 очков. Рассчитаем варианты Количество очков 10 11 12 Итого Тогда: P (" Выиграл Б" ) Число вариантов 3(4+6,5+5,6+4) 2(5+6,6+5) 1(6+6) 6 6 1 36 6 P(" Выиграл А " ) P(" Выиграл P(" Выиграл А " ) 1 P(" Выиграл Б" ) P(" Ничья" ) 1 1 18 3 2 13 А" ) 1 6 9 18 18 P(" Выиграл Б" ) P(" Ничья" ) 1 Вероятность последующих событий. Пусть последовательно исследуются два независимых события A1 и A2, причем их вероятности соответственно P(A1) и P(A2). Тогда вероятность события A, состоящего в том, что последовательно произойдут события A1 и A2 может быть вычислена: P( A) P( A1 ) P( A2 ) Доказательство. Пусть событие A1 реализуется числом благоприятных исходов n1 из числа возможных исходов N1, а событие A2 реализуется числом благоприятных исходов n2 из числа возможных исходов N2. Так события A1 и A2 независимы, то число благоприятных исходов для события A n=n1·n2, а число возможных исходов для события A N=N1·N2. Тогда вероятность события A n n1 n2 n1 n2 P( A) P( A1 ) P( A2 ) N N1 N 2 N1 N 2 Важное замечание! При расчете вероятности нескольких последующих событий важно проверить, не изменилась ли ситуация! Пример 2 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем кладут его на место и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар. Решение Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A1, составляет 6 3 P ( A1 ) 10 5 Перед второй попыткой вытащенный шар положили на место! В ящике по-прежнему всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A2, составляет также 6 3 P ( A2 ) 10 5 Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный шар 3 3 9 P( A) P ( A1 ) P ( A2 ) 5 5 25 Пример 3 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают один шар, затем откладывают его в сторону и вынимают второй шар. Найти вероятность, что дважды вытащен черный шар. Решение Всего 4+6=10 шаров, т.е. 10 равновозможных вариантов. Необходимо при первой попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 6 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A1, составляет 6 3 P ( A1 ) 10 5 Перед второй попыткой вытащенный шар не положили на место! В ящике теперь всего 4+5=9 шаров, т.е. 9 равновозможных вариантов. Необходимо при второй попытке вытащить черный шар. Это можно сделать 5 способами. Вероятность этого события, назовем его событие A2, составляет 5 P( A2 ) 9 Вероятность события A, состоящего в том, что дважды был вытащен черный шар 3 5 1 P( A) P( A1 ) P( A2 ) 5 9 3 Домашнее задание 1. Теорию событий выучить! 2. Основы теории вероятности и правила расчета вероятности разобрать и если что-то непонятно подготовить вопросы. 3. Задачи. Задача 1 В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирают два шара. Найти вероятность, вытащенные шары окажутся разного цвета. Рассмотреть случаи, когда первый вытащенный шар откладывают в сторону и вынимают второй шар и когда его кладут на место перед второй попыткой. Задача 2 В 30-е годы каждому велосипедисту полагался номер, включающий в себя 4 цифры от 0 до 9 на любой позиции. Некто купил велосипед и пошел получать номер. Будучи человеком суеверным и зная, что есть такай противная неисправность как «восьмерка» он страшно боялся, что в номере будет присутствовать хотя бы одна цифра 8. Однако по дороге он успокоил себя, решив, что т.к. «плохая» цифра 1 из десяти, то вероятность этого крайне мала: p=0.1. Какова в действительности эта вероятность? Чему она была бы равна, если число цифр в номере было бы 8, а не 4? Задача 3 Перед последним туром чемпионата страны по футболу «ЦСКА», «Локомотив», «Зенит», «Спартак» и «Торпедо» набрали равные показатели. Однокруговой турнир ничего не дал – одни ничьи. Было решено провести турнир по пенальти. Считая пенальти лотереей и шансы команд абсолютно равными найти вероятность события, что «Зенит» будет с медалями , а «Спартак» нет.