Лекция 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 2.1

Лекция 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ
ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
2.1. Электростатическое поле. Напряженность
поля
2.2. Сложение электростатических полей.
Принцип суперпозиции
2.3. Электростатическое поле диполя
2.4. Взаимодействие диполей
1.3. Электростатическое поле.
Напряженность
электростатического поля
• Почему заряды взаимодействуют?
Имеет место борьба двух теорий:
• теория дальнодействия – Ньютон,
Ампер
• теория близкодействия – Фарадей,
Максвелл и т.д.
• Для электростатического поля
справедливы обе эти теории.
• Вокруг заряда всегда есть
электрическое поле, основное
свойство которого заключается в
том, что на всякий другой заряд,
помещенный в это поле, действует
сила.
• Электрические и магнитные поля –
частный случай более общего –
электромагнитного поля (ЭМП).
• Они могут порождать друг друга,
превращаться друг в друга. Если
заряды не движутся, то магнитное поле
не возникает.
• ЭМП – есть не абстракция, а
объективная реальность – форма
существования материи, обладающая
определенными физическими
свойствами, которые мы можем
измерить.
• Не существует статических
электрических полей, не связанных с
зарядами, как не существует «голых»,
не окруженных полем зарядов.
• Силовой характеристикой поля,
создаваемого зарядом q, является
отношение силы действующей на
заряд к величине этого заряда
называемое напряженностью
электростатического поля, т.е.
F
Q
E 
2
q 40 r
• Или в векторной форме


Q r
E
2
40 r r
• здесь r – расстояние от заряда до
точки, где мы изучаем это поле.
• Тогда
• При


F  qE
q  1
 
FE
• Вектор напряженности
электростатического поля равен
силе, действующей в данной точке на
помещенный в нее пробный
единичный положительный заряд.
• Единица измерения напряженности
электростатического поля – ньютон
на кулон (Н/Кл).
• 1 Н/Кл – напряженность такого
поля, которое на точечный заряд 1
Кл действует с силой в 1 Н.
• В СИ
q
Е
2
4πε0 r
• размерность напряженности
Н
В
E   или
Кл
м
1.4. Сложение
электростатических полей.
Принцип суперпозиции
• Если поле создается несколькими
точечными зарядами, то на пробный
заряд q действует со стороны заряда
qk такая сила, как если бы других
зарядов не было.
• Результирующая сила определится
выражением:



1 qqk rk
F
  Fk
2
k 4 πε0 rk rk
k
• – это принцип суперпозиции или
независимости действия сил


F  qE

тоE
• т.к.
– результирующая
напряженность поля в точке, где
расположен пробный заряд, так же
подчиняется принципу
суперпозиции:
 


Е  Е1  Е 2  ...  Е k .
k
• Это соотношение выражает принцип
наложения или суперпозиции
электрических полей и представляет
важное свойство электрического поля.
• Напряженность результирующего
поля системы точечных зарядов
равна векторной сумме
напряженностей полей, созданных в
данной точке каждым из них в
отдельности.
Пример 1
•
 



Е  Е1  Е 2  Е 3  ...   Е k
k
•
 

Е  Е  Е
задача симметрична


Е  Е


т. е. Е   Е k
k
Еи 2Есos
•В данном случае:
1
q
E  E 
2
40 2 l
(r  )
4
и
Следовательно,
cos  
1
Е
4 πε0
l
 2 l2 
2  r  
4

ql
3
2 2
l 
 2
 r  
4

.
• Рассмотрим другой пример. Найдем
напряженность электростатического
поля Е, создаваемую двумя
положительными зарядами q1 и q2 в
точке А, находящейся на расстоянии r1
от первого и r2 от второго зарядов
q1
E1 
2
4πε0 r1
q2
E2 
2
4 πε0 r2
Воспользуемся теоремой косинусов:
E  E12  E22  2 E1 E2 cos(   ) 
r12  r22  r 2
.
где cos α 
2r1r2
1
40
q12 q22 2q1q2
 4  2 2 cos ,
4
r1 r2
r1 r2
• Если поле создается не точечными
зарядами, то используют обычный в таких
случаях прием. Тело разбивают на
бесконечно малые элементы и определяют
напряженность поля создаваемого каждым
элементом, затем интегрируют по всему телу:
•

где dE


Е   dE ,
– напряженность поля,
обусловленная заряженным элементом.
Интеграл может быть в зависимости от
формы тела линейным, по площади или по
объему.
• Для решения подобных задач пользуются
соответствующими значениями плотности
заряда:
• λ  dq / dl
– линейная плотность
заряда, измеряется в Кл/м;
• σ  dq / dS – поверхностная плотность
заряда измеряется в Кл/м2;
•
ρ  dq / dV
– объемная плотность
заряда, измеряется в Кл/м3.
• Определим напряженность
электрического поля в точке А на
расстоянии х от бесконечно длинного,
линейного, равномерно
распределенного заряда. Пусть λ –
заряд, приходящийся на единицу
длины.
• Считаем, что х – мало по сравнению с
длиной проводника. Элемент длины dy,
несет заряд dq = dy λ. Создаваемая
этим элементом напряженность
электрического поля в точке А:
1
λdy
dE 
.
2
2
4πε0 ( x  y )

• Вектор dE имеет проекции dEx и dEy причем
dE y  dE sin θ.
• Т.к. проводник бесконечно длинный, а задача

симметричная, то у – компонента вектора
dE
dE x  dE cos θ;
обратится в ноль (скомпенсируется), т.е. .
E y   dE sin θ  0
тогда
λ
cosθdy
E  E x   dEcosθ 

2
2
4πε0 x  y
Теперь выразим y через θ. Т.к.y  xtgθ,
2
2
2
2
то dy  xdθ / cos 2 θ
x  y  x / cos 
π
и
λ 1 2
λ
тогда
E
.
 cosθdθ 
4πε0 x
π

2
2πε0 x
• Таким образом, напряженность
электрического поля линейно
распределенных зарядов изменяется
обратно пропорционально
расстоянию до заряда.
• Задание: по тонкому кольцу радиуса R
равномерно распределен заряд q.
Определить Е в точке А
1.5. Электростатическое поле
диполя
• Электрическим диполем называется
система двух одинаковых по величине,
но разноименных точечных зарядов,
расстояние между которыми значи –
тельно меньше расстояния до тех
точек, в которых определяется поле
системы
• Плечо диполя – вектор, направленный от
отрицательного заряда к
положительному и численно равный
расстоянию между зарядами.
• Пример 1. Найдем Е в точке А на
прямой, проходящей через центр
диполя и перпендикулярной к оси.
1
E  E 
4πε0
q
q

2
2
4
πε
r
l
0
2
r  
2
т.к.
l  r
• Из подобия заштрихованных
треугольников можно записать:
E
l
l


отсюда
1
E
r
2 2
 2 l 
 r  
4



Р  q l–
• Обозначим вектор:
электрический момент диполя (или
дипольный момент) – произведение
положительного
заряда диполя на

плечо l.

• Направление P совпадает с
направлением l , т.е. от отрицательного
заряда к положительному.
• Тогда, учитывая что
P
E 
3
4 πε0 r
или
ql  Pполучим:


P
E 
3
40 r
• Пример 2.

2ql
E|| 
3
4 πε0 r
На оси диполя, в точке В
или


2P
E || 
.
3
4 πε 0 r
• Пример 3.
В произвольной точке С
P
2
E
3 cos φ  1,
3
4πε0r
где
φ  φ1  φ 2
При :
π
P
φ1  φ 2  , E1 
;
3
2
4πε0r
2P
φ1  φ 2  0, Е2 
3
4πε0r
• Электрическое поле диполя.
• Из приведенных примеров видно,
что напряженность
электрического поля системы
зарядов равна геометрической
сумме напряженностей полей
каждого из зарядов в отдельности
(принцип суперпозиции).