Анализ линейных цепей

СИГНАЛЫ
И
ЦЕПИ
Преобразования сигналов
Это любые изменения сигналов
Целенаправленные преобразования – в созданных
для этого устройствах (цепях).
Непреднамеренные – например, в линиях
связи (искажение, ослабление и т.п.)
x(t )
X
T 

y (t )
Y
преобразование – отображение множества X
входных сигналов во множество Y выходных
сигналов
2
Линейные операторы
Если
X Y  L2
(или
l2
)
преобразование называется оператором.
В частности – фильтрация сигналов.
Оператор L
 линейный, если он:
аддитивен -
L x  y  L x  L y
и однороден
L x   L x
принцип суперпозиции:
L x   y   L x   L y
3
Важность принципа суперпозиции!
ОРФ
x(t ) 


k 
 k uk (t )
L

y (t ) 


k 
 k Luk (t )
более подробно:






y(t )  L x(t )  L    k uk (t )     k Luk (t )


k 
 k 
спектральные коэффициенты те же!
Это – основа спектрального метода анализа
линейных цепей.
4
Задачи, связанные с цепями
x(t )

L
?
x(t )
?
y (t )
?
L

y (t )
анализ
идентификация
и синтез
обратная
задача
5
Выбор базиса для СА






y(t )  L x(t )  L    k uk (t )     k Luk (t )


k 
 k 
Можно (и нужно) попытаться найти наиболее удобный
базис для СА.
В конечномерном пространстве линейный оператор
 y1   11 12
 y  

2
21
22


 ...   ...
...

 
 y N   N 1 N 2
... 1N   x1 



... 2 N   x2 

... ...   ... 
  
... NN   xN 
6
Конечномерный линейный оператор
 y1   11 12 ... 1N   x1 
 y  



 2    21 22 ... 2 N    x2 
 ...   ...
... ... ...   ... 

 
  
 y N   N 1 N 2 ... NN   xN 
Отсчеты выходного сигнала находятся по
формуле
N
yk   kj x j ,
e1  1,0,...,0 
T
e2   0,1,...,0 
T
eN   0,0,...,1
T
j 1
k  1, N
 11, 21,..., N1 
T

,

,...,

 12 22 N 2 
T
 1N , 2 N ,..., NN 
T
7
Собственные векторы линейного оператора
собственный вектор
Для N-мерного оператора простой структуры
существует N линейно-независимых собственных
векторов
8
Собственные векторы линейного оператора
если базис пространства составить из
собственных векторов данного оператора, то
матрица оператора будет диагональной:
 y '1   11 0
 y'   0 
22
 2 
 ...   ...
...

 
0
 y 'N   0
...
0   x '1 



...
0   x '2 

... ...   ... 
 

... NN   x ' N 
Отсчеты выходного сигнала
y 'k  kk x 'k , k  1, N
N
а не
yk   kj x j , k  1, N
j 1
9
Анализ линейных цепей
Для пространства l2 матрица линейного
оператора становится бесконечной

  ij , i, j  , 

Отсчет выходного сигнала
yk 


j 
kj x j
k  .
10
Анализ линейных цепей
В пространстве L2 вместо матрицы функция
называемая ядром оператора,
 (, ) ,
а действие любого линейного оператора на сигнал x(t )
описывается выражением

y (t ) 


 (t , s) x( s)ds
yk 


j 
kj x j
переменная s имеет физический смысл и размерность,
соответствующие базису, выбранному для описания
сигнала
(частота f , если сигнал задан спектральной плотностью ,
или время t , если сигнал задан временнόй функцией)
11
Анализ линейных цепей при временном описании






y(t )  L x(t )  L    k uk (t )     k Luk (t )


k 
 k 
Входной сигнал в динамическом представлении

x(t ) 
x ( )
Поэтому

x( ) (t   )d

k
 (t   )
 

y (t )  L x(t )  L   x( ) (t   )d  




  x( )L (t   )d   x( )h(t , )d


u k (t )
12
Анализ линейных цепей при временном описании
Сигнал на выходе линейной цепи

y (t ) 

x( )h(t , )d

h(t , ) - отклик цепи в момент t на  (t   )
h(t , )  L (t   ) весовая функция.
где
Важнейший частный случай: линейные инвариантные к сдвигу
(ЛИС), или линейные стационарные цепи: весовая функция
фактически зависит только от разности аргументов -
h(t , )  h(t   )

y (t ) 


тогда
x( )h(t   )d
Это – интеграл Дюамеля,
или свёртка
13
Интеграл Дюамеля (свёртка)
Символически свёртку иногда обозначают символом


y (t ) 

x( )h(t   )d  x(t )  h(t )

Заменой переменных можно получить

y (t ) 
 h( ) x(t   )d  h(t )  x(t )

Таким образом, свёртка как бинарная операция коммутативна
Если
x(t )   (t )
то

y (t ) 
  ( )h(t   )d  h(t )

14
Импульсная характеристика ЛИС-цепи

h(t ) 
  ( )h(t   )d

Отклик ЛИС-цепи на воздействие в форме дельта-функции –
импульсная характеристика
Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда
можно точно определить выходной сигнал.
Поэтому импульсная характеристика (ИХ) представляет собой
исчерпывающее описание ЛИС-цепи.
h(t , )  h(t   )
 (t )
 (t   )
означает:
h(t )
h(t   )
поведение цепи неизменно во времени (инвариантно к сдвигу)
15
Пример ИХ ЛИС-цепи
1
h(t )  e t / 

Условие каузальности (причинности)
  RC
h(t )  0 при t < 0

y (t0 ) 
 h( ) x(t0   )d

16
Поиск лучшего базиса для описания ЛИС-цепи
Интеграл Дюамеля описывает цепь относительно ядра
 (t   )
По аналогии с собственным базисом – собственное базисное
ядро – наилучшее для представления входных сигналов, при
котором выходной сигнал будет выражаться проще, чем
сверткой

  (t   )h( )d  (t )



Решение –комплексная гармоническая функция
e j 2 f (t  ) h( )d  e j 2 ft



e j 2 ft   (t )
e j 2 f  h( )d  H ( f )  e j 2 ft

 (t   )

 (t )
17
Частотное описание ЛИС-цепи
j 2 ft
e
На входе
, тогда на выходе эта же функция,
умноженная на комплексное число

H( f ) 
 h(t )e
 j 2 ft
это прямое
преобразование Фурье ИХ
dt

Это комплексная частотная характеристика ЛИС-цепи,
очевидно: 
ИХ и КЧХ – исчерпывающие
j 2 ft
h(t )  H ( f )e
df
характеристики ЛИС-цепи


Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
Фазочастотная характеристика (ФЧХ)
H ( f )  K ( f )e j ( f )
H ( f )e
j 2 ft
H( f )  K( f )
arg H ( f )   ( f )
Воздействие ЛИС-цепи на
 K ( f )e
e j 2 ft
j 2 ft  ( f )
18
Частотное описание ЛИС-цепи
e j 2 ft
Итак, если на входе
, то на выходе эта же функция,
умноженная на комплексное число H ( f )
Но входной сигнал можно представить интегралом

x(t ) 

X ( f )e j 2 ft df

Тогда выходной получается умножением каждой гармоники на свой
комплексный коэффициент

y (t ) 

H ( f ) X ( f ) e j 2 ft df

но
Y( f )

y (t ) 

Y ( f )e j 2 ft df
поэтому
Y( f )  H( f )X ( f )

Это соответствует (в конечномерном случае) формуле
y 'k  kk x 'k , k  1, N
19
Пример ЛИС-цепи
АЧХ
Импульсная характеристика
1
h(t )  e t / 

гр
гр
гр
ФЧХ
  RC
 граничная частота (усиление в 2
раз меньше, чем максимум)
20
Частотное описание ЛИС-цепи
Вместо циклической частоты часто используют круговую
H ( ) 


h(t )e jt dt

Y ( )  H ( ) X ()
И обратно:
1
h(t ) 
2


H ( )e jt d

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) можно измерить
(приближенно), подавая на вход гармоническое колебание и находя
отношение выходной амплитуды к входной (в зависимости от
частоты).
ФЧХ можно измерить, как разность фаз выходного и входного
гармонических колебаний (в зависимости от частоты).
21