1. Напряженность поля на продолжении оси диполя

Электричество и магнетизм
Лекция 2. Расчет поля
системы зарядов
Поле электрического диполя в вакууме
• Электрический диполь — система двух равных
по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,
—Q),
• расстояние l между которыми значительно
меньше расстояния до рассматриваемых точек
поля.
• Вектор, направленный по оси диполя
(прямой, проходящей через оба заряда)
от отрицательного заряда к положительному
и равный расстоянию между ними,
называют плечом диполя l .
• Вектор совпадающий по направлению с плечом
диполя и равный произведению заряда |Q| на
плечо l,
называют электрическим моментом диполя, или
дипольным моментом


p  Ql
• Применяя принцип суперпозиции
электростатических полей, напряженность Е поля
диполя в произвольной точке
 

E  E  E
• где Е+ и Е_ — напряженности полей, создаваемых
соответственно положительным и отрицательным
зарядами.
Рассмотрим два случая
1. Напряженность поля на продолжении оси
диполя в точке А направлена вдоль оси диполя

 
EA  E  E
r
l

EA

E
А

E
• Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r,
используя соотношение
1
получим
Q
E
4 0 r 2


1  Q
Q 
Q


EA 
2 
2
4 0  
l 
l   4 0
  r  2   r  2  


2
l 
l

―
 r +  ―  r  
2
 2 
2
2
l 
l

r   r  
2
 2 
2
2
2
l
l
2
2
Q(r  rl   r  rl  )
4
4 
EA 
2
l 2
2
40 (r  )
4

2Qrl
2
l
40 r (1  2 )
4r
4

учтя, что l 2 << r2 и


p  Ql
получим:
1 2Ql
1 2p
EA 

3
3
4 0 r
4 0 r
2-й случай. Напряженность поля на перпендикуляре,
восстановленном к оси из его середины, в точке В.
Точка В равноудалена от зарядов, поэтому
1
Q
E  E 
2
2
4 0 r  l
1
4
Q

2
4 0 r
где r - расстояние от точки В до середины плеча диполя.
Из подобия равнобедренных треугольников,
опирающихся на плечо диполя и вектор Ев,
получим
EB
l
2  2
E
r
упростим
E l
EB 
r
подставим выражение для Е+
1 Ql
1 p
EB 

3
3
4 0 r
4 0 r
• Сравним
EA 
EB 
1
2Ql
4 0 r
1
3
Ql
4 0 r
3


1
2p
4 0 r 3
1
p
4 0 r
3
• Таким образом, создаваемое диполем электростатическое
поле при r>>l убывает обратно пропорционально
третьей степени расстояния r от диполя
• Модель электрического диполя оказалась хорошим
приближением для описания электрических свойств атомов и
молекул, поэтому при рассмотрении многих задач
пользуются представлением атомов и молекул в виде
электрических диполей
У систем из равного числа симметрично расположенных
и ― зарядов индукция поля убывает обратно
+
пропорционально более высоким степеням расстояния, чем у
единичных зарядов. Этим объясняется отсутствие заметного
электрического поля вокруг нейтральных тел, содержащих
большое число близко расположенных + и ― зарядов
Для расчета электрического поля зарядов, распределенных
вдоль линии, поверхности или по объему, мысленно
разбивают их на элементарные почти точечные заряды и
затем производят векторное суммирование индукций от этих
зарядов.
Индукция поля в точке, расположенном на расстоянии
от равномерно заряженной нити (стержня, проволоки)
Вводят линейную плотность заряда γ – заряд, приходящийся на единицу
длины нити.
от участка dl – где имеется почти точечный заряд dq=γ·dl - ,
индукция в (·) А будет равна
а
l
dl
dq
dl

D


d
2
2
4r
4r
4a
А
Для бесконечной нити

D
2a
При этих условиях в
электрического
поля
перпендикулярна к нити
обратно пропорциональна
нее.
каждой точке
индукция
D
и по величине
расстоянию до
Индукция поля создаваемого равномерно заряженной
плоскостью
На единицу длины каждой полосы dl будет приходиться заряд γ=σ·1·dl = σ·dl
индукция в (·) А будет равна
 рассчитывается по формуле
Для бесконечной плоскости индукция
D
2
т.е. в каждой точке электрического
поля
вблизи
равномерно
заряженной плоскости индукция D
перпендикулярна к плоскости, не
зависит от расстояния до нее
и равна σ/2
Все вышеизложенные методы расчета
сложны, поэтому расчет электрических
полей распределенных зарядов обычно
проводят с использованием теоремы
Остроградского-Гаусса.
• Остроградский Михаил Васильевич (1801 –
1862)
• отечественный математик и механик. Учился
в Харьковском ун-те (1816 – 1820),
совершенствовал знания в Париже (1822 –
1827).
• Основные работы в области математического
анализа, математической физики,
теоретической механики. Решил ряд важных
задач гидродинамики, теории теплоты,
упругости, баллистики, электростатики, в
частности задачу распространения волн на
поверхности жидкости (1826 г.). Получил
дифференциальное уравнение
распространения тепла в твердых телах и
жидкостях. Известен теоремой
Остроградского-Гаусса в электростатике (1828
г.).
• Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий
математик, астроном и физик.
• Исследования посвящены многим разделам
физики.
• В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС),
введя три основных единицы: единицу времени –
1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг.
• В 1833 г. совместно с В. Вебером построил первый
в Германии электромагнитный телеграф.
• Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости
распространения электромагнитных
взаимодействий. Изучал земной магнетизм,
изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в
1838 г. – бифилярный. В 1829 г.
• Сформулировал принцип наименьшего
принуждения (принцип Гаусса).
• Один из первых высказал в 1818 г. предположение
о возможности существования неевклидовой
геометрии.
• Однородным называется электростатическое
поле, во всех точках которого напряженность
одинакова по величине и направлению, т.е.
Однородное электростатическое поле
изображается параллельными силовыми линиями
на равном расстоянии друг от друга
Густота силовых линий должна быть такой,
чтобы единичную площадку, нормальную к
вектору напряженности пересекало такое их
число, которое равно модулю вектора

Е
напряженности
т.е.
 число линий Ф
Е
 .
S
S
если на рисунке выделить площадку S  2 м 2 то
,
напряженность изображенного поля будет
равна
 Ф 4
B
E   2 .
S 2
м
2.2. Поток вектора
напряженности
• Полное число силовых линий, проходящих
через поверхность S называется потоком
вектора напряженности Ф через эту
поверхность
• В векторной
  форме можно записать
ФE  (E, S) – скалярное произведение
двух векторов, где вектор  
S  nS
• Итак, по определению, поток вектора
напряженности электрического поля
равен числу линий напряженности,
пересекающих поверхность S.
Пусть имеется система точечных зарядов q1……qn, создающих
электрическое поле. Охватим эти заряды замкнутой
поверхностью S, которые разделим на маленькие участки ΔS.
qi создает в пределах площадки ΔS поле
напряженностью Еi.
ΔS
n
α
+
q
+
―
qi
―
Е
• поток вектора напряженности через
произвольную элементарную площадку dS
будет равен:
dФЕ  ЕdS cos α  EndS .
• Т.е. в однородном поле
ФЕ  ES .
• В произвольном электрическом поле
 
ФЕ   ЕndS   EdS.
S
S
• Подсчитаем поток вектора через
произвольную замкнутую поверхность S,
окружающую точечный заряд q .
Окружим заряд q сферой S1.
• Центр сферы совпадает с центром заряда.
Радиус сферы S1 равен R1.
• В каждой точке поверхности S1 проекция Е на
направление внешней нормали одинакова и
равна
1 q
En 
.
2
4πε0 R1

Тогда поток через S1
q
q
2
ФE   En dS 
4
π
R

.
1
2
ε
4
πε
R
0
0
1
S1
q
ФE  .
ε0
• Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую
радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ  
dS 
4πR2  .
2
2
ε0
4πε0 R2
S2 4 πε 0 R2
q
ФЕ  .
ε0

E следует, что поток и
• Из непрерывности линии
через любую произвольную поверхность S будет равен
этой же величине:
q
ФЕ   ЕndS 
ε
0
S
• – теорема Гаусса для одного заряда.
• Для любого числа произвольно
расположенных зарядов, находящихся
внутри поверхности:
ФЕ  
S
q

Е dS 
n
ε0
– теорема Гаусса для нескольких зарядов.
• Поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую
поверхность в вакууме равен алгебраической
сумме всех зарядов, расположенных внутри
поверхности, деленной на ε0.
Полный поток проходящий через S3,
охватывающую заряд q, равен нулю:
Ф3  0
не
• Таким образом, для точечного заряда q,
полный поток через любую замкнутую
поверхность S будет равен:
q
ФЕ 
ε 0 – если заряд расположен внутри
замкнутой поверхности;
ФЕ  0– если заряд расположен вне замкнутой
поверхности;
• этот результат не зависит от формы
поверхности, и знак потока совпадает со
знаком заряда.
2.5. Вычисление электрических полей с
помощью теоремы
Остроградского - Гаусса
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной
плоскости
dq
σ
,
dS
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости
площадью S определяется по формуле:
dq
σ
,
dS
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок поверхности.
• Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS,
расположенными симметрично относительно плоскости
• Тогда
E '  E ' '  E.
• Суммарный поток через замкнутую
поверхность (цилиндр) будет равна:
ФЕ  2ΔSE.
Внутри поверхности заключен заряд .
Следовательно, из теоремы ОстроградскогоГаусса получим:
q
1
ФЕ   2ΔSE  σΔS
ε0
ε0
откуда видно, что напряженность поля
плоскости S равна:
σ
E
.
2ε 0
(2.5.1)
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных
плоскостей
• Пусть две бесконечные плоскости
заряжены разноименными зарядами с
одинаковой по величине плотностью σ
• Результирующее поле, как было сказано выше,
находится как суперпозиция полей, создаваемых
каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей
E  E  E отсюда E  σ / ε 0
• Вне плоскостей напряженность поля
E  0.
• Полученный результат справедлив и для
плоскостей конечных размеров, если расстояние
между плоскостями гораздо меньше линейных
размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:
E  E  E  E   /  0
E 0
E 0
2.5.3. Поле заряженного бесконечного
цилиндра (нити)
• Пусть поле создается бесконечной
цилиндрической поверхностью радиуса R,
заряженной с постоянной линейной
плотностью
dq
λ 
dl

• где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую
поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания
цилиндров перпендикулярно оси).
• Для оснований цилиндров
• для боковой поверхности E
расстояния r.
En  0,
n
 E (r ),т.е. зависит от
• Следовательно, поток вектора через
рассматриваемую поверхность, равен
ФE  E (r ) S  E (r )2πrl.
• При r
 R,
на поверхности будет заряд
• По теореме Остроградского-Гаусса
• Тогда
λ
Е (r ) 
при r  R
2πε0r
q  λl.
λl
E (r )2πrl 
ε0
• Если
r  R, E (r )  0, т.к. внутри замкнутой
поверхности зарядов нет.
• Графически
распределение
напряженности
электростатического
поля цилиндра
показано на рис


0  внутри цилиндра
 
q
E
или
на поверхности цилиндра
20 Rl
 20 R
 
q
или
вне цилиндра

20 rl
 20 r
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с
одинаковой линейной плотностью λ, но
разным знаком
E 0
Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет
отсутствовать

E 0
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как
в п. 2.5.3:

λ
E (r ) 
.
2πε 0 r
Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:
0  внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет

E 
 2 r  между цилиндрами, когда R1  r  R2
0

• Это справедливо и для
бесконечно длинного
цилиндра, и для
цилиндров конечной
длины, если зазор
между цилиндрами
намного меньше
длины цилиндров
(цилиндрический
конденсатор).
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
На поверхности шара,
где r = R
напряженность поля
E

0
За пределами шара Е
убывает обратно
пропорционально
квадрату расстояния от
центра шара
• Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r .
• Если r  R,то внутрь воображаемой сферы
попадет весь заряд q, распределенный по
сфере, тогда
ФE  E (r ) S  Е (r )4r 2 
• откуда поле вне сферы:
q
0
q
E (r ) 
.
2
4πε0r
• Внутри сферы, при r  R, поле будет
равно нулю, т.к. там нет зарядов:
E (r )  0.
Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного
заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
2.5.6. Поле объемного заряженного шара
• Для поля вне шара радиусом R получается тот же
результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива
формула:
q
E (r ) 
2
4πε0 r
• Внутри шара при r  R, сферическая
поверхность будет содержать в себе заряд,
равный
4
q  ρ πr ,
3
3
• где ρ – объемная плотность заряда:
объем шара:
4
3
V 
q
ρ
V
πr
•
3
• Тогда по теореме Остроградского-Гаусса
запишем
1 4 3
ФE  E (r ) S  Е (r )  4πr  ρ πr
ε0 3
2
• Т.е. внутри равномерно заряженного шара
•
ρr
E (r ) 
3ε 0
• Т.е., внутри шара имеем
E ~ r.
Таким образом, имеем:
поле объемного заряженного шара
 qr
r

 внутри шара (r  R)

3
3 0
 40 R
 q
E
 на поверхности шара (r  R)
2
 40 R
 q
 вне шара (r  R)

2
 40 r