Задача С6 Арифметика и алгебра. Подготовили ученицы 10 “Г” класса Карх Елизавета и Скачкова Анна. Делимость, признаки делимости • Число а делится на число b≠0, если существует такое число с, что а=bc. Свойства делимости • Если a делится на b, то и число ka делится на b. • Если число a делится на с и число b делится на c, то сумма и разность чисел a и b делится на c. Признаки делимости • Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четна. • Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3. • Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное из последних двух цифр его десятичной записи, идущих в том же порядке, делится на 4. • Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или 5. • Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9. • Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, считая справа в десятичной записи данного числа, и суммы цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи данного числа, делится на 11 (например, число 305 792 608 делится на 11, так как (8 + 6 + 9 + 5 + 3) - (0 + 2 + + 7 + 0) = 22 — делится на 11). • Число делится на 7 (13) тогда и только тогда, когда алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры (начиная с цифры единиц), взятых со знаком "плюс" для нечетных граней и со знаком "минус" для четных граней, делилась на 7 (13) (например , число 254 390 815 делится на 7 и не делится на 13: 815 – 390 + 254 = 679; 679 делится на 7 и не делится на 13) Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все числа от 0 до 9? Рассмотрим признак делимости числа на 11. Если разность сумм цифр стоящих на четных и нечетных местах делится на 11, то и само число делится на 11. Запишем число 9876543210 Сумма цифр стоящих на нечетных местах 9+7+5+3+1 = 25 Сумма цифр стоящих на четных местах 8+6+4+2+0 = 20 5, а должно быть 11. Для этого нужно две цифры, стоящие на четных и нечетных местах, разность которых равна3, поменять местами: 9876543210 → 9576843210 11 9876543210 → 9873546210 11 9876543210 → 9846573210 11 Ответ: Да, найдутся. • Простые и взаимно простые числа • Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого. • Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными. • 1 не является ни простым, ни составным числом. • Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми. • Если число a делится на числа b и c, причем эти числа взаимны просты, то число a делится на произведение bc. Основная теорема арифметики и количество делителей. Каждое натуральное число n>1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители n=p1α1p2α2·…·pkαk (р1, р2, ...,рk — попарно различные простые числа, а1,а2,..., аk — натуральные числа). Данная форма записи называется каноническим разложением числа n. Количество натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, равно (а1+1)·(а2 + 1)·…·(аk +1). Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных делителя, включая единицу и само число. Пусть число n 21 3 2 73 Q Число делителей: 42 2 3 7 , все числа простые. (1 1)( 2 1)( 3 1) 42 Q 1 1 1 2 2 6 5 2 1 3 n 2 3 7 42 3 7 1 7 3 1 1 2 6 2 5 2 1 7 n 2 3 7 42 3 7 1 3 3 1 1 3 2 6 5 2 1 2 n 2 3 7 42 2 7 1 7 3 1 1 3 2 6 5 2 1 7 n 2 3 7 42 2 3 1 2 3 1 1 7 6 2 5 2 1 2 n 2 3 7 42 2 7 1 3 3 1 1 7 6 2 5 2 1 3 n 2 3 7 42 2 3 1 2 3 Ответ: 42 25 3; 42 25 7; 42 2 35 ; 42 35 7; 42 2 75 ; 42 3 75. Десятичная запись числа • Всякое натуральное число N единственным образом представимо в виде N=an·10n+an-1·10n-1+an-2·10n2+…+a ·102+a ·101+a 2 1 0, где n — натуральное число или 0, аn, аn-1, аn-2,..., а2, а1, а0 — цифры от 0 до 9, причем цифра an≠0. • Натуральное число M является n-значным в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет неравенству 10n-1≤М≤10n. Если пятизначное число умножить на 9, то получится это число, написанное в обратном порядке. Какое это число? 9 abcde edcba a 1 9 1bcde edcb1 e9 9 1bcd 9 9dcb1 9(9 10d 100c 1000b 10000) 1 10b 100c 1000d 900000 8 80c 91d 899b b0 8 80c 91d c9 728 91d d 8 abcde 10989 Ответ: 10989 Найдите минимальное шестизначное число, которое уменьшается в 3 раза при перенесении последней цифры, равной 1, на первое место abcde1 3 1abcde 10 abcde 1 300000 3 abcde 7 abcde 299999 abcde 42857 abcde1 428571 Ответ: 428571 Сложили шесть трехзначных чисел, полученных перестановками трех различных цифр в разном порядке. Докажите, что получившаяся сумма делится на 37. abc acb bca bac cab cba (c 10c 10c c 100c 100c ) (10b b 100b 100b b 10b) (100a 100a a 10a 10a a ) 222a 222b 222c 222(a b c) 222 : 37 6 222(a b c) : 37 Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) Уравнение вида f(x,y...)=0, переменные в котором считаются целочисленными, называется уравнением в целых числах, или диофантовым уравнением. Набор целочисленных значений переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство, называется решением диофантова уравнения. Пример. Уравнение x2+ y2 – z2 = 0 — диофантово уравнение (если считать, что переменные могут принимать целочисленные значения). Набор (3; 4; 5) — одно из его решений. Уравнение ax+by=c разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда c:d, где d=НОД(a,b). Пример: Найдите частное решение уравнения 147х-25у=14 Числа 147 и -25 взаимно просты. Следовательно, уравнение разрешимо в Z. Найдем одно частное решение. 147= (-25)·(-5)+22 -25=22·(-2)+19 22=19·1+3 19=3·6+1 1=19-3·6=19-6· (22-19·1)=7·19-6·22= =7· (-25-22· (-2))-6· (147-(-25) ·(-5))=8·147+47· (-25) 147·8-25·47=1 Домножим левую и правую части на 14. Получим: 147·112-25·658=14 Ответ: пара чисел (112;658) образуют частное решение уравнения 147х-25у=14 Уравнение вида ax + by = c называется линейным диофантовым уравнением. Если пара чисел (х0; у0) является решением такого уравнения, то все его решения можно получить по формулам b x x0 k d a y y0 k d где d НОД ( a, b), а k Z Обычно указанную пару решений находят подбором, подставляя вместо одной переменной остатки от деления на коэффициент при другой. Т.е. то, что мы сделали в предыдущем примере. Решите в целых числах уравнение 147х-25у=14. Частное решение этого уравнения (х0;у0)=(112;658), которое мы нашли в предыдущем примере. Следовательно, общее решение, где d=1: х=112+25k у=658+147k , kЄZ Т.к. 112=25·4+12, а 658=147·4+70, то общее решение уравнения может быть записано проще: х=12+25k y=70+147k , kЄZ