Сложение гармонических колебаний

Сложение
гармонических
колебаний
Метод векторных амплитуд
Биения
Фигуры Лиссажу
Метод векторных амплитуд
 Сложение колебаний в общем случае
производится аналитически, но в ряде
случаев может быть осуществлено
геометрически, при помощи так

А
называемого вектора амплитуды.
0
0
A
0
x
Метод векторных амплитуд
 Если вектор амплитуды привести во
вращение вокруг точки О, взятой на оси х,
с угловой скоростью  0 , то проекция
конца этого вектора на ось х будет
совершать гармонические колебания с
циклической частотой  0 по закону:
x  A cos   A cos 0 t   0 

 0 – угол, образованный вектором амплитуды и
осью х в начальный момент времени.
Метод векторных амплитуд
 Пусть складываемые колебания
описываются уравнениями:
 где
1   2   ; А1  А2 ;  01   02
Метод векторных амплитуд
 Результирующее смещение в любой момент
времени равно алгебраической сумме
смещений х1 и х 2 :
x  x1  x2  A1 cos t   01   A2 cos t   02 
Выполним это сложение геометрически,
с помощью векторов амплитуды.
Метод векторных амплитуд
 Изобразим положения векторов
амплитуды в начальный момент времени.


A2

A

A1
0
01 0
02
x
Метод векторных амплитуд

A
 Проекция конца вектора
определяет
результирующее смещение
 
в начальный
момент времени: A  A1  A2


 Так как оба вектора A1 и A2
вращаются в
процессе колебаний с одной и той же угловой
скоростью  0 , с такой же скоростью будет
вращаться и вектор результирующей
амплитуды.
x  A cos0 t   0 
Метод векторных амплитуд
 По теореме косинусов получаем:
A  A  A  2 A1 A2 cos 
2
2
1
2
2
cos    cos 02   01 
A  A  A  2 A1 A2 cos 02   01 
2
2
1
 Из рисунка
2
2
A1 sin  01  A2 sin  02
tg 0 
A1 cos  01  A2 cos  02
Биения
 Рассмотрим сложение двух
гармонических колебаний слегка
отличающимися частотами,
происходящих вдоль одной прямой.
1   2
 Начальные фазы положим равными нулю,
а амплитуды одинаковыми.
Биения
 Уравнения данных колебаний:
x1  A cos 1 t ,
x2  A cos 2t.
Векторы амплитуды складываемых колебаний
будут вращаться с разными угловыми скоростями.
Это приведёт к тому, что вектор результирующей
амплитуды будет пульсировать по величине.
Биения
 Результирующее колебание равно сумме
x  x1  x2 .
 Применим формулу для суммы косинусов
x  2 A cos
 1  2
2
t cos
1  2
2
t
Биения
 Множитель, выделенный вертикальными
чертами, изменяется с течением времени
гораздо медленнее, чем второй множитель, и
может рассматриваться как амплитуда.
2
x
2  1
t
2
1  2
Биения
Биения можно рассматривать как
гармоническое
1   2
колебание с частотой
2
,
амплитуда которого изменяется по закону:
2 A cos
 1  2
2
t
Фигуры Лиссажу
 Рассмотрим сложение колебаний,
происходящих во взаимоперпендикулярных
направлениях
x  a cos  t ,
y  b cos(t  ).
Фигуры Лиссажу
 Выполним преобразования
x
cos  t  ,
a
y
 cos(t  ).
b
Фигуры Лиссажу
 Раскроем косинус суммы аргументов
y
 cos(t   )  cos t  cos  
b
x
x2
sin t  sin   cos   1 
sin .
2
a
a
Фигуры Лиссажу
 Выполним преобразования
x
y
x2
cos    1 
sin ,
a
b
a2
x2
y2
2
2
xy
x
cos  2 

cos   (1  )sin  2 ,
a2
b 2 ab
a2
x
2
y
2
2 xy
2


cos   sin  .
2
2
ab
a
b
Фигуры Лиссажу
x2
y2
2 xy


cos   sin  2 .
a 2 b2 ab
 Данное уравнение – это уравнение
эллипса, оси которого ориентированы
относительно осей x и y произвольно
Фигуры Лиссажу
 0
 Рассмотрим частные случаи:
(разность фаз равна нулю)
x  a cos  t ,
y  b cos t.
x y 2
(  )  0.
a b
y
b
a
x
Фигуры Лиссажу
 Разность фаз равна
x y 2
(  )  0.
a b
.
y
b
a x
Фигуры Лиссажу

 Разность фаз  .
2
y
b
2
2
x
y
2  2 1
x 2 y2
a  b  1.
2
2
a
b
a
y
a  b  R.
2
2
2
x y R .
x
x