ТЕМА 2. Методы расчета магнитного поля. П.1. Принцип

ТЕМА 2. Методы расчета магнитного поля.
П.1. Принцип суперпозиции магнитных полей.
Магнитное поле прямого провода.
П.2. Циркуляция магнитного поля.
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Алгоритм применения закона циркуляции
магнитного поля для расчета индукции МП в некоторой точке.
ДОПОЛНЕНИЕ 2. Закон Гаусса для магнитного поля.
П.3. Магнитное поле соленоида.
П.4. Магнитное поле на оси витка с током.
1
П.1. Принцип суперпозиции магнитных полей.
Магнитное поле прямого провода.
Формулировка принципа суперпозиции МП:
Суммарная индукция магнитного поля равна сумме
векторов индукции магнитных полей, создаваемых
каждым источником:




B сум  В1  B 2  ...  B n
Использование принципа суперпозиции МП сводится к
суммированию (интегрированию) элементарных индукций,
создаваемых каждым элементом провода:



0I  
dL; er ,
B   dB   dB  
2
4r
L
L
где μ0 = 4π·10-7 Гн/м –
магнитная постоянная.
2
Изобразим на рисунке отрезок провода конечной длины L,
по которому течет ток I. Отметим точку наблюдения, в
которой индукция МП имеет искомое значение B.

dL
L
I

er

r1

r2
Разобьем отрезок L на элементарные
dL, в каждом из которых ток равен I.
Каждый dL является источником МП
и создает в точке
 наблюдения МП с
dB.
индукцией

dB - направлен от нас в доску
Т.Н. 
и подчиняется закону Био-Савара-Лапласа.

Суммарная индукция B 
 0I 1
 
dB 
dL  sin(dL^ er ).
2


4 L r
всяL
Формула очень сложна для вычислений. Но иногда можно ее
упростить и легко применить.
3
Используем полученное соотношение для анализа МП
наиболее простого, но весьма распространенного
источника – прямого провода с током.
Задача. Вычислить индукцию МП прямого провода на
расстоянии R от его оси.
Вид сверху
L
R
R Т.Н.
 Т.Н.
dL
r


dB

dL 
L

r
dB
dL
I
4

Поскольку все векторы dB параллельны, то модуль вектора


суммарной индукции будет равен B  dB .

Найдем выражение для dL. Из треугольника:
L
 ctg.
R
Отсюда: L  Rctg .
Дифференцируем по переменной :
dL
1
R 2
d
sin 

d
dL  R  2 .
sin 

2
 0 I sin 2 
1
B 2

 sin   R  2 d 
2
4 R
sin 
0
5
ВИДЕО

2
0I
0I

sin d 
.

2R 0
2R

B

B
R
I

B

B
Получили:
0I
B
2R
Вектор индукции МП во всех точках
окружности радиуса R одинаков по
величине и направлен по касательной.
Следовательно, линия индукции МП
прямого провода с током есть
окружность с центром на оси провода.
6
Вывод: Принцип суперпозиции – один из способов
вычисления магнитного поля. Он работает при любой
конфигурации источника (провода с током).
Он использует закон Био-Савара-Лапласа и операцию
интегрирования, которая численными методами
выполняется всегда. Однако вычисления достаточно
сложные.
Другой метод – метод циркуляции магнитного поля.
7
П.2. Циркуляция магнитного поля.
Мы уже знаем: C0 e  C0 E
 
  EdL - электрическая циркуляция
L0
(С0E = 0 для
электростатического поля).
 

Циркуляция вектора B : C 0 m  C 0 B   BdL .
L0
ЗАДАЧА. Определить источник циркуляции МП, т.е. чему
численно пропорциональна циркуляция.
Используем формулу магнитного поля прямого провода с
током.
0I
B
.
2R
8

B
 • Т.Н.
R 
B
I

B
Вид сбоку

Т.Н.  dL

R
провод

L0
B
Выбираем контур L0, в виде окружности радиуса R,
проходящей через точку наблюдения, т.е. мы выберем
линию индукции магнитного поля.
 
B || dL 
 
B  dL  B  dL.
9
Контур интегрирования – окружность L0 = 2πR.
COB
 
  B  dL   B  dL 
L0
L0
0I
0I
L 2R dL  2R L0  0I.
0
ВЫВОД: Циркуляция МП прямого провода с током по
замкнутому контуру пропорциональна току:
COB   0 I.
Закон циркуляции МП справедлив всегда, если I есть
суммарный ток IСУМ, пронизывающий площадь S(L0),
ограниченную контуром интегрирования L0:
COB   0 I сум .
I 1 I2 I3
L0
S(L0)
 
 B  dL  0
L0
 
 j  ds - подробная
S( L0 )
ТЕСТ
запись закона.
10
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Алгоритм применения закона
циркуляции магнитного поля для расчета индукции МП в
некоторой точке.

Задача. Вычислить B в точке наблюдения.
Этапы решения:
а) Сделать рисунок, изобразив источник магнитных
полей и точку наблюдения.
Угадать и нарисовать на рисунке линии индукции.
Использовать соображения симметрии задачи.
11
Т.Н.
ист.магн.поля
линии
поля

B
б) Выбрать контур
интегрирования, который:
•замкнут,
•проходит через точку
наблюдения,
•облегчает вычисление циркуляции, т.е.
состоит из отрезков Тип 1 и Тип 2, где


Тип 1: C1 = 0 ( B = 0 или B  dL );
Тип 2: С2 = BCos()L2 ( BCos() = const).
 
B || dL , поэтому ее в
Замечание: На линии индукции всегда
первую очередь надо рассматривать, как возможный отрезок
«Типа 2».
12
в) Вычисляем COB = C2;
г) Вычисляем суммарный ток IСУМ через площадь,
ограниченную замкнутым контуром «S(L0)».
д) Подставляем в закон циркуляции и вычисляем «B» в точке
наблюдения.
13
ДОПОЛНЕНИЕ 2. Закон Гаусса для магнитного поля.
Нам известна интегральная характеристика
электрического поля - это поток ЭП:
 
Ф E   EdS.
S
Для этой характеристики Ф  1 Q
0Е
СУМ .
имеет место закон Гаусса:
0
ВОПРОС: Чему равен поток МП через замкнутую поверхность?
Линии индукции МП всегда замкнуты, т.е. не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому нет магнитных зарядов, т.е. объектов, на
которых линии МП начинались бы или заканчивались.
Этот факт математически записывается как закон Гаусса для
магнитного поля:
Ф0В = 0.
14
П.3. Магнитное поле соленоида.
ВИДЕО
Соленоидом называется длинная катушка, на поверхность
которой намотан провод (в изоляции), по которому можно
пропускать ток.
Обычная форма катушки - цилиндр, хотя возможной формой
является тороид.
Идеальный соленоид – бесконечно длинная цилиндрическая
катушка, на которой провод намотан вплотную в один слой.
Задача: Вычислить индукцию магнитного поля внутри
идеального соленоида с током I и числом витков на единицу
длины n.
15
Используем алгоритм.

B
4

dL
Т.Н.

1 dL
3

B23

B
2
а) Делаем рисунок. Точка
наблюдения внутри соленоида.
Угадываем: внутри соленоида
линии индукции идут практически
параллельно оси и поле однородно.
В точке наблюдения B || оси
соленоида.
б) Выбираем контур 1-2-3-4.
Исследуем контур 1-2-3-4:
 
Участок 1-2 имеет dL || B  const . Это «Тип 2», и CB12 = BL12 .


На участках 2-3 и 4-1 B  dL , следовательно, их скалярное
произведение равно 0. Участки 2-3 и 4-1 – это «Тип 1».
Участок 3-4 располагаем на ∞ так, что B3-4 = 0.
Участки 2-3, 3-4, 4-1 – это «Тип 1», т.е. СВ(2-3-4-1) = 0.
16
в) Окончательно COB = CB12 = BL12 .
г) Находим суммарный ток, пронизывающий площадку S(L0),
ограниченную контуром интегрирования.
Каждый виток соленоида, расположенный на отрезке L12
пронизывает этот контур. Таких витков будет N12 штук, а
суммарный ток в N12 раз больше, чем I, т.е.
IСУМ = I·N12,
где N12 – количество витков соленоида на участке 1-2.
Используем характеристику соленоида – количество витков
на единицу длины:
N
n
N12  n  L12 .
. Тогда
Lсол
17
д) Подставляем все в закон циркуляции МП
B  L12   0 InL 12 
B   0 nI
COB  , 0 I СУМ :
- ответ.
Реальные соленоиды имеют конечную длину, поэтому
данная формула справедлива в центральной части
соленоида, а при приближении к его концам поле
заметно уменьшается.
ТЕСТ
18
П.4. Магнитное поле на оси витка с током.
Виток или кольцо с током является одним из очень важных
реальных источников магнитного поля.
Вид сбоку
Z
 Z 
  Т.Н. 
r
R

RВИТКА

dL1
dB1
dL 2

dB1x
r
I
X
dB1Z

dB2
dB 2 x
R

RВИТКА
0


dB1X  dB2 X  0
19
 
Вектор элементарной индукции dB  r радиус-вектору
точки наблюдения. Поэтомуугол между dB и осью Z будет
таким же, как и угол между r и горизонталью, т.е. .
Суммирование всех элементарных векторов индукции МП
можно заменить суммированием их проекций на
вертикальную ось Z.
В итоге получим вектор индукции МП кольца (на его оси),
параллельный оси Z.

0I
Вычислим проекцию на ось Z одного dB
|z 
dL cos ,
2
4r
элементарного вектора индукции МП:
R ВИТКА
где cos  
 .
r
20


0I
 0 IR ВИТКА
| B |   dB | z  
dL cos  
dL 

2
3
4r
L
L 4r
L
0 IR ВИТКА
0 IR 2ВИТКА

2R ВИТКА 
.
3
3
4r
2r
Полученную формулу полезно рассмотреть в двух
предельных ситуациях.
1) Точка наблюдения находится в центре витка. Тогда
расстояние от витка до точки наблюдения точно равно
радиусу витка r = RВИТКА , и
B Ц .В
0I

.
2R ВИТКА
21
ВИДЕО
2) Точка наблюдения находится на оси витка на очень
большом (по сравнению с радиусом витка) расстоянии до
него. Тогда r = R можно считать расстоянием до витка.
 0pm 
B
n , где
3
2R


p m  I  S  n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Магнитным моментом называется
произведение величины тока на площадь S витка (кольца),
по которому этот ток протекает.

p
Вектор магнитного момента m направлен перпендикулярно

плоскости витка, т.е. он параллелен вектору нормали n .
Вывод: МП на оси витка с током на больших расстояниях
убывает обратно пропорционально кубу расстояния до витка.
ТЕСТ
22